中考数学专题训练解直角三角形的应用含答案.doc

中考数学专题训练：解直角三角形的应用附参考答案1. （2012山西省）如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端AB的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45，求岛屿两端AB的距离（结果精确到0.1米，参考数据：）【答案】解：过点A作AECD于点E，过点B作BFCD于点F，ABCD，AEF=EFB=ABF=90。四边形ABFE为矩形。AB=EF，AE=BF。由题意可知：AE=BF=100，CD=500。在RtAEC中，C=60，AE=100，。在RtBFD中，BDF=45，BF=100，。AB=EF=CD+DFCE=500+1006001.7360057.67542.3（米）。答：岛屿两端AB的距离为542.3米。2. （2012江苏）如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居民楼顶A的仰角为60，然后他从P处沿坡角为45的山坡向上走到C处，这时，PC=30 m，点C与点A恰好在同一水平线上，点A、B、P、C在同一平面内（1）求居民楼AB的高度；（2）求C、A之间的距离（精确到0.1m，参考数据：,）【答案】解：（1）过点C作CEBP于点E，在RtCPE中，PC=30m，CPE=45，。CE=PCsin45=30（m）。点C与点A在同一水平线上，AB=CE=21.2（m）。答：居民楼AB的高度约为21.2m。（2）在RtABP中，APB=60，。 （m）。PE=CE=m， AC=BE=33.4（m）。答：C、A之间的距离约为33.4m。3. （2012湖南）如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得ADG=30，在E处测得AFG=60，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字，1.732）【答案】解：根据题意得：四边形DCEF、DCBG是矩形，GB=EF=CD=1.5米，DF=CE=8米。设AG=x米，GF=y米，在RtAFG中，tanAFG=tan60=，在RtADG中，tanADG=tan30=，二者联立，解得x=4，y=4。AG=4米，FG=4米。AB=AGGB=41.58.4（米）。这棵树AB的高度为8.4米。4.（2012四川）水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD.学科王如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，B=600，背水坡面CD的长为米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED，CE的长为8米。（1） 已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？（2） 求加固后的大坝背水坡面DE的坡度。【答案】解：（1）如图，分别过A、D作AFBC，DGBC，垂点分别为F、G。在RtABF中，AB=16米，B=60，即DG=。又CE=8，。又需加固的大坝长为150，需要填方：。答：需要填土石方立方米。（2）在RtDGC中，DC=，DG=，。GE=GC+CE=32。DE的坡度。答：加固后的大坝背水坡面DE的坡度为。5. （2012山东）某市规划局计划在一坡角为16的斜坡AB上安装一球形雕塑，其横截面示意图如图所示已知支架AC与斜坡AB的夹角为28，支架BDAB于点B，且AC、BD的延长线均过O的圆心，AB12m，O的半径为1.5m，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离(结果精确到0.01m，参考数据：cos280.9，sin620.9，sin440.7，cos460.7)【答案】解：如图，过点O作水平地面的垂线，垂足为点E。 在RtAOB中，即， 。BAE=160，OAE=280160=440。在RtAOE中，即，9.3331.5=10.83310.83（m）。答：雕塑最顶端到水平地面的垂直距离为10.83 m。6. （2012山东青岛8分）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)(1)求教学楼AB的高度；(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)(参考数据：sin22，cos22，tan22)【答案】解：（1）过点E作EMAB，垂足为M。设AB为x 在RtABF中，AFB=45，BF=AB=x。BC=BFFC=x13。在RtAEM中，AEM=22，AM=ABBM=ABCE=x2，又，解得：x12。教学楼的高12m。（2）由（1）可得ME=BC=x+1312+13=25。在RtAME中，AE=ME cos22。A、E之间的距离约为27m。7. （2012江西省9分）如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆ABCD相交于点O，BD两点立于地面，经测量：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条直线，且EF=32cm（1）求证：ACBD；（2）求扣链EF与立杆AB的夹角OEF的度数（精确到0.1）；（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由（参考数据：sin61.90.882，cos61.90.471，tan61.90.553；）【答案】（1）证明：ABCD相交于点O，AOC=BOD。OA=OC，OAC=OCA=（180BOD）。同理可证：OBD=ODB=（180BOD）。OAC=OBD。ACBD。（2）解：在OEF中，OE=OF=34cm，EF=32cm；作OMEF于点M，则EM=16cmcosOEF=0.471。用科学记算器求得OEF=61.9。（3）小红的连衣裙会拖落到地面。理由如下：在RtOEM中， （cm）。过点A作AHBD于点H，同（1）可证：EFBD，ABH=OEM，则RtOEMRtABH（cm）。小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm晒衣架的高度AH（120cm）。8. （2012山东潍坊10分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道上确定点D，使CD与垂直，测得CD的长等于21米，在上点D的同侧取点A、B，使CAD=300，CBD=600 (1)求AB的长(精确到0.1米，参考数据：)； (2)已知本路段对校车限速为40千米小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速?说明理由 【答案】解：（1）由題意得，在RtADC中，在RtBDC中，AB=ADBD= （米）。（2）汽车从A到B用时2秒，速度为24.22=12.1（米/秒），12.1米/秒=43.56千米/小时，该车速度为43.56千米/小时。43.56千米/小时大于40千米/小时，此校车在AB路段超速。9. （2012内蒙古包头8分）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽AD = 5 米，斜坡AB 的坡度i =1：3 （指坡面的铅直高度AE 与水平宽度BE 的比），斜坡DC 的坡度i=1：1 . 5 ，已知该拦水坝的高为6 米。（1）求斜坡AB 的长； （2）求拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长。（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【答案】解：（1），AE=6，BE=3AD=18。 在RtABE中，根据勾股定理得，。 答：斜坡AB 的长为米。 （2）过点D作DFBC于点F， 四边形AEFD是矩形。 EF=AD。 AD=5，EF=5。 又， DF=AE=6，CF=DF=9。 BC=BEEFCF=1859=32。在RtDCF中，根据勾股定理得，。梯形ABCD 的周长为ABBCCDDA=。答：拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长为米。10、(2013年河北三摸)如图，风车的支杆OE垂直于桌面，风车中心O到桌面的距离OE为25cm，风车在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C、D在同一圆O上，已知O的半径为10cm.。（1）风车在转动过程中，点为A到桌面的最远距离为_cm，最近距离为_cm；（2）风车在转动过程中，当AOE45时，求点A到桌面的距离(结果保留根号)（3）在风车转动一周的过程中，求点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路径长(结果保留)解：（1）35，15；（2）点A运动到点A1的位置时AOE45. 作A1FMN于点F，A1GOE于点G，A1FGE. 在RtA1OG中，A1OG45，OA110， OGOA1cos45105.OE25，GEOEOG255. A1FGE255. 答：点A到桌面的距离是(255)厘米（3）点A在旋转过程中运动到点A2、A3的位置时，点A到桌面的距离等于20厘米. 作A2HMN于H，则A2H20. 作A2DOE于点D，DEA2H. OE25， ODOEDE25205. 在RtA2OD中， OA210， cosA2OD. A2OD60. 由圆的轴对称性可知，A3OA22A2OD120. 点A所经过的路径长为.答：点A所经过的路径长为厘米 11、(2013吉林中考模拟)已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45，然后他们沿着坡度为12.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）（参考数据：sin760.97，cos760.24，tan764.01）解：（1）过点A作AHPQ，垂足为点H斜坡AP的坡度为12.4， 设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k13k=26解得k=2AH=10 答：坡顶A到地面PQ的距离为10米 （2）延长BC交PQ于点DBCAC，ACPQ，BDPQ 四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH BPD=45，PD=BD 设BC=x，则x+10=24+DHAC=DH=x14在RtABC中，即 解得，即 答：古塔BC的高度约为19米 2013中考数学专题训练：方案设计型考点：一次方程、方程组、分式方程、不等式组、一次函数、二次函数、1某商店准备购进甲、乙两种商品已知甲商品每件进价15元，售价20元；乙商品每件进价35元，售价45元(1)若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2 700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？(2)若该商店准备用不超过3 100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少于890元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少(利润售价进价)?解：(1)设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，根据题意，得解得：答：商店购进甲种商品40件，购进乙种商品60件(2)设商店购进甲种商品a件，则购进乙种商品(100a)件，根据题意列，得解得20a22.总利润W5a10(100a)5a1 000，W是关于x的一次函数，W随x的增大而减小，当x20时，W有最大值，此时W900，且1002080，答：应购进甲种商品20件，乙种商品80件，才能使总利润最大，最大利润为900元2今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环保意识，节约用水，某校数学教师编造了一道应用题：为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：月用水量(单位：吨)单价(单位：元/吨)不大于10吨部分1.5大于10吨，且不大于m吨部分(20m50)2大于m吨部分3(1)若某用户六月份的用水量为18吨，求其应缴纳的水费；(2)记该用户六月份的用水量为x吨，缴纳水费y元，试列出y关于x的函数式；(3)若该用户六月份的用水量为40吨，缴纳水费y元的取值范围为70y90，试求m的取值范围解：(1)应缴纳水费：101.5(1810)231(元)(2)当0x10时，y1.5x；当10m时，y152(m10)3(xm)3xm5.y(3)当40m50时，y240575(元)，满足当20m40时，y340m5115m，则70115m90，25m45，即25m40.综上得，25m50.3潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A，B两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：种植户种植A类蔬菜面积(单位：亩)种植B类蔬菜面积(单位：亩)总收入(单位：元)甲3112 500乙2316 500说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩的平均收入相等；亩为土地面积单位(1)求A，B两类蔬菜每亩的平均收入各是多少元；(2)某种植户准备租20亩地用来种植A，B两类蔬菜，为了使总收入不低于63 000元，且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数)，求该种植户所有的租地方案解：(1)设A，B两类蔬菜每亩平均收入分别是x元，y元由题意，得解得答：A，B两类蔬菜每亩平均收入分别是3 000元，3 500元(2)设用来种植A类蔬菜的面积为a亩，则用来种植B类蔬菜的面积为(20a)亩由题意，得解得10a14.a取整数，为：11,12,13,14.租地方案为：类别种植面积(亩)A11121314B98764.某学校计划将校园内形状为锐角ABC的空地（如图）进行改造，将它分割成AHG、BHE、CGF和矩形EFGH四部分，且矩形EFGH作为停车场，经测量BC=120m，高AD=80m，（1）若学校计划在AHG上种草，在BHE、CGF上都种花，如何设计矩形的长、宽，使得种草的面积与种花的面积相等？（2）若种草的投资是每平方米6元，种花的投资是每平方米10元，停车场铺地砖投资是每平方米4元，又如何设计矩形的长、宽，使得ABC空地改造投资最小？最小为多少?解、（1）设FG=x米，则AK=(80x)米由AHGABCBC=120，AD=80可得： BE+FC=120= 解得x=40当FG的长为40米时，种草的面积和种花的面积相等。（2）设改造后的总投资为W元W=6(x20)2+26400当x=20时,W最小=36400答:当矩形EFGH的边FG长为20米时，空地改造的总投资最小，最小值为26400元。5.我州鼓苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，州政府决定组织21辆汽车装运这三种土特产共120吨，参加全国农产品博览会.现有A型、B型、C型三种汽车可供选择.已知每种型号汽车可同时装运2种土特产，且每辆车必须装满.根据下表信息，解答问题.特产车型苦荞茶青花椒野生蘑菇每辆汽车运载量（吨）A型22B型42C型16车型ABC每辆车运费（元）150018002000（1）设A型汽车安排辆，B 型汽车安排辆，求与之间的函数关系式.（2）如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案.（3）为节约运费，应采用（2）中哪种方案？并求出最少运费. 解：（1）法根据题意得化简得： （2）由 得 ，解得 . 为正整数，.故车辆安排有三种方案，即： 方案一：型车辆，型车辆，型车辆 方案二：型车辆，型车辆，型车辆 方案三：型车辆，型车辆，型车辆 （3）设总运费为元，则 随的增大而增大，且 当时，元答：为节约运费，应采用 中方案一，最少运费为37100元。6.为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元（1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？（2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用解：（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需（x+25）天 根据题意得： 方程两边同乘以x（x+25），得30（x+25）+30x=x（x+25），即x235x750=0解之，得x1=50，x2=15 经检验，x1=50，x2=15都是原方程的解但x2=15不符合题意，应舍去当x=50时，x+25=75答：甲工程队单独完成该工程需50天，则乙工程队单独完成该工程需75天（2）此问题只要设计出符合条件的一种方案即可方案一：由甲工程队单独完成 所需费用为：250050=125000（元）方案二：由甲乙两队合作完成所需费用为：（2500+2000）30=135000（元）7. “五一”期间，为了满足广大人民的消费需求，某商店计划用160000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表：类别彩电冰箱洗衣机进价200016001000售价220018001100（1）、若全部资金用来购买彩电和洗衣机共100台，问商店可以购买彩电和洗衣机各多少台?(2)、若在现有资金160000元允许的范围内，购买上表中三类家电共100台，其中彩电台数和冰箱台数相同，且购买洗衣机的台数不超过购买彩电的台数，请你算一算有几种进货方案？哪种进货方案能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？并求出最大利润。（利润=售价-进价）解：（1）设商店购买彩电x台，则购买洗衣机（100x）台由题意，得2000x+1000（100x）=160000，解得x=60，则100x=40（台），所以，商店可以购买彩电60台，洗衣机40台（2）设购买彩电和冰箱各a台，则购买洗衣机为（1002a）台根据题意，得 解得因为a是整数，所以a=34、35、36、37因此，共有四种进货方案设商店销售完毕后获得的利润为w元，则w=（22002000）a+（18001600）a+（11001000）（1002a）=200a+10000，2000，w随a的增大而增大，当a=37时，=20037+10000=17400，所以，商店获得的最大利润为17400元8.在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D、E两地进行处理已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米（1）求运往两地的数量各是多少立方米？（2）若A地运往D地a立方米（a为整数），B地运往D地30立方米，C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍其余全部运往E地，且C地运往E地不超过12立方米，则A、C两地运往D、E两地哪几种方案？（3）已知从A、B、C三地把垃圾运往D、E两地处理所需费用如下表：A地B地C地运往D地（元/立方米）222020运往E地（元/立方米）202221在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？解：（1）设运往E地x立方米，由题意得，x+2x10=140，解得：x=50，2x10=90，答：共运往D地90立方米，运往E地50立方米；（2）由题意可得，解得：20a22，a是整数，a=21或22，有如下两种方案：第一种：A地运往D地21立方米，运往E地29立方米；C地运往D地39立方米，运往E地11立方米；第二种：A地运往D地22立方米，运往E地28立方米；C地运往D地38立方米，运往E地12立方米；（3）第一种方案共需费用：2221+2029+3920+1121=2053（元），第二种方案共需费用：2222+2820+3820+1221=2056（元），所以，第一种方案的总费用最少9.我市化工园区一化工厂，组织20辆汽车装运A、B、C三种化学物资共200吨到某地按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满请结合表中提供的信息，解答下列问题：（1）设装运A种物资的车辆数为x，装运B种物资的车辆数为y求y与x的函数关系式；（2）如果装运A种物资的车辆数不少于5辆，装运B种物资的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费物资种类ABC每辆汽车运载量（吨）12108每吨所需运费（元/吨）240320200解：（1）根据题意，得：12x+10y+8（20xy）=200，12x+10y+1608x8y=2002x+y=20，y=202x，（2）根据题意，得：解之得：5x8x取正整数，x=5，6，7，8，共有4种方案，即ABC方案一5105方案二686方案三767方案四848（3）设总运费为M元，则M=12240x+10320（202x）+8200（20x+2x20）即：M=1920x+64000M是x的一次函数，且M随x增大而减小，当x=8时，M最小，最少为48640元10.为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔作为奖品.已知5个文具盒、2支钢笔共需100元；4个文具盒、7支钢笔共需161元.（1）每个文具盒、每支钢笔个多少元？（2）时逢“五一”，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：文具盒“九折”优惠；钢笔10支以上超出部分“八折”优惠.若买x个文具盒需要元，买x支钢笔需要元；求、关于x的函数关系式；（3）若购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请你分析买哪种奖品省钱.解：（1）设每个文具盒x元，每支钢笔y元，可列方程组得， 解之得答：每个文具盒14元，每支钢