2019届高考数学复习专题五立体几何第2讲点直线平面之间的位置关系教案.docx

第2讲点、直线、平面之间的位置关系1.(2018全国卷,文9)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为(C)(A)(B)(C)(D)解析:如图,因为ABCD,所以AE与CD所成的角为EAB.在RtABE中,设AB=2,则BE=,则tanEAB=,所以异面直线AE与CD所成角的正切值为.故选C.2.(2018全国卷,文10)在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30,则该长方体的体积为(C)(A)8(B)6(C)8(D)8解析:如图,连接AC1,BC1,AC.因为AB平面BB1C1C,所以AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角,所以AC1B=30.又AB=BC=2,在RtABC1中,AC1=4,在RtACC1中,CC1=2,所以V长方体=ABBCCC1=222=8.故选C.3.(2018全国卷,文16)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30,若SAB的面积为8,则该圆锥的体积为.解析:在RtSAB中,SA=SB,SSAB=SA2=8,解得SA=4.设圆锥的底面圆心为O,底面半径为r,高为h,在RtSAO中,SAO=30,所以r=2,h=2,所以圆锥的体积为r2h=(2)22=8.答案:84.(2018全国卷,文18)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90.以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥QABP的体积.(1)证明:由已知可得,BAC=90,即BAAC.又BAAD,所以AB平面ACD.又AB平面ABC,所以平面ACD平面ABC.(2)解:由已知可得DC=CM=AB=3,DA=3.又BP=DQ=DA,所以BP=2.因为BAC=90,AB=AC,所以ABC=45.如图,过点Q作QEAC,垂足为E,则QEDC.由已知及(1)可得DC平面ABC,所以QE平面ABC,QE=1.因此,三棱锥QABP的体积为=SABPQE=32sin 451=1.5.(2018全国卷,文19)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD平面BMC;(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC平面PBD?说明理由.(1)证明:由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM,又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)解:当P为AM的中点时,MC平面PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC的中点.连接OP,因为P为AM的中点,所以MCOP.又MC平面PBD,OP平面PBD,所以MC平面PBD.1.考查角度(1)线、面位置关系的判断;(2)异面直线所成的角;(3)直线与平面所成的角;(4)空间平行、垂直关系的证明;(5)折叠和探究问题.2.题型及难易度选择题、填空题、解答题,中档题为主.(对应学生用书第3335页) 空间线、面的位置关系考向1空间线、面位置关系的判断【例1】 (2018湖南省湘东五校联考)已知直线m,l,平面,且m,l,给出下列命题:若,则ml;若,则ml;若ml,则.其中正确的命题是()(A)(B)(C)(D)解析:对于,若,m,l,则ml,故正确.对于,若,则直线m与l可能异面、平行或相交,故错误.对于,若ml,m,则l,又l,所以,故正确,故选D.考向2空间角【例2】 (2016全国卷)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()(A)(B)(C)(D)解析:在正方体ABCDA1B1C1D1中,由题意,直线mBD,直线nA1B,又A1DB为等边三角形,DBA1=60,sin 60=,所以m,n所成角的正弦值为,故选A.(1)空间线面位置关系判断的常用方法:根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题;必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系,并结合有关定理来进行判断.(2)求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;过特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.热点训练1:(2017全国卷)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()解析:如图O为正方形CDBE的两条对角线的交点,从而O为BC的中点,在ACB中,OQ为中位线,所以OQAB,OQ平面MNQ=Q,所以,AB与平面MNQ相交,而不是平行,故选A.热点训练2:(2018广州市综合测试一)在四面体ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,AB=CD,ABCD,则异面直线EF与AB所成角的大小为()(A)(B)(C)(D)解析:取BD的中点O,连接OE,OF,因为E,F分别为AD,BC的中点,AB=CD,所以EOAB,OFCD,且EO=OF=CD,又ABCD,所以EOOF,OEF为异面直线EF与AB所成的角,由EOF为等腰直角三角形,可得OEF=,故选B.线面平行、垂直的证明【例3】 (2018石家庄市质检一)如图,已知四棱锥PABCD,底面ABCD为正方形,且PA底面ABCD,过AB的平面ABFE与侧面PCD的交线为EF,且满足SPEFS四边形CDEF=13.(1)证明:PB平面ACE;(2)当PA=2AD=2时,求点F到平面ACE的距离.(1)证明:由题知四边形ABCD为正方形,所以ABCD,因为CD平面PCD,AB平面PCD,所以AB平面PCD.又AB平面ABFE,平面ABFE平面PCD=EF,所以EFAB,所以EFCD.由SPEFS四边形CDEF=13知E,F分别为PD,PC的中点.如图,连接BD交AC于点G,则G为BD的中点,连接EG,则EFPB.又EG平面ACE,PB平面ACE,所以PB平面ACE.(2)解:因为PA=2,AD=AB=1,所以AC=,AE=PD=,因为PA平面ABCD,所以CDPA,又CDAD,ADPA=A,所以CD平面PAD,所以CDPD.在RtCDE中,CE=.在ACE中,由余弦定理知cosAEC=,所以sinAEC=,所以SACE=AECEsinAEC=.设点F到平面ACE的距离为h,则=h=h.因为DGAC,DGPA,ACPA=A,所以DG平面PAC,因为E为PD的中点,所以点E到平面ACF的距离为DG=.又F为PC的中点,所以SACF=SACP=,所以=.由=,得h=,得h=,所以点F到平面ACE的距离为.(1)线面平行及线面垂直的证明方法:要证线面平行,主要有两个途径:一是证已知直线与平面内的某直线平行;二是证过已知直线的平面与已知平面平行.在这里转化思想在平行关系上起着重要的作用,在寻求平行关系上,利用中位线、平行四边形等是非常常见的方法;要证线面垂直,关键是在这个平面内能找出两条相交直线和已知直线垂直,即线线垂直线面垂直.结合图形还要注意一些隐含的垂直关系,如等腰三角形的三线合一、菱形的对角线以及经计算得出的垂直关系等.(2)求点到平面的距离的常用方法:直接作出点到平面的垂线段,再计算;通过线面平行,转化为其他点到平面的距离;等体积法.热点训练3:(2018南昌市重点中学一模)已知四棱锥PABCD中,平面PAD平面ABCD,E,F分别为AD,PC上的点,AD=3AE,PC=3PF,四边形BCDE为矩形.(1)求证:PA平面BEF;(2)若PAD=60,PA=2AE=2,PB=2,求三棱锥PBEF的体积.(1)证明:连接AC,交BE于点M,连接FM.因为四边形BCDE是矩形,所以BCDE,BC=DE,所以AMECMB,所以=.依题意,=,所以=,所以PAFM,因为FM平面BEF,PA平面BEF,所以PA平面BEF.(2)解:因为AP=2,AE=1,PAD=60,由余弦定理可得PE=,所以PEAD.又平面PAD平面ABCD,且平面PAD平面ABCD=AD,PE平面PAD,所以PE平面ABCD,所以PECB.又BECB,且PEBE=E,所以CB平面PEB,而BC=DE=2AE=2,所以点F到平面PEB的距离为,又在直角三角形PEB中,EB=3,所以=3=.立体几何中的折叠和探索性问题考向1折叠问题【例4】 (2018河北省“五个一名校联盟”第二次考试)如图1,在直角梯形ABCD中,ADC=90,ABCD,AD=CD=AB=2,E为AC的中点,将ACD沿AC折起,使折起后的平面ACD与平面ABC垂直,如图2,在图2所示的几何体DABC中:(1)求证:BC平面ACD;(2)点F在棱CD上,且满足AD平面BEF,求几何体FBCE的体积.(1)证明:因为AC=2,BAC=ACD=45,AB=4,所以在ABC中,BC2=AC2+AB2-2ACABcos 45=8,所以AB2=AC2+BC2=16,所以ACBC,因为平面ACD平面ABC,平面ACD平面ABC=AC,所以BC平面ACD.(2)解:因为AD平面BEF,AD平面ACD,平面ACD平面BEF=EF,所以ADEF,因为E为AC的中点,所以EF为ACD的中位线,由(1)知=SCEFBC,又SCEF=SACD=22=,所以=2=.考向2探索性问题【例5】 (2018惠州市第一次调研)如图,在底面是菱形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,ABC=60,AA1=AC=2,A1B=A1D=2,点E在A1D上.(1)证明:AA1平面ABCD;(2)当为何值时,A1B平面EAC,并求出此时直线A1B与平面EAC之间的距离.(1)证明:因为四边形ABCD是菱形,ABC=60,所以AB=AD=AC=2,在AA1B中,由A+AB2=A1B2,知AA1AB,同理AA1AD,又ABAD=A,所以AA1平面ABCD.(2)解:当=1时,A1B平面EAC.证明如下:如图,连接BD交AC于点O,当=1,即点E为A1D的中点时,连接OE,则OEA1B,又A1B平面EAC,所以A1B平面EAC.直线A1B与平面EAC之间的距离等于点A1到平面EAC的距离,因为E为A1D的中点,所以点A1到平面EAC的距离等于点D到平面EAC的距离,=,设AD的中点为F,连接EF,则EFAA1,且EF=1,所以EF平面ACD,可求得SACD=,所以=1=.又AE=,AC=2,CE=2,所以SEAC=,所以SEACd=(d表示点D到平面EAC的距离),解得d=,所以直线A1B与平面EAC之间的距离为.(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口.一般地,在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质发生变化,解决这类问题就是要根据这些变与不变,去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值,这是化解翻折问题的主要方法.(2)探求某些点的具体位置,使得满足平行或垂直关系,是一类逆向思维的题目,一般可采用两种方法:一是先假设存在,再去推理,下结论;二是运用推理证明计算得出结论,或先利用条件特例得出结论,然后再根据条件给出证明或计算.(3)存在探究性问题可先假设存在,然后在此前提下进行逻辑推理,得出矛盾或肯定结论.热点训练4:(2016全国卷)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.(1)证明:ACHD;(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD=2,求五棱锥DABCFE的体积.(1)证明:由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得=,故ACEF.所以EFHD,EFHD,所以ACHD.(2)解:由EFAC得=.由AB=5,AC=6得DO=BO=4.所以OH=1,DH=DH=3.于是OD2+OH2=(2)2+12=9=DH2,故ODOH.由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以AC平面BHD,于是ACOD.又由ODOH,ACOH=O,所以OD平面ABC.又由=得EF=.五边形ABCFE的面积S=68-3=.所以五棱锥DABCFE的体积V=2=.热点训练5:如图,高为1的等腰梯形ABCD中,AM=CD=AB=1,现将AMD沿MD折起,使平面AMD平面MBCD,连接AB,AC.(1)在AB边上是否存在点P,使AD平面MPC,请说明理由;(2)当点P为AB边中点时,求点B到平面MPC的距离.解:(1)当AP=AB时,有AD平面MPC.理由如下:连接BD交MC于点N,连接NP.在梯形MBCD中,DCMB,=.因为在ADB中,=,所以ADPN.因为AD平面MPC,PN平面MPC,所以AD平面MPC.(2)因为平面AMD平面MBCD,平面AMD平面MBCD=DM,由题易知,在AMD中,AMDM,所以AM平面MBCD,又P为AB的中点,所以=SMBC=21=.在MPC中,MP=AB=,MC=,PC=,所以SMPC=.所以点B到平面MPC的距离为=. 【例1】 (2018石家庄市一模)已知四棱锥SABCD的底面ABCD为直角梯形,ABCD,ABBC,AB=2BC=2CD=2,SAD为正三角形.(1)点M为线段AB上一点,若BC平面SDM,=,求实数的值;(2)若BCSD,求点B到平面SAD的距离.解:(1)因为BC平面SDM,BC平面ABCD,平面SDM平面ABCD=DM,所以BCDM.又ABDC,所以四边形BCDM为平行四边形,所以CD=MB,又AB=2CD,所以M为AB的中点.因为=,所以=.(2)因为BCSD,BCCD,所以BC平面SCD,又BC平面ABCD,所以平面SCD平面ABCD.如图,在平面SCD内过点S作SE垂直CD交CD的延长线于点E,连接AE.又平面SCD平面ABCD=CD,所以SE平面ABCD,所以SECE,SEAE,在RtSEA和RtSED中,AE=,DE=,因为SA=SD,所以AE=DE,又易知EDA=45,所以AEED,由已知求得SA=AD=,所以AE=ED=SE=1.连接BD,则=211=,又=,SSAD=,所以点B到平面SAD的距离为.【例2】 (2018武汉市四月调研)在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别在棱AB,CD上,且AE=CF=1.(1)求异面直线A1E与C1F所成角的余弦值;(2)求四面体EFC1A1的体积.解:(1)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,延长DC至M,使CM=1,则AECM.连接AC,EM,所以MEACA1C1,连接MC1,所以A1EC1M,所以FC1M为异面直线A1E与C1F所成的角.在FC1M中,C1F=C1M=,FM=2,所以cosFC1M=.故异面直线A1E与C1F所成角的余弦值为.(2)在D1C1上取一点N,使ND1=1.连接EN,FN,A1N,所以A1EFN,所以A1NEF,因为EF平面EFC1,A1N平面EFC1,所以A1N平面EFC1,所以=3=233=3.故四面体EFC1A1的体积为3.(对应学生用书第35页) 【典例】 (2018全国卷,文19)(12分)如图,在三棱锥PABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.评分细则:(