2019年高考数学（艺术生百日冲刺）专题09立体几何初步测试题.docx

专题9立体几何初步测试题命题报告：1. 高频考点：三视图的认识，几何体的表面积和体积的求解。2. 考情分析：高考主要以选择题填空题形式出现，每年必考，重点考查三视图和表面积、体积的综合，与球有关的外接和内切问题。3.重点推荐：基础卷16题，涉及数学文化题的应用，是近几年热点问题；一选择题1. 所有棱长都为1的正四棱锥的体积是（ ）A、 B、 C、 D、【答案】：C 【解析】正四棱锥的侧棱、高、底面对角线的一半构成直角三角形，所以高为，正四棱锥的底面积为1，所以体积为，故选C.2. 将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为()【答案】B【解析】先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧视图.由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图，故其侧视图为图.3. （2018黄山一模）将正方体（如图（1）所示）截去两个三棱锥，得到如图（2）所示的几何体，则该几何体的侧视图为（）ABCD【答案】：B4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A.90 B.63C.42 D.36答案B解析法一(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示.将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V32432663.法二(估值法)由题意知，V圆柱V几何体V圆柱，又V圆柱321090，45V几何体90.观察选项可知只有63符合.5. 在棱长为a的正方体中，P、Q是体对角线上的动点，且，则三棱锥P-BDQ的体积为（ ）A、 B、 C、 D、【答案】：A 【解析】 特殊化处理，让点Q与C重合，则三棱锥P-BDC的体积为所求，因为，由三角形的相似比可得P到底面BCD的距离为，所以，故选A.6. （2018烟台一模）已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为的正三角形，PA，PB，PC两两垂直，则球O的体积为（）ABC3D4【答案】：A7. 长方体的体积为V，P是的中点，Q是AB上的动点，则四面体P-CDQ的体积是（ ）A、 B、 C、 D、【答案】：D 【解析】设长方体的长、宽、高分别为AB=a，BC=b，则有V=abc，由题意知，所以8. （2018三明二模）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则以下四个命题中错误的是（）A直线A1C1与AD1为异面直线BA1C1平面ACD1CBD1ACD三棱锥D1ADC的体积为【答案】：D【解析】由正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，知：在A中，直线A1C1平面A1B1C1D1，BD1平面A1B1C1D1，D1直线A1C1，由异面直线判定定理得直线A1C1与AD1为异面直线，故A正确；在B中，A1C1AC，A1C1平面ACD1，AC平面ACD1，A1C1平面ACD1，故B正确；在C中，正方体ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACDD1，BDDD1，AC面BDD1，BD1AC，故C正确；在D中，三棱锥D1ADC的体积：=，故D错误故选：D 9. 如图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球O是该正八面体的内切球，则球O的表面积为（）ABCD【答案】A；【解析】：由题意，该八面体的棱长为2，设球O的半径为r， =，解得r=,所以球O的表面积为：4=故选：A10. （2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）三模）棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱AD中点，过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为（）A5B2C2D6【答案】.C11. 如图，若是长方体ABCDA1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EHA1D1，则下列结论中不正确的是（）AEHFGB四边形EFGH是矩形C是棱柱D四边形EFGH可能为梯形【答案】D；【解析】：若FG不平行于EH，则FG与EH相交，交点必然在B1C1上，与EHB1C1矛盾，所以FGEH，故A正确；由EH平面A1ABB1，得到EHEF，可以得到四边形EFGH为矩形，故B正确；将从正面看过去，就知道是一个五棱柱，故C正确；因为EFGH截去几何体EFGHB1C1后，EHB1C1CF，所以四边形EFGH不可能为梯形，故D错误故选：D12. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知l丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（）A10000立方尺B11000立方尺C12000立方尺D13000立方尺【答案】：A【解析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱， 则三棱柱的体积V1=322=6，四棱锥的体积V2=132=2，由三视图可知两个四棱锥大小相等，V=V1+2V2=10立方丈=10000立方尺故选：A二填空题13. 正AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是_.答案a2解析画出坐标系xOy，作出OAB的直观图OAB(如图).D为OA的中点.易知DBDB(D为OA的中点)，SOABSOABa2a2.14. 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1-BB1D1D的体积为 【答案】. 【解析】由题意可知四棱锥A1-BB1D1D的底面是矩形，边长为1和，四棱锥的高为A1C1=，则四棱锥A1-BB1D1D的体积为1=故答案为 15. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为_.答案2解析如图1，在直观图中，过点A作AEBC，垂足为E.在RtABE中，AB1，ABE45，BE.又四边形AECD为矩形，ADEC1.BCBEEC1.由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形ABCD.在梯形ABCD中，AD1，BC1，AB2.这块菜地的面积S(ADBC)AB22.16. 九章算术中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）在如图所示的堑堵ABCA1B1C1中，AA1=AC=5，AB=3，BC=4，则阳马C1ABB1A1的外接球的表面积是_。【答案】50 【解析】：由题意知，直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=AC=5，AB=3，BC=4，四棱锥C1ABB1A1的外接球即为直三棱柱的外接球，以AB、BC、BB1为共顶点，画出长方体，如图所示，则长方体的外接球即为三棱柱的外接球；所求的外接球的直径为体对角线2R=AC1=，外接球的表面积是S=4R2=（2R）2=50三解答题17. 已知某线段的正视图、俯视图、侧视图对应线段长度分别为2，4，4，试求此线段的长度。【解析】：如图想象出线段所在的空间几何体是长方体，可得其正视图、俯视图、侧视图分别为，3分设长方体三条棱长分别为a，b，c，则有，从而得10分18. 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？【解析】由PO12 m，知O1O4PO18 m.因为A1B1AB6 m，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥A1BPO162224(m3)；4分正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3)，所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3).故仓库的容积是312 m3.12分19. 如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.【解析】(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.5分(2)如图，作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EB112，EMAA18.因为四边形EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，AH10，HB6.故S四边形A1EHA(410)856，S四边形EB1BH(126)872.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为.12分20. 在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1A1CACABBC2，且点O为AC中点.(1)证明：A1O平面ABC；(2)求三棱锥C1ABC的体积.(1)证明因为AA1A1C，且O为AC的中点，所以A1OAC，3分又平面AA1C1C平面ABC，平面AA1C1C平面ABCAC，且A1O平面AA1C1C，A1O平面ABC.6分(2)解A1C1AC，A1C1平面ABC，AC平面ABC，A1C1平面ABC，即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离.由(1)知A1O平面ABC且A1O，VC1ABCVA1ABCSABCA1O21.12分21. 如图所示，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点.已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.【解析】(1)SABC222，三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.5分(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角). 在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.12分22（2018海淀区二模）如图，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为的AB中点将三角形ADE沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示（）求证：DE平面PCF；（）证明：平面PBC平面PCF；（）在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面CFM平面PEN？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由【思路分析】（）折叠前，ACDE；，从而折叠后，DEPF，DECF，由此能证明DE平面PCF（）推导出DCAE，DC=AE从而DCEB，DC=EB进而四边形DEBC为平行四边形从而CBDE由此能证明平面PBC平面PCF（）分别取PD和BC的中点M，N连接EN，PN，MF，CM推导出四边形ENCF为平行四边形从而FCEN由此推导出平面CFM平面PEN【解析】证明：（）折叠