2019版八年级数学下册第十八章平行四边形试题（新版）新人教版.docx

第十八章 平行四边形1.平行四边形的性质 (1)根据平行四边形对边相等,可知平行四边形相邻两边长之和是平行四边形周长的一半. (2)平行四边形的对角相等,邻角互补,这是根据平行线的性质进行推导得出的,可以用来求角的度数. (3)平形四边形的对角线互相平分,且一条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形,两条对角线将平行四边形分成两组全等的三角形,可以应用全等三角形的性质进行解题.【例1】在ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,则ABCD的周长为cm.【标准解答】在ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm, CD=AB=6 cm,AD=BC=8 cm,ABCD的周长为6+6+8+8=28(cm).答案:28【例2】在平面直角坐标系中,ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,0),(3,0), (4,2),则顶点D的坐标为()A.(7,2) B.(5,4)C.(1,2)D.(2,1)【标准解答】选C.如图.四边形ABCD是平行四边形,CD=AB,CDAB,ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,0),(3,0),(4,2),顶点D的坐标为(1,2).【例3】如图,在ABCD中,AB=3,AD=4,ABC=60,过BC的中点E作EFAB,垂足为点F,与DC的延长线相交于点H,则DEF的面积是.【标准解答】四边形ABCD为平行四边形,AB=CD=3,AD=BC=4,EFAB,EHDC,BFE=90,ABC=60,HCB=B=60,FEB=CEH=180-B-BFE=30,E为BC的中点,BE=CE=2,CH=BF=1,由勾股定理得:EF=EH=3.DFH的面积=12FHDH=43,DEF的面积是23.答案:23【例4】如图,E,F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点,CE=AF,请你猜想:线段BE与线段DF有怎样的关系?并对你的猜想加以证明.【标准解答】猜想:BEDF.证明:四边形ABCD是平行四边形,CB=AD,CBAD, BCE=DAF在BCE和DAF中,BCEDAF,BE=DF,BEC=DFA.BEDF,即 BEDF.【例5】如图,在ABCD中,B=80,AE平分BAD交BC于点E,CF/AE交AD于点F,则1=()A.40B.50C.60D.80【标准解答】选B.因为B=80,所以BAD=100,又AE平分BAD,所以BAE=DAE=BEA=50,因为CF/AE,所以1=BEA=50.【例6】如图,在四边形ABCD中,ABCD,ADBC,AC,BD相交于点O.若AC=6,则线段AO的长度等于.【标准解答】因为ABCD,ADBC,所以四边形ABCD是平行四边形,所以AO=OC=12AC=3.答案:3【例7】如图所示,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且ABAD,则下列式子不正确的是()A.ACBDB.AB=CDC.BO=ODD.BAD=BCD【标准解答】选A.四边形ABCD为平行四边形,AB=CD,则选项B正确;又根据平行四边形的对角线互相平分,BO=OD,则选项C正确;又四边形ABCD为平行四边形,ABCD,ADBC,ABC+BCD=180,BAD+ABC=180,BAD=BCD,则选项D正确;由BO=OD,假设ACBD,又OA=OA,ABOADO,AB=AD与已知ABAD矛盾,AC不垂直BD,则选项A错误.1.已知ABCD的周长为32,AB=4,则BC=()A.4B.12C.24D.281题图2题图2.若平行四边形ABCD的周长为22 cm.AC,BD相交于点O,AOD的周长比AOB的周长小3 cm,则AD=,AB=.3.如图,四边形ABCD是平行四边形,E是CD延长线上的任意一点,连接BE交AD于点O,如果ABODEO,则需要添加的条件是.4.如图,四边形ABCD是平行四边形,BE,DF分别是ABC,ADC的平分线,且与对角线AC分别相交于点E,F.求证:AE=CF.2.平行四边形的判定 (1)若已知条件出现在四边形的边上,则考虑利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来说明.【例1】如图,平行四边形ABCD中,点E是AB的延长线上的一点,且ECBD,试说明:四边形BECD是平行四边形.【标准解答】因为四边形ABCD是平行四边形,所以ABCD,即BECD,因为ECBD,所以四边形BECD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).(2)利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来说明.【例2】平行四边形ABCD中,DAB=60,点E,F分别在CD,AB的延长线上,且AE=AD,CF=CB,试说明:四边形AFCE是平行四边形.【标准解答】因为四边形ABCD是平行四边形,所以DCAB,DCB=DAB=60,所以ADE=CBF=60,因为AE=AD,CF=CB ,所以AED,CFB是等边三角形,又在平行四边形ABCD中,AD=BC,DC=AB,所以AE=CF,ED=BF,所以ED+DC=BF+AB, 即EC=AF,所以四边形AFCE是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形). (3)利用“一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形”说明.【例3】如图,在ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,若把ADE绕着点E顺时针旋转180得到CFE.试判断四边形DBCF是怎样的四边形?说明你的理由.【标准解答】 四边形DBCF是平行四边形.理由如下:因为ADE绕点E顺时针旋转180得到CFE,所以ADECFE,且A,E,C和D,E,F在一条直线上,所以AD=CF,A=ECF,所以ABCF.又因为D是AB的中点,所以AD=DB=CF,所以四边形DBCF是平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形为平行四边形)(4)利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明.【例4】如图,已知,平行四边形ABCD中,B,D的平分线分别交CD,AB于点E,F.求证:四边形DFBE是平行四边形.【标准解答】四边形ABCD是平行四边形,ABC =ADC,A=C,BE,DF平分ABC,ADC,1=3=12ADC,2=4=12ABC,1=2=3=4,又DEB=4+C,DFB=3+A,A=C,DEB=DFB,四边形DFBE是平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形).(5)利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来说明.【例5】如图,平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O,E,F分别为OB,OD的中点,过O任作一直线分别交AB,CD于点G,H.说明:四边形EHFG是平行四边形.【标准解答】连接GE,FH.因为四边形ABCD是平行四边形,所以OA=OC,ABCD,所以BAO=DCO,又因为AOG=COH,所以AOGCOH.OG=OH.又因为E,F分别为OB,OD的中点,所以OE=OF,所以四边形EHFG是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).1.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO,请添加一个条件(只添一个即可),使四边形ABCD是平行四边形.2.已知:如图,在四边形ABCD 中,AB CD,E,F 为对角线AC 上两点,且AE=CF,DFBE.求证:四边形ABCD 为平行四边形.3.如图,在ABCD中,点E,F在对角线BD上.且BE=DF.求证:(1)AE=CF.(2)四边形AECF是平行四边形.3.三角形中位线 (1)三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半. (2)三角形的中位线定理中说明了三角形中位线与三角形第三边的位置关系与数量关系,为我们证明平行或求线段的长提供了依据.【例1】如图所示,小明为了测量学校里一池塘的宽度AB,选取可以直达A,B两点的点O 处,再分别取OA,OB的中点M,N,量得MN=20 m,则池塘的宽度AB为m.【标准解答】由三角形的中位线定理可知,AB=2MN=40 m.答案:40【例2】已知:如图,在ABC中,DE,DF是ABC的中位线,连接EF,AD,其交点为O.求证:(1)CDEDBF.(2)OA=OD.【标准解答】(1)DE,DF是ABC的中位线,DF=CE,DFCE,DB=DC.DFCE,C=BDF.在CDE和DBF中,CDEDBF(SAS).(2)DE,DF是ABC的中位线,DF=AE,DFAE,四边形DEAF是平行四边形,EF与AD交于O点,AO=OD.1.如图,在ABC中,CD是高,CE是中线,CE=CB,点A,D关于点F对称,过点F作FGCD,交AC边于点G,连接GE.若AC=18,BC=12,则CEG的周长为.1题图2题图2.如图,在A1B1C1中,已知A1B1=7,B1C1=4,A1C1=5,依次连接A1B1C1的三边中点,得A2B2C2,再依次连接A2B2C2的三边中点得A3B3C3,则A5B5C5的周长为.4.矩形的判定 矩形的判定方法通常有三种:(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义).(2)有三个角是直角的四边形是矩形.(3)对角线相等的平行四边形是矩形.判定矩形的思路:首先考虑定义法,其次考虑三个角为直角,最后考虑对角线法.(1)利用“一个直角+平行四边形”来判定矩形.【例1】如图,ABC中,AB=AC,点D(不与点B重合)在BC上,点E是AB的中点,过点A作AFBC交DE延长线于点F,连接AD,BF.(1)求证:AEF BED.(2)若BD=CD,求证:四边形AFBD是矩形.【标准解答】(1)如图所示,AFBC,1 =2,3 =4.点E是AB的中点,AE=BE,AEF BED (AAS).(2)AEFBED,AF=BD.AFBD,四边形AFBD是平行四边形,AB=AC,BD=CD,ADBC,即ADB=90,四边形AFBD是矩形.(2)利用“三个角都是直角+四边形”来判定矩形.【例2】如图,ABCD的四个内角的平分线相交于点E,F,G,H.求证:四边形EFGH是矩形.【标准解答】四边形ABCD是平行四边形,ADBC,DAB+ABC=180,AH,BH分别平分DAB与ABC,HAB=12DAB,HBA=12ABC,HAB+HBA=90,H=90,同理HEF=F=90,四边形EFGH是矩形.(3)利用“对角线相等+平行四边形”来判定平行四边形是矩形.【例3】如图,在ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA,PC为邻边作APCD,AC与PD相交于点E,已知ABC=AEP=(090).(1)求证:EAP=EPA.(2)APCD是否为矩形?请说明理由.【标准解答】(1)在ABC和AEP中,ABC=AEP,BAC=EAP, ACB=APE.在ABC中,AB=BC,ACB=BAC, EPA=EAP.(2)APCD是矩形,理由如下:四边形APCD是平行四边形,AC=2EA, PD=2EP. 由(1)知 EPA=EAP.EA=EP,则AC=PD.APCD是矩形.1.如图,在ABC中,D是AB的中点,E是CD的中点,过点C作CF/AB交AE的延长线于点F,连接BF.(1)求证:DB=CF.(2)如果AC=BC,试判断四边形BDCF的形状,并证明你的结论.2.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且ACBD,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,依次连接各边中点得到四边形EFGH,求证:四边形EFGH是矩形.5.从两个方向出发判定菱形的方法(1)从四边形出发 当已知提供的是一般四边形时,要想证明它是菱形,可以从两个角度出发:证出四条边都相等得出菱形;先证出四边形是平行四边形,再以此为基础说明平行四边形的边或对角线的特殊情况去判定菱形.【例1】已知:如图,在梯形ABCD中,ABCD,BC=CD,ADBD,E为AB中点,求证:四边形BCDE是菱形.【标准解答】ADBD,ABD是直角三角形.E是AB的中点,BE=12AB,DE=12AB (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),BE=DE,EDB=EBD,CB=CD,CDB=CBD,ABCD,EBD=CDB,EDB=EBD=CDB=CBD,BD=BD,EBDCBD (SAS ),BE=BC,CB=CD=BE=DE,四边形BCDE是菱形.(四条边相等的四边形是菱形)【例2】如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,OA=OC,OB=OD,添加一个条件使四边形ABCD是菱形,那么所添加的条件可以是.(写出一个即可)【标准解答】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形,可得AB=AD,或AB=BC;根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,可得ACBD.答案:AB=AD或AB=BC或ACBD (2)从平行四边形出发 当已知提供的是平行四边形时,要想证明它是菱形,则需说明此平行四边形的“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”即可.【例3】如图,在ABCD中,EFBD,分别交BC,CD于点P,Q,交AB,AD的延长线于点E,F.已知BE=BP.求证:(1)E=F.(2)ABCD是菱形.【标准解答】(1)在ABCD中,BCAD,1=F,BE=BP,E=1,E=F.(2)BDEF,2=E,3=F,E=F,2=3,AB=AD,ABCD是菱形.1.如图,在ABC中,AB=AC,AD,CD分別是ABC两个外角的平分线.(1)求证:AC=AD.(2)若B=60,求证:四边形ABCD是菱形.2.如图,平行四边形ABCD的两条对角线交于O,且BD=6,AC=10,DC=34.问:(1)AC,BD有什么位置关系?你的理由是什么?(2)四边形ABCD是菱形,为什么? 6.判定正方形的方法 (1)由于正方形的判定条件较多,判定时应根据题目的已知条件,首先确定方法. (2)在判定正方形的过程中,首先考虑使用定义(四条边相等,四个角相等),其次考虑对角线(互相垂直+平分+相等),第三,可以进行分层证明,先证矩形再证菱形,或先证菱形再证矩形. (3)使用对角线时,注意分为三个层次,首先是互相平分,保证是平行四边形,然后证相等(或垂直),是矩形(或菱形),最后证垂直(或相等),是菱形(或矩形). (1)用“一组邻边相等+矩形”来判定【例1】如图,已知RtABC中,ABC=90,先把ABC绕点B按顺时针方向旋转90至DBE后,再把ABC沿射线AB平移至FEG,DE,FG相交于点H.(1)判断线段DE,FG的位置关系,并说明理由.(2)连接CG,求证:四边形CBEG是正方形.【标准解答】(1) DEFG,理由如下:由题意得 A =EDB =GFE ,ABC =DBE =90,BDE+ BED =90.GFE+ BED =90,FHE =90,即DEFG.(2)ABC沿射线AB平移至FEG,CBGE,CB=GE.四边形CBEG是平行四边形.ABC =GEF =90,四边形CBEG是矩形.EG=BE,四边形CBEG是正方形.(2)用“一直角+菱形”来判定【例2】如图,在RtABC中,ACB=90,过点C的直线MNAB,D为AB边上一点,过点D作DEBC,交直线MN于点E,垂足为F,连接CD,BE.(1)求证:CE=AD.(2)当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由.(3)若D为AB中点,则当A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明你的理由.【标准解答】(1)DEBC,DFB=90,ACB=90,ACB=DFB,ACDE,MNAB,即CEAD,四边形ADEC是平行四边形,CE=AD.(2)四边形BECD是菱形.理由:D为AB中点,AD=BD,CE=AD,BD=CE,BDCE,四边形BECD是平行四边形,ACB=90,D为AB中点,CD=BD,四边形BECD是菱形.(3)当A=45时,四边形BECD是正方形.理由:ACB=90,A=45,ABC=A=45,AC=BC,D为BA中点,CDAB,CDB=90,四边形BECD是菱形,四边形BECD是正方形,即当A=45时,四边形BECD是正方形.(3)用“对角线相等+菱形”来判定【例3】已知:如图,在ABCD中,O是CD的中点,连接AO并延长,交BC的延长线于点E.(1)求证:AODEOC.(2)连接AC,DE,当B=AEB=时,四边形ACED是正方形?请说明理由.【标准解答】(1)四边形ABCD是平行四边形,ADBC.D=OCE,DAO=E.又OC=OD,AODEOC.(2)当B=AEB=45时,四边形ACED是正方形.AODEOC,OA=OE.又OC=OD,四边形ACED是平行四边形.B=AEB=45,AB=AE,BAE=90.四边形ABCD是平行四边形,ABCD,AB=CD.COE=BAE=90.ACED是菱形.AB=AE,AB=CD,AE=CD.菱形ACED是正方形.1.已知四边形ABCD是平行四边形,再从AB=BC,ABC=90,AC=BD,ACBD四个条件中,选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形,现有下列四种选法,其中错误的是()A.B.C.D.2.如图,在ABC中,AB=AC,ADBC,垂足为点D,AN是ABC的外角CAM的平分线,CEAN,垂足为点E.(1)求证:四边形ADCE为矩形.(2)当ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并给出证明.3.如图,四边形ABCD中,E,F,G,H分别为各边的中点,顺次连接E,F,G,H,把四边形EFGH称为中点四边形.连接AC,BD,容易证明:中点四边形EFGH一定是平行四边形.如果改变原四边形ABCD的形状,那么中点四边形的形状也随之改变,通过探索可以发现:(1)当四边形ABCD的对角线满足AC=BD时,四边形EFGH为菱形.(2)当四边形ABCD的对角线满足时,四边形EFGH为矩形.(3)当四边形ABCD的对角线满足时,四边形EFGH为正方形.7.区分特殊平行四边形性质的三种方法 (1)从边的角度来看:平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对边平行且相等的性质,而菱形和正方形还具有四条边相等的性质. (2)从角的角度来看:平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角相等且邻角互补的性质,而矩形和正方形还具有四个角都等于90的性质. (3)从对角线来看:平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分的性质,而矩形与正方形的对角线还具有相等的性质,菱形与正方形的对角线还具有互相垂直的性质.【例1】平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是()A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.对角线互相垂直平分且相等【标准解答】选A.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形,都具有平行四边形的性质,而平行四边形的对角线的性质是对角线互相平分,故选择A. 【例2】 矩形、菱形、正方形都具有的性质是()A.对角相等B.对角互补C.邻角相等D.四个角都是直角 【标准解答】选A.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形,都具有平行四边形的性质,对角相等邻角互补.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是()A.对边平分B.对边平行且相等C.四条边都相等D.邻边互相垂直答案解析：1.平行四边形的性质【跟踪训练】1.【解析】选B.四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,AD=BC,平行四边形ABCD的周长是32,2(AB+BC)=32,BC=12.2.【解析】由平行四边形对角线互相平分知BO=OD,故AOD周长比AOB的周长小3 cm,实际上就是AB-AD=3(cm).由平行四边形的周长为22 cm可知AD+AB=11 cm,解方程组求解,得AB=7 cm,AD=4 cm.答案:4 cm7 cm3.【解析】因为四边形ABCD是平行四边形,所以ABDE,所以ADE=BAD,又对顶角AOB=DOE,若使ABODEO,则少一对边相等,所以可添加的条件为O是AD的中点或OA=OD;AB=DE;D是CE的中点;O是BE的中点或OB=OE.答案:O是AD的中点或OA=OD(答案不唯一)4.【证明】平行四边形ABCD,AB=DC,ABC=ADC,ABDC,BAC=DCF,又BE,DF分别平分ABC,ADC,ABE=CDF,ABECDF,AE=CF.2.平行四边形的判定【跟踪训练】1.【解析】AO=CO,BO=DO,四边形ABCD是平行四边形.答案:BO=DO(答案不唯一)2.【证明】ABCD,DCA=BAC,DFBE,DFA=BEC,AEB=DFC,在AEB和CFD中,AEBCFD(ASA),AB=CD,ABCD,四边形ABCD为平行四边形.3.【证明】(1)在ABCD中,ABCD,AB=CD,所以ABE=CDF,又因为BE=DF,所以ABECDF(SAS),所以AE=CF.(2)由(1)知ABECDF,可得AE=CF,AEB=CFD,所以AED=CFB,所以AECF,所以四边形AECF是平行四边形.3.三角形中位线【跟踪训练】1.【解析】由题意得:CE=CB=12, 因为点F 是AD 中点,FGCD,所以FG 是ADC的中位线,所以CG=12AC=9,因为点E是AB 的中点,所以EG 是ABC 的中位线,所以GE=12BC=6,所以CEG 的周长为:CE+GE+CG=12+6+9=27.答案:272.【解析】因为A2B2C2是A1B1C1的三边中点,所以A2B2C2的周长是7+4+52=8,以此类推,A5B5C5的周长为7+4+524=1.答案:14.矩形的判定【跟踪训练】1.【解析】(1)CFAB,DAE=CFE,DE=CE,AED=FEC,ADEFCE,AD=CF,AD=DB,DB=CF.(2)四边形BDCF是矩形,证明:DB=CF,DBCF,四边形BDCF为平行四边形,AC=BC,AD=DB,CDAB,CDB=90,四边形BDCF是矩形.2.【证明】点E,F,G