直线和圆的方程知识汇总.doc

直直线线和和圆圆的方程的方程 【方法点拨】 1掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并能熟练地 利用距离公式解决有关问题注意直线方程各种形式应用的条件了解二元一次不等式表示的平面区域， 能解决一些简单的线性规划问题 2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题. 3熟练运用待定系数法求圆的方程 4处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价的代数结构;(2) 根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质 5要重视坐标法，学会如何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结 合思想 6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题；还要注意综合运用三角函数、平面向 量等与本章内容关系比较密切的知识 第 1 课 直线的方程 【考点导读】 理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根据 条件，求出直线的方程 高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程，属中、 低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考. 【基础练习】 1.直线 xcosy20 的倾斜角范围是3 5 0, 66 2. 过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是)3, 2(P10320 或xyxy 3.直线 l 经过点（3，-1） ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线 l 的方程为 42 或yxyx 4.无论取任何实数，直线必经过一定点 P，则 P 的坐标为k14232 140k xk yk （2，2） 5.已知直线 l 过点 P（-5,-4）,且与两坐标轴围成的三角形面积为 5 个平方单位，求直线 l 的方程 28 612 55 或yxyx 【范例导析】 例例 1.1.已知两点 A（1，2） 、B（m，3） （1）求直线 AB 的斜率 k； （2）求直线 AB 的方程； （3）已知实数 m，求直线 AB 的倾斜角 的取值范围 3 1, 31 3 分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况. 解:（1）当 m=1 时，直线 AB 的斜率不存在 当 m1 时， 1 1 k m （2）当 m=1 时，AB：x=1， 当 m1 时，AB：. 1 21 1 yx m （3）当 m=1 时，； 2 当 m1 时， 13 ,3, 13 k m 2 , 6 223 故综合、得，直线 AB 的倾斜角 2 , 63 点拨：本题容易忽视对分母等于 0 和斜率不存在情况的讨论. 例例 2.2.直线 l 过点 P(2,1),且分别交 x 轴、y 轴的正半轴于点 A、B、O 为坐标原点. (1)当AOB 的面积最小时,求直线 l 的方程; (2)当|PA|PB|取最小值时,求直线 l 的方程. 分析：分析： 引进合适的变量,建立相应的目标函数,通过寻找函数最值的取得条件来求 l 的方程. 解解 （1）设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2),则点 A(2-,0),B(0,1-2k),且 2-0, 1-2k0,即 k0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8 已知该圆与直线 y=x 相切，那 么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则 =2 2 nm 2 即=4 nm 又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 m2+n2=8 联立方程和组成方程组解得 2 2 n m 故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8 (2)=5，a2=25，则椭圆的方程为+=1a 其焦距 c=4，右焦点为(4，0)，那么=4。925OF 要探求是否存在异于原点的点 Q，使得该点到右焦点 F 的距离等于的长度 4，我们可以转化为探求OF 以右焦点 F 为顶点，半径为 4 的圆(x4)2+y2=8 与(1)所求的圆的交点数。 通过联立两圆的方程解得 x=，y= 5 4 5 12 即存在异于原点的点 Q(，)，使得该点到右焦点 F 的距离等于的长。 5 4 5 12 OF 点拨:解决圆的综合问题时,一方面要充分利用圆的平面几何知识来解决问题,另一方面还要注意几何问题代 数化的思想运用. 25 2 x 9 2 y 反馈练习：反馈练习： 1.关于 x,y 的方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示一个圆的充要条件是 B=0 且 A=C0,D2+E2-4AF0 2.过点 P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是(5，-1) 3.若两直线 y=x+2k 与 y=2x+k+1 的交点 P 在圆 x2+y2=4 的内部，则 k 的范围是 1 1 5 k 4.已知圆心为点（2，-3） ，一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是 22 460xyxy 5.直线 y=3x+1 与曲线 x2+y2=4 相交于 A、B 两点，则 AB 的中点坐标是 31 , 10 10 6.方程表示的曲线是_两个半圆 2 11 (1)xy 7.圆关于直线的对称圆的方程是2)4()3( 22 yx0 yx 22 (4)(3)2xy 8.如果实数 x、y 满足等式，那么的最大值是 3 2 2 23xy y x 9.已知点和圆，求一束光线从点 A 经 x 轴反射到圆周 C 的最短路程为) 1 , 1(A4)7()5( : 22 yxC _8_ 10求经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2xy3=0 上的圆的方程; 解：设圆心 P(x0,y0),则有, 2 0 2 0 2 0 2 0 00 )2()3()2()5( 032 yxyx yx 解得 x0=4, y0=5, 半径 r=, 10 所求圆的方程为(x4)2+(y5)2=10 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 /wxc/ /wxc/ 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 11. 一圆与 y 轴相切，圆心在直线 x3y=0 上，且直线 y=x 截圆所得弦长为 2，求此圆的方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 /wxc/ /wxc/ 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 7 解：因圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x3y=0 上， 故设圆方程为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 /wxc/ /wxc/ 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 222 (3 )()9xbybb 又因为直线 y=x 截圆得弦长为 2，7 则有+=9b2， 2 |3| () 2 bb 2 ( 7) 解得 b=1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 /wxc/ /wxc/ 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头故所求圆方程为 或 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 /wxc/ /wxc/ 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 22 (3)(1)9xy 22 (3)(1)9xy 点拨:（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）待定系数法;（3）尽量利用几何关 系求 a、b、r 或 D、E、F. 12.在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切xOyO34xy （1）求圆的方程；O （2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范OxAB，PPAPOPB，PA PB A 围 解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，OrO34xy 即 4 2 1 3 r 得圆的方程为O 22 4xy （2）不妨设由即得 1212 (0)(0)A xB xxx， 2 4x ( 2 0)(2 0)AB ， 设，由成等比数列，得()P xy，PAPOPB， ， 222222 (2)(2)xyxyxyA 即 22 2xy ( 2) (2)PA PBxyxy AA， 22 2 4 2(1). xy y 由于点在圆内，故PO 22 22 4 2. xy xy ， 由此得 2 1y 所以的取值范围为PA PB A 2 0) ， 第 4 课 直线与圆的位置关系 【考点导读】 能利用代数方法和几何方法判定直线与圆的位置关系；熟练运用圆的有关性质解决直线与圆、圆与圆 的综合问题，运用空间直角坐标系刻画点的位置，了解空间中两点间的距离公式及其简单应用. 【基础练习】 1.若直线 4x-3y-2=0 与圆 x2+y2-2ax+4y+a2-12=0 总有两个不同交点，则 a 的取值范围是-6a4 2.直线 x-y+4=0 被圆 x2+y2+4x-4y+6=0 截得的弦长等于2 2 3.过点 P(2，1)且与圆 x2+y2-2x+2y+1=0 相切的直线的方程为 x=2 或 3x-4y-2=0 . 4设集合,若 MN=M，则实数 a 的取值范 22 ,|25Mx yxy 2 2 ,|9Nx yxay 围是-2a2 5.M（2,-3,8）关于坐标平面 xOy 对称点的坐标为（2，-3，-8） 【范例导析】 例 1.已知圆 C：（x1）2（y2）225，直线 l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mR）. （1）证明：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程. 分析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x+y4）+m（2x+y7）=0. 由得 270 40 xy xy 3 1 x y 即 l 恒过定点 A（3，1）. 圆心 C（1，2） ，AC5（半径） ，5 点 A 在圆 C 内，从而直线 l 恒与圆 C 相交于两点. （2）解：弦长最小时，lAC，由 kAC， 2 1 l 的方程为 2xy5=0. 点拨:直线与圆相交截得弦长的最小值时,可以从垂径定理角度考虑,充分利用圆的几何性质. 例 2.已知圆 O: ，圆 C: ，由两圆外一点引两圆切线1 22 yx1)4()2( 22 yx),(baP PA、PB，切点分别为 A、B，满足|PA|=|PB|. (1)求实数 a、b 间满足的等量关系； (2)是否存在以 P 为圆心的圆，使它与圆 O 相内切并且与圆 C 相外切？ 若存在，求出圆 P 的方程；若不存在，说明理由. 分析: 问题（1）可直接根据题目条件求得,在解决问题（2）时,要注意 问题（1）结论的运用. (1)连结 PO、PC，|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1 |PO|2=|PC|2，从而 2222 )4()2(baba 化简得实数 a、b 间满足的等量关系为: . 052 ba (2)圆 O 和圆 C 的半径均为 1，若存在半径为 R 圆 P，与圆 O 相内切并且与圆 C 相外切，则有 且 于是有: 即1| RPO1| RPC2| POPC2| POPC 从而得 两边平方，整理得2)4()2( 2222 baba)2(4 22 baba 将代入上式得：52 ba01 22 ba 故满足条件的实数 a、b 不存在，不存在符合题设条件的圆 P. 点拨: 注意圆与圆的位置关系的判断. 例 3.已知圆 C 与两坐标轴都相切，圆心 C 到直线的距离等于.yx 2 例 2 （1）求圆 C 的方程.（2）若直线与圆 C 相切，求证：:1 xy l mn (2,2)mn64 2.mn 分析:本题要充分利用圆的几何性质以得到简单的解法. 解：（1）设圆 C 半径为，由已知得：r ，或 2 2 ab ra ab 1 1 ab r 1 1 ab r 圆 C 方程为. 2222 (1)(1)1,(1)(1)1xyxy或 （2）直线，0lnxmymn方程为 22 :(1)(1)1lCxy直线与圆相切， 22 1, nmmn nm 222 (),nmmnnm 左边展开，整理得，222.mnmn 2 . 2 mn mn ，0,0,2mnmnmn ， 2 2 2 mn mn 2 ()420,mnmn 22,22.mnmn或 2,2mn ，22mn 64 2.mm 点拨:有关直线和圆的位置关系,一般可以考虑圆心到直线的距离,当然也以联立方程组用代数手段解决. 例例 4.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，平行于 x 轴且过 点 A(3，2)的入射光线 l1被直线 l：y=x 反射反射 3 3 3 光线 l2交 y 轴于 B 点，圆 C 过点 A 且与 l1, l2都相切. (1)求 l2所在直线的方程和圆 C 的方程； (2)设 P，Q 分别是直线 l 和圆 C 上的动点，求 PB+PQ 的 最小值及此时点 P 的坐标 x y O A B l2 l1 l 解：解：（1）直线设. 1: 2,ly 1 2 3 2llDD交于点，则（，） 的倾斜角为，反射光线所在的直线方程为l30 2 60l 的倾斜角为， 2 3.k 2 l . 即.23(2 3)yx340xy 已知圆 C 与, 1 lA切于点，设C （a, b) 圆心 C 在过点 D 且与垂直的直线上， ,又圆心 C 在过点 A 且与垂直的直线上，l38ba 1 l ,，圆 C 的半径 r=3，3 3a381ba 故所求圆 C 的方程为. 22 (3 3)(1)9xy （2）设点关于的对称点，则，得,固定点 Q 可发现，0, 4Bl 00 (,)B xy 00 0 0 43 232 4 3 yx y x ( 2 3,2)B 当共线时，最小，BPQ、PBPQ 故的最小值为.此时由,得. PBPQ32 213B C 13 3 2 12 33 3 3 3 yx yx 3 1 (, ) 22 P 反馈练习： 1.圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1,)处的切线方程为3320xy 2.直线x+y2=0 截圆 x2y24 得的劣弧所对的圆心角为33 3 解析：如图 77 所示， 由 4 0323 22 yx yx 消 y 得：x23x+2=0 x1=2，x2=1 例 4 A（2，0） ，B（1，）3 |AB|=2 22 )30() 12( 又|OB|OA|=2 AOB 是等边三角形，AOB=，故选 C. 3 评述：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时 也体现了数形结合思想的简捷性.如果注意到直线 AB 的倾斜角为 120.则等腰OAB 的底角为 60.因此 AOB=60.更加体现出平面几何的意义. 3.已知直线 过点，当直线 与圆有两个交点时，其斜率 k 的取值范围是l），（02lxyx2 22 22 4 （，） 4 4.设 m0,则直线(x+y)+1+m=0 与圆 x2+y2=m 的位置关系为相切或相离2 解析：圆心到直线的距离为 d=,圆半径为. 2 1m m d-r=-=(m-2+1)=(-1)20, 2 1m m 2 1 m 2 1 m 直线与圆的位置关系是相切或相离. 5.圆(x-3)2+(y-3)2=9 上到直线 3x+4y-11=0 的距离等于 1 的点有个数为 3 6.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达 Q 点,则 Q 的坐标为 1 22 yx 3 2 ) 2 3 , 2 1 ( 7.若圆与直线相切，且其圆心在轴的左侧，则的值为0 4 1 22 mxyx1yym 3 4 8.已知 P(3，0)是圆 x2+y2-8x-2y+12=0 内一点则过点 P 的最短弦所在直线方程是 x+y-3=0 ，过点 P 的最 长弦所在直线方程是 x-y-3=0 9.设 P 为圆上的动点，则点 P 到直线的距离的最小值为 1 . 1 22 yx01043yx 10. 已知与曲线 C：x2+y2-2x-2y+1=0 相切的直线 L 交 x 轴、 y 轴于 A、B 两点, O 为原点, 且|OA|=a, |OB|=b (a2,b2) （1）求证曲线 C 与直线 L 相切的条件是(a-2)(b-2)=2 (2)求 AOB 面积的最小值. 解 依题意得，直线 L 的方程为 + =1 即 bx+ay-ab=0，圆 C 的方程为(x-1)2+(y-1)2=1 x a y b （1）直线与圆相切, =1,化简: (a-2)(b-2)=2 （2）由(a-2)(b-2)=2, 得 ab=2a+2b-2 SAOB= |ab|=a+b-1=(a-2)+(b-2) 1 2 +32+3=2+3, 当且仅当 a=b=2+时，面积有最小值：2+3. (a - 2)(b - 2)222 11.已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内 0 0 240 x y xy 222 :()()Cxaybr 部所覆盖 (1)试求圆的方程.C (2)若斜率为 1 的直线 与圆 C 交于不同两点满足,求直线 的方程.l, .A BCACBl 解解:(1)由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部,且是直角(0,0), (4,0),(0,2)OPQOPQ 三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是,所以圆的方程是5C . 22 (2)(1)5xy (2)设直线 的方程是:.lyxb 因为,CACB 所以圆心到直线 的距离是, Cl 10 2 即 22 |21|10 2 11 b 解得:.所以直线 的方程是:. 15b l15yx 12、 （本题满分 16 分）已知：和定点，由外一点向引切线，O 22 1xy(2,1)AO( , )P a bOPQ 切点为，且满足Q| |PQPA (1) 求实数间满足的等量关系；ab、 (2) 求线段长的最小值；PQ (3) 若以为圆心所作的与有公共点，试求半径取最小值时的方程PPOP 解：解：（1）连为切点，由勾股定理有,OPQPQOQ 222 PQOPOQ 又由已知，故.即：. PQPA 22 PQPA 22222 () 1(2)(1)abab 化简得实数 a、b 间满足的等量关系为：. （3 分） 230ab （2）由，得. 230ab23ba =. 2222 1( 23)1PQabaa 2 5128aa 2 64 5() 55 a 故当时，即线段 PQ 长的最小值为 （7 分） 6 5 a min 2 5. 5 PQ 2 5. 5 （3）设P 的半径为，P 与O 有公共点，O 的半径为 1，ARAAA 即且.11.ROPR1ROP1ROP 而， 22222 69 ( 23)5() 55 OPabaaa 故当时，此时, ，. 6 5 a min 3 5. 5 OP 3 23 5 ba min 3 51 5 R 得半径取最小值时P 的方程为 （12 分）A 222 633 ()()(51) 555 xy 解法 2：P 与O 有公共点，P 半径最小时为与O 外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值AAAA 为圆心 O 到直线 l 的距离减去 1，圆心 P 为过原点与 l 垂直的直线 l 与 l 的交点 P0. r = 1 = 1. 3 2 2 + 1 2 3 5 5 又l：x2y = 0, 解方程组，得.即 P0( , ). 20, 230 xy xy 6 , 5 3 5 x y 6 5 3 5 所求圆方程为. 222 633 ()()(51) 555 xy 本章自主检测 一填空: 1点 P (a, b ), Q (b+1 , a1) 关于直线 L 对称，则 L 的方程是 xy1=0 2过点 P（2，1）且被圆 x2+y22x+4y=0，截得的弦长最大的直线的方程是 3xy5=0 3如果点（4，a）到直线的距离不大于 3，那么 a 的取值范围是0，10 0134 yx 4直线当 k 变动时，所有直线都过定点（3，1） , 031kykx 5直线和直线平行的充要条件是012 ayx01) 13(ayxa 1 0 6 a 或 6.方程 x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t2+9=0(tR)表示圆方程，则 t 的取值范围是 1 1 7 -t 7.点 A 是圆 C: 上任意一点,A 关于直线的对称点也在圆 C 上,则 22 450xyaxy210xy 实数 a 的值为-10 8.过圆 x2+y2=4 外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点为A、B，则ABP的外接圆方程是(x-2)2+(y-1)2=5 9M(为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为), 00 yx)0( 222 aayx 2 00 ayyxx 相离（填相切、相交、相离） 10.设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则0 30axy 22 (1)(2)4xyABAB2 3a 11.已知圆 C 过点 A（4,-1）,且与圆相切于点 B（1,2）,则圆 C 22 2650xyxy 的方程为 2 2 51 3 y x 12. 25 22 ()34250xyxyxy若点，在直线上移动，则的最小值为 2 2 O P Q x y A P0 l 解法 2 13.过点的直线 将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 的斜率(1,2)l 22 (2)4xyl =k 2 2 14.若圆上至少有三个不同点到直线 :的距离为,则直线 的 22 44100xyxyl0axby2 2l 倾斜角的取值范围是 5 , 12 12 二解答题 15.已知 A(0,3)、B(-1,0)、C(3,0)求点 D 的坐标,使四边形 ABCD 为等腰梯形. 解:设，若，则，易得 D（）( , )D x yAB CDA, ABCD KKADBC 16 3 , 5 5 若，则由，可解得AD BCA ADBC kk ABCD (2,3)D 故点 D 的坐标为 16 3 (, )(2,3) 5 5 得 16.已知的顶点 A 为（3，1） ，AB 边上的中线所在直线方程为，的平分线ABC610590xyB 所在直线方程为，求 BC 边所在直线的方程4100xy 解:设，由 AB 中点在上， 11 (410,)Byy610590xy 可得：，y1 = 5，所以059 2 1 10 2 74 6 11 yy (10,5)B 设 A 点关于的对称点为，4100xy( ,)A x y 则有.故 )7 , 1 ( 1 4 1 3 1 010 2 4 4 2 3 A x y yx :29650BCxy 17.已知圆：和圆，直线与圆相切于点；圆的圆心在射线 1 C 22 2xy 2 Cl 1 C(1,1) 2 C 上，圆过原点，且被直线 截得的弦长为20 (0)xyx 2 Cl4 3 ()求直线的方程；l ()求圆的方程 2 C 解：解：()（法一）点在圆上，(1,1) 22 1: 2Cxy 直线的方程为，即l2xy20xy （法二）当直线垂直轴时，不符合题意 lx 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即lxl1(1)yk x 10kxyk 则圆心到直线的距离，即：，解得， 1(0,0) Cl2dr 2 |1| 2 1 k k 1k 直线的方程为 l20xy （）设圆：，圆过原点， 2 C 222 ()(2 )xayar(0)a 2 C 22 5ar 圆的方