《证明线段相等,角相等,线段垂直》的方法总结.doc

线段相等，角相等，线段垂直方法总结一.证明线段相等的方法：1.中点 2.等式的性质 性质1：等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等。 若a=b 那么有a+c=b+c性质2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等 若a=b 那么有ac=bc 或ac=bc （a,b0 或 a=b ，c0）3.全等三角形 4借助中介线段（要证a=b，只需要证明a=c，c=b即可）二.证明角相等的方法1.对顶角相等 2.等式的性质 3.角平分线 4垂直的定义5.两直线平行（同位角，内错角）6.全等三角形 7.同角的余角相等8等角的余角相等9.同角的补角相等10等角的补角相等11.三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和三证明垂直的方法1.证明两直线夹角=902.证明邻补角相等3.证明邻补角的平分线互相垂直4证明三角形两内角之和=905.垂直于平行线中的一条直线，必定垂直于另一条6.证明此角所在的三角形与已知的直角三角形全等 线段相等，角相等，线段垂直经典例题1.利用角平分线的定义 例题1.如图，已知AB=AC，AD/BC，求证2、基本图形“双垂直” 本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。例题2.如图，与的面积相等求证：OP平分 例题3、如图，E是BC的中点，DE平分求证：AE是的平分线 3.利用等腰三角形三线合一 例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分DAE。 4.利用定理 定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 例5.如图，已知ABC的两个外角MAC、NCA的平分线相交于点P，求证点P在B的平分线上。 5.和平行线结合使用，容易得到相等的线段。 基本图形： P是CAB的平分线上一点，PDAB，则有1=2=3，所以AD=DP。 例6.如图，ABC中，B的平分线与C外角的平分线交于D，过D作BC的平行线交AB、AC于E、F，求证EF=BE-CF。 6.利用角平分线的对称性。 例7.如图，已知在ABC中，ABAC，AD是ABC的角平分线，P是AD上一点，求证AB-ACPB-PC。 7.角平分线与垂直平分线综合例题8、如图，在ABC中，AD平分BAC，DGBC，且平分BC于G，DEAB于E，DFAC延长线于F（1）求证：BE=CF 线段相等，角相等，线段垂直经典例题（解答部分）一、平分线的应用。 几何题中，经常出现“已知角的平分线”这一条件。这个条件一般有下面几个方面的应用： （1）利用“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”的性质，证明两条线段相等。 （2）利用角是轴对称图形，构造全等三角形。 （3）构造等腰三角形。 二、应用举例： 1.利用角平分线的定义 例题1.如图，已知AB=AC，AD/BC，求证AD平分EAC。 证明：因AB=AC，故B=C。 又因AD/BC，故1=B，2=C， 故1=2，即AD平分EAC。 2、基本图形“双垂直” 本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。例题2.如图，与的面积相等求证：OP平分 分析：观察已知条件中提到与，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定结论可得。证明：作于M，于N，且又又平分例题3、如图，E是BC的中点，DE平分求证：AE是的平分线分析: 在初一学习平行线时就围绕这个图做过很多练习，当时我们证明过DE垂直AE等。还是这个图条件变了，由角平分线条件不难想到做辅助线构造“双垂直”的基本图形，用“角平分线性质”推得距离相等，再由另一侧距离相等用“角平分线判定”AE为角平分线。证明：作于F平分，又 E是BC的中点又，AE是的平分线3.利用等腰三角形三线合一 例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分DAE。 证明：连结EF并延长，交AD的延长线于G，则FDGFCE， 故CE=DG，EF=GF，于是AG=AD+DG=DC+CE=AE。 又因EF=GF，故AF是等腰三角形的底边上的中线，于是AF平分DAE。 4.利用定理 定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 例5.如图，已知ABC的两个外角MAC、NCA的平分线相交于点P，求证点P在B的平分线上。 证明：过P作PDAB，PEAC，PFBC，垂足分别是D、E、F， 因P在MAC的平分线上，故PD=PE。 又因P在ACN的平分线上，故PE=PF，于是PD=PF， 故点P在B的平分线上。 5.和平行线结合使用，容易得到相等的线段。 基本图形： P是CAB的平分线上一点，PDAB，则有1=2=3，所以AD=DP。 例6.如图，ABC中，B的平分线与C外角的平分线交于D，过D作BC的平行线交AB、AC于E、F，求证EF=BE-CF。 分析：由BD平分ABC，EDBC，不难得出BE=DE。要证EF=BE-CF，就转化为要证EF=DE-CF。下面要证FD=FC，即要证FCD=FDC。由CD平分ACG，EDBC，很容易得出FCD=FDC，从而问题得证。 6.利用角平分线的对称性。 例7.如图，已知在ABC中，ABAC，AD是ABC的角平分线，P是AD上一点，求证AB-ACPB-PC。 分析：证明不等关系，一般要把所证明的有关线段放在一个三角形内。通过角平分线这一条件可以构造全等三角形：在AB上截取AC=AC，则有ACPACP，AC=AC,PC=PC。在BPC中，BC+CPPB, 即AB-ACPB-PC，从而得出AB-ACPB-PC7.角平分线与垂直平分线综合例题8、如图，在ABC中，AD平分BAC，DGBC，且平分BC于G，DEAB于E，DFAC延长线于F（1）求证：BE=CF（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的大小 （用含有a、b的式子表示）证明：（1）连结BD、CD DGBC，且平分BC于G （此处提前用到了垂直平分线的性质， 即垂直平分线上的点到线段两端距离相等， 可由证明得到） AD平分BAC，DEAB，DFAC ， 在和中 （2） AD平分BAC 同理： 即AD平分 又 而AE=AB-BE=a-BE，AF=AC+CF=b+CF a-BE= b+CF 又 ，AE=a-BE=a-=角平分线练习题1. 如图，在ABC中，ACB=90，BE平分ABC，EDAB于D，如果AC=3，那么AE+DE=（ ）A2 B3 C4 D52. 如图，ABC的两个外角的平分线相交于点P，则点P到ABC的三边所在直线的距离的关系是（ ）A均不相等 B均相等 、C其中有两个相等 D无法确定3. 如图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）A一处 B二处 C三处 D四处4. 在ABC内部到三条边的距离相等的点有_个5. 如图，OP平分AOB，PCOA于C，PDOB于D，下列结论：（1）PC=PD；（2）OC=OD；（3）OC=2PC；（4）DPO=CPO中，错误的是_ （第3题） （第5题） （第6题） 6. 如图，已知C=90，AD平分BAC，BD=2CD，点D到AB的距离等于5cm，则BC的长为_cm.7. 如图，ABC中，AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，BD、CE相交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形的对数为_ （第7题） （第8题） （第9题） （第10题）8. 如图，要使，请你增加一个条件是_（只需要填一个你认为合适的条件）9. 如图所示，点F、C在线段BE上，且1