2019高考数学二轮复习专题19直线与椭圆的综合练习理.docx

19直线与椭圆的综合1.直线x+4y+m=0交椭圆x216+y2=1于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为1,则m=().A.-2B.-1C.1D.2解析因为x+4y+m=0,所以y=-14x-m4.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1216+y12=1,x2216+y22=1,两式相减,得y1-y2x1-x2=-x1+x216(y1+y2)=-14.因为AB中点的横坐标为1,所以纵坐标为14,将1,14代入直线y=-14x-m4,解得m=-2,故选A.答案A2.已知F是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点,经过原点的直线l与椭圆E交于P,Q两点,若|PF|=2|QF|,且PFQ=120,则椭圆的离心率为().A.13B.12C.33D.22解析在PQF中,设|PF|=2|QF|=2t,P(x1,y1),Q(-x1,-y1),右焦点为E,由椭圆的对称性,知四边形PFQE是平行四边形,所以在PEF中,由余弦定理得EF2=5t2-2t2=3t2=4c2.因为PF+QF=2a=3t,所以t=2a3,所以e=33,故选C.答案C3.如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是.解析将y=b2代入椭圆的标准方程,得x2a2+b24b2=1,所以x=32a,故B-32a,b2,C32a,b2.又因为F(c,0),所以BF=c+32a,-b2,CF=c-32a,-b2.因为BFC=90,所以BFCF=0,所以c+32ac-32a+-b22=0,即c2-34a2+b24=0.将b2=a2-c2代入并化简,得a2=32c2,所以e2=c2a2=23,所以e=63(负值舍去).答案634.直线x4+y3=1与椭圆x216+y29=1相交于A,B两点,该椭圆上有点P,使得PAB的面积等于3,则这样的点P共有个.解析设P1(4cos ,3sin )02,即点P1在第一象限.设四边形P1AOB的面积为S,则S=SOAP1+SOBP1=1243sin +1234cos =6(sin +cos )=62sin+4,Smax=62.SOAB=1243=6,SP1AB的最大值为62-6.62-63,点P不可能在直线AB的右上方,在AB的左下方有2个这样的点P.答案2能力1会用点差法解直线与椭圆中的与弦中点有关的问题【例1】已知椭圆C:x24+y2b2=1(0bb0)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0,弦的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率是().A.12B.22C.32D.55解析设直线与椭圆的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程,由点差法可知yM=-b2a2xM,代入点M(-4,1),解得b2a2=14,e=1-b2a2=32,故选C.答案C能力2会用“设而不解”的思想解直线与椭圆中的弦长、面积问题【例2】在平面直角坐标系xOy中,动点M(x,y)总满足关系式2(x-1)2+y2=|x-4|.(1)点M的轨迹是什么曲线?并写出它的标准方程.(2)坐标原点O到直线l:y=kx+m的距离为1,直线l与M的轨迹交于不同的两点A,B,若OAOB=-32,求AOB的面积.解析(1)由2(x-1)2+y2=|x-4|,得x24+y23=1,所以点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆,它的标准方程为x24+y23=1.(2)由点O到直线l:y=kx+m的距离为1,得d=|m|1+k2=1,即1+k2=m2.设A(x1,y1),B(x2,y2),联立x24+y23=1,y=kx+m,消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(3+4k2-m2)0,得m2b0),由椭圆的定义可得2a=(3+2)2+1+(3-2)2+1=8+43+8-43=(6+2)2+(6-2)2=26,a=6.c=2,b2=2.椭圆C的标准方程为x26+y22=1.(2)设直线l的方程为x=ky+2,代入椭圆C的方程并化简得(k2+3)y2+4ky-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-4kk2+3,y1y2=-2k2+3.OAB的面积S=12|OF|y1-y2|=|y1-y2|=16k2+8(k2+3)k2+3=26k2+1k2+3.令t=k2+1(t1),则S=26tt2+226t22t=3,当且仅当t=2,即k=1时取等号,此时直线l的方程为x=y+2.圆心O到直线l的距离d=2,又圆O的半径为6,故|DE|=26-2=4.能力3会用“设而不解”的思想求直线与椭圆中的有关几何量【例3】已知点M(-4,0),椭圆x24+y2b2=1(0bb0)的离心率为32,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与相交于A,B两点.若AF=3FB,则k=().A.1B.2C.3D.2解析设A(x1,y1),B(x2,y2),AF=3FB,y1=-3y2.e=32,设a=2t,c=3t,b=t,x2+4y2-4t2=0.设直线AB的方程为x=sy+3t,代入中消去x,可得(s2+4)y2+23sty-t2=0,y1+y2=-23sts2+4,y1y2=-t2s2+4.由y1=-3y2可得-2y2=-23sts2+4,-3y22=-t2s2+4,解得s2=12,k=2.故选D.答案D能力4会用“设而不解”的思想求直线与椭圆中的最值【例4】已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点P-3,12,椭圆的一个焦点为(3,0).(1)求椭圆E的方程;(2)若直线l过点(0,2)且与椭圆E交于A,B两点,求|AB|的最大值.解析(1)设椭圆E的左、右焦点分别为F1(-3,0)、F2(3,0),则|PF1|=12,|PF2|=72.|PF1|+|PF2|=4=2a,a=2.又c=3,b2=1,椭圆E的方程为x24+y2=1.(2)当直线l的斜率存在时,设y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由x24+y2=1,y=kx+2得(1+4k2)x2+82kx+4=0,由0得4k21.x1+x2=-82k1+4k2,x1x2=41+4k2,|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=2-611+4k22+11+4k2+1.设t=11+4k2,则0t12,|AB|=2-6t2+t+1=2-6t-1122+2524566.当直线l的斜率不存在时,|AB|=20,得m20,整理得x020),x024t2+3t16t2+24t+9=116t2+24t+94t2+3t=14+3t14,所以-12x012.综上可得,-12x00,b0)与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为32,则ba的值为().A.32B.233C.932D.2327解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则ax12+by12=1,ax22+by22=1,即ax12-ax22=-(by12-by22),则by12-by22ax12-ax22=-1,b(y1-y2)(y1+y2)a(x1-x2)(x1+x2)=-1,ba(-1)32=-1,ba=233,故选B.答案B2.已知经过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆x22+y2=1有两个不同的交点P和Q,则k的取值范围是().A.-22,22B.-,-2222,+C.(-2,2) D.(-,-2)(2,+)解析由题意得,直线l的方程为y=kx+2,代入椭圆方程得x22+(kx+2)2=1,整理得12+k2x2+22kx+1=0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于=8k2-412+k2=4k2-20,解得k22,即k的取值范围为-,-2222,+.故选B.答案B3.经过椭圆x22+y2=1的一个焦点作倾斜角为45的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则OAOB等于().A.-3B.-13C.-13或-3D.13解析由题意知,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan 45(x-1),即y=x-1,代入椭圆方程x22+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=43,所以两个交点的坐标分别为(0,-1),43,13,所以OAOB=-13,同理,当直线l经过椭圆的左焦点时,也可得OAOB=-13,故选B.答案B4.若椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上,过点1,12作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是().A.x24+y23=1B.x23+y22=1C.x25+y24=1D.x28+y25=1解析可设斜率存在的切线的方程为y-12=k(x-1)(k为切线的斜率),即2kx-2y-2k+1=0,由|-2k+1|4k2+4=1,解得k=-34,所以圆x2+y2=1的一条切线的方程为3x+4y-5=0,可求得切点的坐标为35,45,易知另一切点的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=-2x+2.令y=0得右焦点为(1,0),令x=0得上顶点为(0,2),故a2=b2+c2=5,所以所求椭圆的方程为x25+y24=1,故选C.答案C5.已知椭圆C的方程为x216+y2m2=1(m0),若直线y=22x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m的值为().A.2B.22C.8D.23解析根据已知条件得c=16-m2,则点16-m2,2(16-m2)2在椭圆x216+y2m2=1(m0)上,16-m216+16-m22m2=1,可得m=22,故选B.答案B6.已知直线l:y=kx+2过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的上顶点B和左焦点F,且被圆x2+y2=4截得的弦长为L,若L455,则椭圆离心率e的取值范围是().A.0,55B.0,255C.0,355D.0,455解析依题意,知b=2,|kc|=2.设圆心到直线l的距离为d,则L=24-d2455,解得d2165.又因为d=21+k2,所以11+k245,解得k214.因为e2=c2a2=c2b2+c2=11+k2,所以0e245,解得00,b0),若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A,B两点,且C1与C2的渐近线的两个交点将线段AB三等分,则C2的离心率为().A.5B.5C.17D.2147解析设直线AB与椭圆在第一象限内的交点为P,A(11cos ,11sin ),其中0,2,则P113cos,113sin.因为点P在椭圆上,所以cos29+119sin2=1,解得sin2=45,cos2=15,所以tan =2,即ba=2,所以e=1+ba2=5,故选A.答案A8.已知椭圆x24+y2b2=1(0b3,但当直线AB的斜率不存在时,|AB|=3,故|AB|存在最小值3,故D选项不对.答案D二、填空题11.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),F(2,0)为其右焦点,过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,则椭圆C的方程为.解析由题意得c=2,2b2a=2,a2=b2+c2,解得a=2,b=2,椭圆C的方程为x24+y22=1.答案x24+y22=112.已知直线MN过椭圆x22+y2=1的左焦点F,与椭圆交于M,N两点,直线PQ过原点O 与MN平行,且PQ与椭圆交于P,Q两点,则|PQ|2|MN|=.解析由题意知F(-1,0),当直线MN斜率不存在时,|MN|=2b2a=2,|PQ|=2b=2,则|PQ|2|MN|=22.当直线MN斜率存在时,设直线MN的斜率为k,则直线MN的方程为y=k(x+1),设M(x1,y1),N(x2,y2),联立x22+y2=1,y=k(x+1),整理得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,由韦达定理得x1+x2=-4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1,所以|MN|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=22(k2+1)2k2+1.易知直线PQ的方程为y=kx,设P(x3,y3),Q(x4,y4),联立x22+y2=1,y=kx,解得x2=22k2+1,y2=2k22k2+1,则|OP|2=x2+y2=2(k2+1)2k2+1,所以|PQ|=2|OP|,则|PQ|2=4|OP|2=8(k2+1)2k2+1,|PQ|2|MN|=22.答案22三、解答题13.点A为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上的一个动点,弦AB、AC分别过椭圆的左、右焦点F1、F2.当ACx轴时,恰好|AF1|=2|AF2|.(1)求该椭圆的离心率.(2)设AF1=1F1B,AF2=2F2C,1+2是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由.解析(1)因为当ACx轴时,恰好|AF1|=2|AF2|,由椭圆的定义知,2a-|AF2|=2|AF2|,|AF2|=b2a,所以2a-b2a=2b2a,即b2a2=23,故椭圆的离心率e=ca=33.(2)设椭圆的半焦距为c,则F1(-c,0),F2(c,0),椭圆方程设为x23c2+y22c2=1,整理得2x2+3y2-6c2=0.设A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),若直线AC的斜率存在,则直线AC的方程为y=y0x0-c(x-c),联立y=y0x0-c(x-c),2x2+3y2-6c2=0,消去x,得2(x0-c)2+3y02y2+4cy0(x0-c)y-4c2y02=0.由韦达定理得y0