《微积分复习》PPT课件.ppt

第四章 不定积分,一、 原函数,或,称 是 的原函数,二、不定积分,三、基本性质,四、计算,1、凑微分,2、第二类换元积分法（常用于被积函数带根式）,3、分部积分法,常用于被积函数为两类不同类型函数乘积或被积函数含有难积分的 或,或,的假设：,被积表达式余下的部分，通常需要凑微分。,练习,如果 是 的一个原函数，求,如果 存在，则,A,B,C,D,第五章 定积分,一、 定积分,几何上表示： 在区间 与 轴所围成各部分面积的代数和。,注意：1 只与被积函数 有关，与变量字母的选取无关。,2 交换积分上下限，定积分变号,二、性质,1、,2、若 上， 则,三、牛顿莱布尼茨,如果函数 是连续函数 在 上的一个原函数，则,四、积分上限的函数及其导数,（1）,凑微分,换元积分 换元要换积分上下限,（2）,五、定积分的换元积分法、分部积分法,（1）,（2）,（3） 分部积分,六、广义积分,七、定积分的几何应用（求平面图形的面积）,（1）X型,（2）Y型,（3）经济应用,练习,（7）,（8）求曲线 与直线 所围成的面积,（1）比较积分值,（2）,（3）,（4）,（5）证明,（6）求,（9）求曲线 与直线 所围成的面积,（10）某产品的总成本的变化率（边际成本） （1）求产量等于多少时，总利润最大（2）达最大产量又生产1单位产品时，总利润变化多少（3）若 ，求总成本。,第六章 多元函数微积分,一、 二元函数的定义域,1.化为一元函数再求极限,二、二元函数的极限 (以任意方式),2.利用极限存在的定理,三、二元函数的连续性,四、偏导数,求偏导数时:对X变量求偏导，则Y 看作常量；对Y变量求偏导，则X看作常量。,五、高阶偏导数,二元函数的二阶偏导数有如下四种情形,求导不改变函数自变量的个数,二阶混合偏导数连续时，有,六、全微分,七、复合函数微分法,八、隐函数求导法,1、一元隐函数求导公式,2、二元隐函数求导公式,九、多元函数的极值,(极值存在的充分条件) 设函数 在定义域内具有连续的二阶偏导数，且 , ，即点 是函数的驻点令 则 (1) 当 时，在点 处取得极值，且当 时取得极大值， 时取得极小值； (2) 当 时，在点 无极值； (3) 当 时，不能断定在点 是否取得极值,十、重积分（化为两次定积分）,步骤及注意： 1、画出积分区域，确定积分次序 2、内限积分的上下限往往为外限变量的表达式；外限积分的上下限一定是常数 3、计算内限定积分时，外限变量看作为常数。,求定义域,求偏导数,求二阶偏导数,求全微分,求二阶偏导数,求导数,求导数,某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价为 ；销售量 ；需求函数为 总成本函数 试问：厂家如何确定两个市场的产品售价，使其获得的总利润最大？最大利润多少？,计算二重积分,（1）,（2）,第七章 无穷级数,一、 数项级数的概念,二、级数的敛散性 称级数收敛。,三、收敛级数的基本性质,性质1 若级数 收敛，为任一非零常数，则级数 也收敛,性质2 若级数 和 收敛，则级数 也收敛,性质3 在级数的前面添上或去掉有限项，级数的敛散性不变 性质4 若级数 收敛，则对级数的项任意加括号后，所得的级数仍收敛且其和不变,性质5（级数收敛的必要条件）若级数 收敛，则,四、正项级数敛散性的判别,1、比值法,收敛,发散,失效,2、比较法,相同敛散性,五、交错级数的绝对收敛和条件收敛,1、判别 是否绝对收敛,比值、比较,2、判别 是否条件收敛,莱布尼滋定理,六、幂级数求收敛半径收敛域,设幂级数 ，若 ；则幂级数的收敛半径为,若级数 收敛，那么下列级数中发散的是（ ）,A,B,C,D