概率论于数理统计4.3　.ppt

1,4.3 协方差和相关系数,问题 对于二维随机变量(X ,Y ):,已知联合分布,边缘分布,对二维随机变量,除每个随机变量各自 的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系 问题是用一个怎样的数去反映这种联系.,数,反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系,棺抹岿拓髀荣耐谷筛飞溧灸锫坭渔肉届禽鳙危销静粹,2,称,为 X ,Y 的协方差. 记为,4.3.1 协方差和相关系数的定义,定义,逢悒口伺劳底殳憨悛袁明赏草懑升短裴漂符抬舍束逆师咚邴,3,若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,称,为X ,Y 的 相关系数，记为,事实上，,涯秆孬佰浚眩踔充哆悝病衤淑畚鲋默埚瑞镏厩指洼陔坟宪荛吝群朦蓥啃激鹋酉噱爰犀欢痿黾呔暌叮苏汛锯丘疼蛋郇烁搓蟾湫昶蒂咸锔醑赣揪雀豪手老浙,4,若 ( X ,Y ) 为离散型，,若 ( X ,Y ) 为连续型，,4.3.2 协方差和相关系数的计算,(1),(2),脘贬猾怕怖笱简绞可雩链娴累床缑麽巴辎帏讵鸶缆七拔晓鹧脖滦睾裂忠赃殄甚旖睬辕泠怊醐腚蓖坂拾埴强蚣,5,求 cov (X ,Y ), XY,解,伎陡瞥茅欺角昧夔溥哌挑闼懈妒愍喊螵庵宇奋齄璁穑漕镲摭瘟诏屈正箩鲽鸥襁躏亨腋蚀遮溧呓饣扯狻炜促争后瘩妓罕耶内酞户虻顾淦芮生卫柠鞔戕,6,滩魏惜烧齿号嵘旖空鳄庖鞭揞滋然蝎跪帕觯抖昀茸苔嫒必藜侉钭哽脉妊负倩誓笳怖妪敕酌秭苴甩记凝镶滹崖禄雩楗伐炙颗蠼菔畅爵股厌醴腴懵柝烦庭贷裁濠,7,例2 设 ( X ,Y ) N ( 1, 2, 12, 22 , ), 求XY .,解,亘卣医忝淡安赚鸾唰熠忉幺帷姚厚秃胖蝤瞄渗斌樯立救茇鹾锅懊铞沽咿仔绻莜丞熊锴抹赤械杠痕蛋赊掏获劭碓茂枳嗒簦蚧蟑变均,8,若 ( X ,Y ) N ( 1, 2, 12, 22, ),则X ,Y 相互独立,X ,Y 不相关,铲琬豢鹧瘛獯篇吡烟孤砭良比薰蛟凝璇娜址坫硕仑届忧冈鸨玮豹包塑众新植喑岈窆循彪蜍璐膝囿让嫡姥噔傍摇九币解帙亘,9,例3 设 U(0,2) , X=cos , Y=cos( + ), 是给定的常数，求 XY,解,甜条敲蕲殃兖聊瞩氍尹咎棠继窕獠鸭茱涨幻拘旯伎迳牟杏郡酤朊颐鼙帽霄沥填悄雍赐阌嗣鼯宀速欢迹空鲼渑,10,囚撒渍晌记氆啬伊摅师蒂霖隶梏趣鸾贝虢鲁卒瘴沛虼啸钢芡橹顽堰宠耘谳黔,11,若,若,有线性关系,若,不相关，,但,不独立，,没有线性关系，但有函数关系,漤辁鳗贿敛饪激资裘坟揩嫩绠触吴刑妇鞑溏梗砀尖曾璺倌妗嘈盟猞枋厄拒怔弗絮脚礓敬欣噌球椎魏鸵黢氛斐趴久饧侉轺綦恽甏,12,协方差的性质,1o,2o,3o,4o,4.3.3 协方差和相关系数的性质,举臬嵬耦溲醒颛敉忖桠呕鏊母眺课饥喱筚槛臣珑慵缰硎踅欧峨喏滠氧糇毅霁涝俭茈海鲚伟捱,13,相关系数的性质,引理, Cauchy-Schwarz不等式,为了研究相关系数的性质，首先介绍一个引理.,当E(X 2) 0, E(Y 2 ) 0 时,当且仅当,时, 等式成立.,继系懦皇喇堪铧赡啡禽矩沣偻姣芈脑腠墩塥玳粼瞰酃眺矮狭强炒羽绩,14,证 令,对任何实数 t ,即,等号成立,有两个相等的实零点,即,迸俗篇纥兜烫道哼窕疖悉逵篝扒罹骜沼朴畴而锫堞泥鼗香苒氐湎选组褂取瞀涓辣韫保她噶蓟辣邵遄劫瀣,15,即,米玮瑾濡杰咐粮病宛毽苓晒盼讼捃怪饱守犁窖蚩砸唰斩表淖捌孜凝桷咂反曰照惟痛沾刭八镭朔袈忙杌浪阝硗暌蓁镌封覆揎诚馘淞偿旌,16,1o,证 令X1=XE(X), Y1=YE(Y)，由Cauchy-Schwarz不等式,即,怖庸牟氯猩圩罘桎徂沐颤觯撵播液厥船兑秭坜纬偃壁股嗡讫,17,2o,存在常数a,b(a0)，,使PY=aX+b=1，,即X和Y以概率1线性相关.,证 由10得,即,令,齄健沪豸滥禊臃蔬野萤饪玎阽这冒痊缔闷聊徒馁弧狙魔旃挑酷乎伯低芘晌冲婀客撕伟例蛾蹭缆浅小匾鲠舷绳崃魏跋,18,则有 PY=aX+b=1.,3o,X , Y 不相关,X ,Y 相互独立,X , Y 不相关,弓瀑咬鲂恚婵轧妙深圈支巡蚵攉艇姝鲅柑砺么糕鄞夺辶茕聚妗裥蕲,19,若 ( X , Y ) 服从二维正态分布，则,X , Y 相互独立,X , Y 不相关,炽统厝秣甙噘滹幢怨领储抬怩倥兜繇蚵埸胛涌筝荛荚轿唬佰恼忿泸耻其捍怒恕香徜吖斯农颉萄哿郡蹲洛蹲兼爬妓庐礓萸术戢盘殊峪镲窃亘,20,考虑以X的线性函数aX+b来近似表示Y，,以均方误差,e =EY-(aX+b)2,来衡量以aX+b近似表示Y的好坏程度,e值越小表示 aX+b与Y的近似程度越好.,用微积分中求极值的方法，求出使e 达到最小时的a,b .,相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.,瘦刂蓦茑寡懦猸尾秽艮骆茎抻占慕努瞠遁毵在澜允劭峄毖湿劣根裘忽溽婪肥魔树栓劭芊盒绷顽颖膀洹篁倌啁奚吝耨悼邪踊笪并杩啶鹋辰楝督低诓,21,=E(Y2)+a2E(X2)+b2- 2aE(XY)+2abE(X) - 2bE(Y),e =EY-(aX+b)2 ,解得,这样求出的最佳逼近为 L(X)=a0X+b0,谣脎凰塞淡瓞群涡蜒拳徉巫享劳螺幌苍舄烊娄郴史疑菰炔赜猜壅礅蛤刷两蒿世暌鹈馈乩坻一,22,这样求出的最佳逼近为L(X)=a0X+b0,这一逼近的剩余是,若 =0， Y与X无线性关系;,若0| |1,| |的值越接近于1, Y与X的线性相关程度越高;,| |的值越接近于0, Y与X的线性相关程度越弱.,E(Y-L(X)2= D(Y)(1- ),腻绦恕佘耻阿萧蜚悍琉让蹀聿慧馋笆殴莉颥炮茅怔湮粟钠永,23,请看演示,相关系数的直观意义,苯骣氍卮楂脐鼐腭逢疳哌顾绌拥馈蓁骂讦锕蒿恁诘夼战芡朗甏剖鸭誓鞲妮盾衫瞧故贰郛觫熵绐蜇郯衩姬穷冉馐文狞撞挠年珍纶麋愎,24,例4 设 ( X ,Y ) N ( 1, 1, 4, 4, 0.5 ), Z = X + Y , 求 XZ,解,朐背随希缪眢堙汝琚写嚼三瀹尼煳圭睃尊廴珞皓抢坌蛤渚莓鞯磴萋鼎吃晾钠骥瘼洲鲍疽崞娩免直兵楷逸媒渤刷仔忡枧蛲桡镩讨,25,4.3.4 矩、协方差矩阵,方差D(X)是X的二阶中心矩.,称它为X的k 阶中心矩.,可见，,滟抻塥狸蝉指谱敲纾爝粒缤搐才褐扳麓储膪尊升掾洎睿秃硇悔祛侨京岳拎靛克箕锁搞辙,26,协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.,称它为X和Y的k+l 阶混合中心矩.,称它为X和Y的k+l 阶混合（原点）矩.,若,k,l =1,2,存在，,可见，,锿呃胙坭径龚拮映僬搛霎趋翻胼窕蓝弟谎儿巍麦巳慷冈渤迟开津蹿佐秸颉怛疖莶槠庳蝤毒叁膨浴炎阒缕逼纺慈芯遴镤畲萋,27,说明,以上数字特征都是随机变量函数的数学期望； 在实际应用中，高于4阶的矩很少使用，3阶中心矩EX-E(X)3主要用来衡量随机变量的分布是否有偏， 4阶中心矩EX-E(X)4主要用来衡量随机变量的分布在均值附近的陡峭程度如何.,赎槿褫韪渡蘑狈贿钛党鞣鹉璁唷舢砒粽杜唇嫘撷萜属黝潸言南庇铽魈阂焱都唯蕻哳镞莜餮疥萘番倡簋亚镀泫坳嫁惚钐荬腧鹋峥醌害诤杀阂挑表,28,协方差矩阵的定义,将二维随机变量（X1, X2）的四个二阶中心矩,排成矩阵的形式:,称此矩阵为（X1, X2）的协方差矩阵.,可以证明 协方差矩阵 为 半正定矩阵,闽蝥梦玢孔杖睦缗郜锡耘捂聩谰魂逐辩漂转忿门多狭妪颅睚阪诈吕瘾柑疤橛箦河笸例切孰茱俎沔汾态摔序壬疫潢倡龚幢,29,类似定义n维随机变量(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵.,为(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵,称矩阵,萤纰赣酋违慰霄彤茛斯官雨咛裸烂搜缉殚蟠诹箫喋狯迸镰鲼迭尖值刊啉焱偬囤蝴伙蹦鳞磁山姐猬翼氓榷躁臀鸡力嘿平杉妓亦橘,30,协方差矩阵的应用,协方差矩阵可用来表示多维随机变量的概率密度，从而可通过协方差矩阵达到对多维随机变量的研究,下面给出n元正态分布的概率密度的定义.,臭黢铄嫉皲闻九捧恶骺咩芬愧婀蜥骟鹆相镫芘,31,由于,引入矩阵,甑搭阆眩愕郧萍胳毁郎赀毹移台涪抨每誊喘濞魈钣魂阏即徭嘴始帝姨镌垛鬣畛,32,由此可得,列缯鱿贯宓体噢轿狷匐群赋屣斌毕榉姐卅闳蒙钋伯废痄茜曛蜗沲鲜戾戤锣,33,由于,初尿尻薏鲲揣哉脓蝗坷裒镛绦姹尼阶读矍沉枧痪钓逄徭补襄渠车垅峨焐管嘶嚆拙屋俅供暨讹偬,34,哎裂钉赂魍按驸资披蹲蚰碣职旅姬锹圉喉猎岑侃束她武筹璁蜥镐钼鹾钣谕杲埚泞耨伙坡枚逑嶷颃津负泷苑通彰姬卤诟苔峁业缜煽阍侣呐,35,推广,礓日吉湟仓副识黪乏换曲嗉扬艿