《关于幂函数的讨论》PPT课件.ppt

幂函数,函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学学习的始终，而幂函数是其中的一部分内容，这部分内容虽然少而简单，却包含了一些重要的数学思想下面剖析几例，以拓展同学们的思维,一、分类讨论的思想,例1 已知函数的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图象,解：因为图象与y轴无公共点，故，又图象关于y轴对称，则为偶数，由，得，又因为，所以,当时，不是偶数；,当时，为偶数；,当时，为偶数；,当时，不是偶数；,当时，为偶数；,所以n为，1或3,此时，幂函数的解析为或，其图象如图所示,二、数形结合的思想,例2 已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上,问当x为何值时有：（）；（）；（）,分析：由幂函数的定义，先求出与的解析式，再利用图象判断即可,解：设，则由题意，得，,，即再令，则由题意，得，,，即在同一坐标系中作出,与的图象，如图2所示由图象可知：,（1）当或时，；,（2）当时，；,（3）当且时，,小结：数形结合在讨论不等式时有着重要的应用，注意本题中的隐含条件,三、转化的数学思想,例3 函数的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是（ ）,解析：要使函数的定义域是全体实数，可转化为对一切实数都成立，即且,解得 故选（）,幂函数中的三类讨论题,所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略 分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重、不漏的分类讨论在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据幂函数的图象和性质，依据幂函数的单调性分类讨论，使得结果得以实现,类型一：求参数的取值范围,例1 已知函数为偶函数，且，求m的值，并确定的解析式,分析：函数为偶函数，已限定了必为偶数，且，只要根据条件分类讨论便可求得m的值，从而确定的解析式,解：是偶函数，应为偶数,又，即，整理，得，,又，或1,当m=0时，为奇数（舍去）；当时，为偶数,故m的值为1，,评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础,类型二：求解存在性问题,例2 已知函数，设函数，问是否存在实数，使得在区间是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由,分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间,解：，则,假设存在实数，使得满足题设条件，,设，则,若，易知，要使在上是减函数，则应有恒成立,，而，,.,从而要使恒成立，则有，即,若，易知，要使在上是增函数，则应有恒成立,，,，而，,要使恒成立，则必有，即,综上可知，存在实数，使得在上是减函数，且在上是增函数,评注：本题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用判断函数的单调性时，可从定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断，但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平时要注意有针对性的训练,类型三：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况,例3 讨论函数在时随着x的增大其函数值的变化情况,分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论,解：（1）当，即或时，为常函数；,（2）当时，或，此时函数为常函数；,（3）即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小；,（4）当即或时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；,（5）当即时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；,（6）当，即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小,评注：含参数系数问题，可以说是解题中的一个致命杀手，是导致错误的一个重要因素这应引起我们的高度警觉,幂函数习题,幂函数这一知识点，表面上看内容少而且容易，实质上则不然它蕴涵了数形结合、分类讨论、转化等数学思想，是培养同学们数学思维能力的良好载体下面通过一题多变的方法探究幂函数性质的应用,例1 若，试求实数m的取值范围,错解（数形结合）：由图可知,解得 ，且,剖析：函数虽然在区间和上分别具有单调性，但在区间上不具有单调性，因而运用单调性解答是错误的,正解（分类讨论）：,（1）,解得；,（2）此时无解；,（3）， 解得,综上可得,现在把例1中的指数换成3看看结果如何,例2 若，试求实数m的取值范围,错解（分类讨论）：由图2知，,（1）1， 解得；,（2）此时无解；,（3）， 解得 ,综上可得 ,剖析：很明显，此解法机械地模仿例的正确解法，而忽视了函数间定义域的不同由此，使我们感受到了幂函数的定义域在解题中的重要作用,正解（利用单调性）：由于函数在上单调递增，所以，解得,例2正确解法深化了对幂函数单调性的理解，激活了同学们的思维下面再对和两个问题与解法进行探究,例3若，试求实数m的取值范围,解：由图3，解得 ,例4 若，试求实数m的取值范围,解析：作出幂函数的图象如图4由图象知此函数在上不具有单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键考虑时，于是有，即,又幂函数在上单调递增，,， 解得，或m4,上述解法意识到幂函数在第一象限的递增性，于是巧妙运用转化思想解题，从而避免了分类讨论，使同学们的思维又一次得到深化与发展,解题点悟：通过以上探究，我们对幂函数的定义域、单调性、奇偶性及图象又有了较深刻的认识，同时对于形如（是常数）型的不等式的解法有了以下体会：,（1）当，解法同例1,（2）当，解法同例2,（3）当，解法同例3,（4）当，解法同例4,编者点评：本文通过对一典型例题的多种变换，使我们对幂函数的性质及