河北省张家口市2019届高三数学上学期期末考试试卷文（含解析）.docx

张家口市20182019学年度第一学期期末教学质量监测高三数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，则中元素的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出，然后求出，即可得到答案。【详解】，则.故答案为C.【点睛】本题考查了集合的运算，主要涉及交集与补集，属于基础题。2.已知是虚数单位，是的共轭复数，则的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘除运算可求得z,写出z的共轭复数，即可得到虚部.【详解】，1i，其虚部为1，故选:D.【点睛】本题考查复数的乘除运算，考查共轭复数及复数虚部的概念，属于简单题.3.甲、乙两名同学在五次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是，观察茎叶图，下列结论正确的是（ ）A. ，乙比甲成绩稳定 B. ，乙比甲成绩稳定C. ，甲比乙成绩稳定 D. ，甲比乙成绩稳定【答案】A【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，即可计算出两人平均分，再根据茎叶图的分布情况可知乙成绩稳定.【详解】由茎叶图知，甲的平均数是，乙的平均数是所以，从茎叶图上可以看出乙的数据比甲的数据集中，乙比甲成绩稳定故选：A【点睛】本题考查茎叶图中两组数据的平均数和稳定程度，平均数要进行计算，稳定程度可通过计算方差或通过数据排布形状作出比较4.已知椭圆的中心在原点，焦点，在坐标轴上，点为椭圆上一点，且，成等差数列，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，成等差数列，可得，即，即可求出离心率。【详解】由题意知，即，故离心率.【点睛】本题考查了椭圆中离心率的求法，涉及椭圆的几何性质及等差数列的性质，属于基础题。5.已知三棱锥的各顶点都在以为球心的球面上，球的表面积为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意知，又，故三棱锥的外接球和以，为长宽高的长方体的外接球相同，求解即可。【详解】因为，所以，又，故三棱锥的外接球和以，为长宽高的长方体的外接球相同，故外接球直径为，又因为外接球的表面积为，则，故.故答案为C.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，考查了学生的空间想象能力，属于基础题。6.已知为实数，若，则函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对函数求导，由求出a,然后解不等式即可得到答案.【详解】，则又则，解得a=-2,解得,则函数的单调递增区间为故选：B.【点睛】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，是基础题7.设为所在平面内一点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出【详解】=,故选：D【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8.先将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）A. 函数的最小正周期为B. 函数的图象的一条对称轴为C. 函数的图象的一个对称中心为D. 函数为偶函数【答案】D【解析】【分析】通过对函数的伸缩平移变换可得到，对选项逐个分析可得到答案。【详解】先将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到，故.函数的最小正周期为，故A错误；将代入函数中，得到，故不是函数的一条对称轴，故B错误；由于，故不是函数的一个对称中心，故C错误；，是偶函数，D正确。【点睛】本题考查了三角函数的伸缩平移变换，考查了三角函数的周期性，对称轴，对称中心，奇偶性，属于基础题。9.某几何体的三视图如图所示，其正视图是斜边长为的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是等边圆柱斜削一半，求出圆柱体积的一半即可.【详解】由三视图可知，该几何体是等边圆柱斜削一半,由正视图是斜边长为的等腰直角三角形可知底面圆的半径为1,圆柱的高为2，所求几何体的体积为.故选：B.【点睛】本题考查三视图，考查圆柱的体积公式，其中由三视图推出几何体的形状是关键.10.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，在大正方形内取一点，则此点取自中间小正方形的概率为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据已知条件得到小正方形的边长，然后利用几何概型的概率公式即可得到答案.【详解】大正方形的面积为，则正方形的边长为,即,则直角三角形中较短的边为较长边为=4,则中间小正方形的边长为4故点取自中间小正方形的概率为.故选：A.【点睛】本题考查“面积型”的几何概型，解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关键是计算事件的总面积以及所求事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.11.圆 ：与轴正半轴交点为，圆上的点，分别位于第一、二象限，并且，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，可知，设的坐标为，根据向量的关系列方程求解即可。【详解】由题意知，设的坐标为,则,因为，所以，即，又，联立解得或，因为在第二象限，故只有满足，即.故答案为B.【点睛】本题考查了单位圆的性质，考查了向量的坐标表示，向量的数量积，考查了方程思想，属于基础题。12.函数，则的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合函数的解析式分三种情况：时，不等式转化为；当时，不等式转化为；当时，不等式转化为4，分别求解进而可以得到答案。【详解】由题意，当时，则，解得，与矛盾，故不成立；当时，则，解得，由于，故；当时，则4，解得，由于，故.综上的解集为.故答案为A.【点睛】本题考查了分段函数，考查了不等式的求解，考查了分类讨论思想的运用，属于基础题。二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，且，,则_【答案】2【解析】【分析】由，可以求出，从而得到函数的表达式，进而可以求出，及，即可得到答案。【详解】由题意知，解得，解得，故函数表达式为，则，则.故答案为2.【点睛】本题考查了分段函数，考查了指数幂的运算，及对数式的运算，属于基础题。14.设变量，满足的约束条件，则目标函数的最大值为_【答案】【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图由得到，平移直线，由图象可知当经过点B时，直线的截距最大，此时z最大， 由解得B(1,3)此时z1+3722，故答案为：22【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.经过点作圆的切线，设两个切点分别为，,则_【答案】【解析】【分析】由圆的方程可以求出圆心坐标及半径，进而可以求出，从而求出的值，由，利用二倍角的正切公式，可以求出的值.【详解】圆的方程可化为，则圆心为，半径为r=1，设，则,.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的性质，考查了两点间的距离公式，二倍角的正切公式，属于基础题。16.在锐角中，,在边上，并且，则的面积为_【答案】【解析】【分析】在中，由正弦定理，可得到，在中，由正弦定理，可得到，由是锐角，可知，结合三角形的面积公式可得到答案。【详解】在中，由正弦定理得：，则，在中，由正弦定理得：，则，因为，所以，由于三角形是锐角三角形，故，则，故的面积为.【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式，属于中档题。三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，.（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由是等差数列，可求出，由是等比数列，可求出；（2）将和的通项公式代入，则 ，利用裂项相消求和法可求出.【详解】(1)，解得.又， .（2）由（1），得 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式的求法，考查了用裂项相消求数列的前项和，属于中档题。18.四棱柱中，侧棱底面，底面为菱形，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求四面体的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接，可知是的中点，连接，由于是的中点，可知，即可证明平面；（2）由于平面，可证明 ，求出即可得到答案。【详解】（1）证明：连接，在菱形中，因为是的中点，所以是的中点.连接，则在中，又由于是的中点，所以.又平面，平面 ，所以平面.（2）解： ，由于平面，故.【点睛】线面平行的证明，关键在于在平面内找出与已知直线的平行线；三棱锥的体积，常常通过等体积法求解，学生在学习中要重视这种题型。19.某医疗器械公司在全国共有个销售点，总公司每年会根据每个销售点的年销量进行评价分析.规定每个销售点的年销售任务为一万四千台器械.根据这个销售点的年销量绘制出如下的频率分布直方图.（1）完成年销售任务的销售点有多少个？（2）若用分层抽样的方法从这个销售点中抽取容量为的样本，求该五组，（单位：千台）中每组分别应抽取的销售点数量. （3）在（2）的条件下，从该样本中完成年销售任务的销售点中随机选取个，求这两个销售点不在同一组的概率.【答案】（1）24；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）由频率之和等于1，列出方程，求解即可；（2）各组应抽取的销售点数量比例为，按比例计算即可；（3）完成年销售任务的销售点，中有个，中有个，不在一组的基本事件有9个，所有的基本事件有15个，即可得到概率为。【详解】（1），解得，则完成年销售任务的销售点个数为.（2）各组应抽取的销售点数量比例为，则各组应抽取的销售点数量分别为，.（3）在第（2）问容量为的样本中，完成年销售任务的销售点，中有个，记为，中有个，记为，.从这个销售点中随机选取个，所有的基本事件为，共个基本事件，不在一组的基本事件有，共个基本事件，故所求概率为.【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了分层抽样，考查了概率的计算，属于基础题。20.以为圆心的动圆经过点，并且与直线相切.（1）求点的轨迹的方程；（2）若，是曲线上的四个点，并且，相交于点，直线的倾斜角为锐角.若四边形的面积为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）设圆与直线相切于点，则，点的轨迹为抛物线，求出方程即可；（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立可得 ，同理可得，则四边形的面积，即可求出，进而得到直线的方程。【详解】（1）设圆与直线相切于点，则，即点到的距离与点到直线的距离相等，所以点的轨迹为抛物线.是焦点，是准线.所以的方程为.（2）设，直线的方程为，.由得，. .同理，.所以四边形的面积 .由，得或，所以或.所以直线的方程为或.【点睛】本题考查了抛物线的定义，抛物线的方程，考查了直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理的运用，抛物线弦长公式及焦半径的运用，属于中档题。21.已知函数 .（1）求的单调区间；（2）设，为函数图象上不同的两点，的中点为，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，函数定义域为，由于，可知 当时，当时，即可判断单调性；（2）先求出，和，则要证的不等式，不妨假设，即证，令，构造函数，求导可判断函数在上单调递增，则，进而可以证明不等式成立。【详解】（1）的定义域为， .由于，则当时，当时，则的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）证明：因为为的中点，则，故 ， 故要证，即证，由于，即证.不妨假设，只需证明，即.设，构造函数，故在上单调递增，则，则有，从而.【点睛】本题考查了函数与导数的综合问题，考查了函数的导数，函数的单调性，考查了不等式的证明，及构造函数的思想，属于难题。22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到的距离的最大值.【答案】（1）直线：，曲线：（2）【解析】【分析】（1）消去参数t即可得到直线l的普通方程，利用，y=化简可得曲线的直角坐标方程；（2）由曲线C的方程，设，再由点到直线的距离公式和三角函数的性质，即可求解【详解】（1）消，得：.，.，即，即.直线：，曲线：.（2）曲线的参数方程为（为参数），设，则 （其中满足，）.，.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及椭圆的参数方程的应用问题，考查点到直线的距离公式，把距离转化为三