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文档简介

“212”压轴满分练(一)1过抛物线yx2的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在直线y1上,若ABC为正三角形,则其边长为()A11B12C13 D14解析:选B由题意可知,焦点F(0,1),易知过焦点F的直线的斜率存在且不为零,设为k(k0),则该直线方程为ykx1(k0),联立方程得x24(kx1),即x24kx40,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1x24k,x1x24,设线段AB的中点为M,则M(2k,2k21),|AB|4(1k2),设C(m,1),连接MC,ABC为等边三角形,kMC,m2k34k,点C(m,1)到直线ykx1的距离|MC|AB|,4(1k2),2(1k2),k,|AB|4(1k2)12.2已知函数f(x)2sin(x)(0,0),f ,f 0,且f(x)在(0,)上单调下列说法正确的是()ABf C函数f(x)在上单调递增D函数f(x)的图象关于点中心对称解析:选C由题意得函数f(x)的最小正周期T,因为f(x)在(0,)上单调,所以,得01.因为f ,f 0,所以f(x)在(0,)上单调递减,又0,01,所以解得所以f(x)2sin.选项A显然不正确因为f 2sin2sin,所以B不正确因为当x时,0x,所以函数f(x)在上单调递增,故C正确因为f 2sin2sin0,所以点不是函数f(x)图象的对称中心,故D不正确3已知函数f(x),g(x),若函数yf(g(x)a有三个不同的零点x1,x2,x3(其中x1x2x3),则2g(x1)g(x2)g(x3)的取值范围为_解析:g(x),g(x).当0x0,g(x)单调递增;当xe时,g(x)0,g(x)单调递减作出函数g(x)的大致图象如图所示,令g(x)t,由f(t)aa0,得关于t的一元二次方程t2(a1)t1a0,又f(g(x)a0有三个根x1,x2,x3,且x1x2x3,结合g(x)的图象可知关于t的一元二次方程有两个不等实根,不妨设为t1,t2,且t1t2,则0t1,t2或t10t20,得1a4.当0t1,t2时,0t1t24,不符合题意,舍去t10t2,g(x1)t1,g(x2)g(x3)t2,2g(x1)g(x2)g(x3)2t12t22(t1t2)2(1a)令1a,(t)t2(a1)t1at2t,由t10t2可知,即解得b0)的左、右焦点分别为F1,F2,且离心率为,M为椭圆上任意一点,当F1MF290时,F1MF2的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)已知A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点,连接并延长AF1,AF2,分别与椭圆交于点B,D,设直线BD的斜率为k1,直线OA的斜率为k2(O为坐标原点),求证:k1k2为定值解:(1)设|MF1|r1,|MF2|r2,由题意,得a,c1,则b2a2c21,椭圆C的方程为y21.(2)证明:易知直线AF1,AF2的斜率均不为0.设B(x1,y1),D(x2,y2),当直线AF1的斜率不存在时,不妨令A,则B,又F1(1,0),F2(1,0),直线AF2的方程为y(x1),将其代入y21,整理可得5x22x70,x2,y2,则D ,直线BD的斜率k1,直线OA的斜率k2,k1k2.当直线AF2的斜率不存在时,同理可得k1k2.当直线AF1,AF2的斜率都存在且不为0时,设A(x0,y0),则x0y00,则直线AF1的方程为y(x1),联立,得消去y可得,(x01)22yx24yx2y2(x01)20,又y1,2y2x,(32x0)x22(2x)x3x4x00,x1x0,x1,则y1,B .直线AF2的方程为y(x1),同理可得D,直线BD的斜率k1,直线OA的斜率k2,k1k2.综上,k1k2为定值,且定值为.5.已知函数f(x)(xb)(exa)(b0)的图象在点(1,f(1)处的切线方程为(e1)xeye10.(1)求a,b;(2)若方程f(x)m有两个实数根x1,x2,且x1x2,证明:x2x11.解:(1)由题意得f(1)0,所以f(1)(1b)0,所以a或b1.又f(x)(xb1)exa,所以f(1)a1,若a,则b2e0矛盾,故a1,b1.(2)证明:由(1)可知f(x)(x1)(ex1),f(0)0,f(1)0,设曲线yf(x)在点(1,0)处的切线方程为yh(x),则h(x)(x1),令F(x)f(x)h(x),则F(x)(x1)(ex1)(x1),F(x)(x2)ex,当x2时,F(x)(x2)ex2时,设G(x)F(x)(x2)ex,则G(x)(x3)ex0,故函数F(x)在(2,)上单调递增,又F(1)0,所以当x(,1)时,F(x)0,所以函数F(x)在区间(,1)上单调递减,在区间(1,)上单调递增,故F(x)F(1)0,所以f(x)h(x),所以f(x1)h(x1)设h(x)m的根为x1,则x11,又函数h(x)单调递减,且h(x1)f(x1)h(x1),所以x1x1,设曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yt(x),易得t(x)x,令T(x)f(x)t(x)(x1)(ex1)x,T(x)(x2)ex2,当x2时,T(x)(x2)ex222时,设H(x)T(x)(x2)ex2,则H(x)(x3)ex0,故函数T(x)在(2,)上单调递增,又T(0)0,所以当x(,0)时,T(x)0,所以函数T(x)在区间(,0)上单调递减,在区

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