线性代数第二章总结.doc

第二章 矩阵及其运算矩阵是线性代数主要研究对象，是求解线性方程组的一个有力工具，它在自然科学、工程技术及经济问题等各个领域中都有广泛的应用。本章的教学基本要求：理解矩阵概念并掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律；理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵存在的条件，了解求逆矩阵的伴随矩阵法；熟练掌握利用逆矩阵求解矩阵方程的方法；了解单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵及其性质；了解分块矩阵及其运算。本章的重点及难点：矩阵的各种运算及其运算规律，尤其矩阵的乘法；逆矩阵存在的条件，利用伴随矩阵法会求逆矩阵，主要是二阶和特殊的三阶矩阵的逆矩阵；用逆矩阵求解矩阵方程。 1 矩阵的概念一、内容提要1矩阵定义 由个数排成的m行n列的矩形数表 称为一个mn矩阵，其中表示位于数表中第i行第j列的数（；）。又称为矩阵的元素。规定，11矩阵 。矩阵也可表示为或 。如果不需要表示出矩阵的元素，通常用大写英文字母表示矩阵，如：A，B，.，或，.。元素都是实数的矩阵称为实矩阵；有复数元素的矩阵称为复矩阵。若两个矩阵的行数、列数分别相等，则称它们是同型矩阵。矩阵A=，B=是同型矩阵。若它们的对应元素相等，即 那么称矩阵A与矩阵B相等，记作：A = B。2特殊矩阵 零矩阵 所有元素都为零的矩阵称为零矩阵。如一个的零矩阵为 记为。在不会引起混淆的情形下，也可记为。 行矩阵 仅有一行的矩阵称为行矩阵(也称为行向量)，如 A=也记为 A=列矩阵 仅有一列的矩阵称为列矩阵(也称为列向量)，如 A=方阵 行数和列数相同的矩阵称为方阵，例如 A=称为nn方阵，常称为n阶方阵或n阶矩阵，简记为A=。在n阶方阵中，过，元素的直线，称为方阵的主对角线，主对角线上的元素称为主对角元。对角矩阵 主对角元以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵。如。矩阵中未写出来的元素为0。单位矩阵 主对角元全为1的对角矩阵称为单位矩阵。简记为E或I。有时为了表明矩阵的阶数，将阶数写在下标处，如 表示n阶单位矩阵。数量矩阵 主对角元全相等的对角矩阵称为数量矩阵。如 。三角矩阵 主对角线下（上）方的元素全为零的方阵称为上（下）三角矩阵。如 为n阶上三角矩阵； 为n阶下三角矩阵。二、例题分析矩阵理论在自然科学、工程技术及经济领域中，都有广泛的应用。下面举几个例子，说明矩阵概念的实际背景。 例1 在国民经济的数学问题中，常常用到矩阵。例如，假设要将某种物资从m个产地C1，C2，.，Cm运往n个销地B1，B2，.，Bn。如果用表示由产地Ci（）运到销地Bj（）的数量，那么这个问题的调运方案就可用一个矩阵表示： 。 例2 在解析几何中矩阵是研究坐标变换的有力工具。例如，平面直角坐标系的旋转变换为 其中为x轴与x轴的交角。显然，新旧坐标之间的关系可以通过公式中系数所构成的矩阵 完全确定，它称为上述坐标变换的矩阵。例3 n个变量与m个变量之间的关系 表示一个从变量到变量的线性变换，其中为常数。线性变换（2.2）的系数构成矩阵 A =三、小结矩阵的实质：矩阵是由 m行n列元素组成的一个数表。矩阵与行列式在形式上有些类似，但在意义上完全不同。一个n阶行列式是由n行n列元素表示的一个算式，计算结果是一个数；而矩阵是由m行n列元素表示的一个数表，这里可以有的情况。 2 矩阵的运算一、内容提要1矩阵的加法设A=与B=是两个同型矩阵，那么矩阵A与B的和记作A+B，规定为 矩阵的加法满足下面的运算规律：（1） 交换律： ；（2） 结合律：。A的负矩阵为 A，即 2矩阵的减法 。3数乘矩阵法数与矩阵的乘积记作或A,规定为 。数乘运算有下面的运算规律：（1）；（2） ;（3）(A+B) =A+B 。4矩阵与矩阵的乘法设A=，B=，那么规定A与B的乘积是一个矩阵C =。 其中 ， 。并把此乘积记作C =AB。矩阵乘法满足下列运算规律（假设下列运算都是可行的）：（1） 结合律：;（2） 左分配律：； 右分配律：；（3） ；（）（4） 设A是矩阵，B是矩阵，则 , , 。n阶方阵的幂：设A是n阶方阵，规定 。其中，k，l为正整数。5矩阵的转置把矩阵A的行换成同序数的列得到新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作。矩阵的转置满足下列运算规律（假设运算都是可行的）：（1）；（2）；（3）；（4）。推广到s个矩阵乘积为：。6方阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做A的行列式，记作。由方阵A确定的行列式满足下列运算规律（设A、B为n阶方阵，为数）：（1） ； （2） ； （3） 。7共轭矩阵当A=为复矩阵时，用表示的共轭复数，记 。称为A的共轭矩阵。共轭矩阵满足下列运算规律（设A，B为复矩阵，为复数，且运算都是可行的）：（1） ； （2） ； （3） 。8常用结论 （1）n阶方阵A满足，则称A为对称矩阵； （2）n阶方阵A满足，则称A为反对称矩阵。n阶矩阵A为对称矩阵的充分必要条件是。n阶矩阵A为反对称矩阵的充分必要条件是。当i=j时，（3）若AB = BA，则称A与B可交换。（4）设对角矩阵 则 。二、例题分析矩阵的加法、减法和数乘法（即矩阵的线性运算）与数的线性运算没有质的改变，只有量的不同。例4 设 A= ，B = ，且2A3X = B，求矩阵X。解 在2A3X = B两端同加上（2A）得， 。 两端同时除以得， 矩阵与矩阵的乘法与数的乘法却有着质的不同。例5 设某地区有甲、乙两个工厂，每个工厂都生产“、 ”3 种产品。已知每个工厂的年产量（单位：个）如表 1 所示，每种产品的单价（元/个）和单位利润（元/个）如表 2 所示。求各工厂的总收入与总利润。项目产品 表1 表2 工厂 产品 单价 单位利润 甲 乙 解 表1、表2可以分别用下列矩阵表示： ， 容易理解各工厂的总收入与总利润构成的矩阵就是。也可以列表如下：项目 表3 产品 总收入 总利润 甲 乙 例6 设 ，。求（1）；（2）；（3）。解：（1） 。（2）。（3）。例7 设，求.解法1：首先观察, 由此推测 。用数学归纳法证明:当时,显然成立.假设时成立，则时，由数学归纳法原理知: 。解法2：将A分解为两个简单矩阵之和，即 。单位矩阵E和任何矩阵可交换，于是有 而 ，故 。所以， .例8 设都是阶反对称矩阵，证明（1）是对称矩阵；（2）是反对称矩阵。证 都是阶反对称矩阵，因此，。（1）。因此，是对称矩阵。（2） 。故是反对称矩阵。讨论方阵是否是对称矩阵、反对称矩阵，也可以从其元素讨论：若，则n阶矩阵A为对称矩阵；若（当i=j时，），则n阶矩阵A为反对称矩阵。显然若能用其转置矩阵是否与本身相等或差一负号相等来考察矩阵是不是对称矩阵或反对称矩阵，要方便得多。例9 设都是阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充分必要条件是.证由已知： 充分性：即是对称矩阵.必要性：.三、小结1只有两个同型矩阵方能进行矩阵加法、减法运算。2只有当左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数时，两个矩阵才能相乘得矩阵AB。3矩阵乘法运算与数的乘法运算有如下的区别： （1）在数量运算中，若，则必有或或且，。但在矩阵乘法运算中，当AB =时，则未必有A =或B =。（2）矩阵乘法不满足交换律。一般地，ABBA，。4虽然，对于n阶方阵A、B，一般地ABBA，但总有 。 3 逆 阵一、内容提要可逆矩阵：对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B，使得 AB = BA = E 则称A为可逆矩阵，（简称A可逆），并称B是A的逆矩阵，记为A1，即A1=B。伴随矩阵：设n阶方阵，Aij为行列式中元素的代数余子式，则n阶矩阵 称为A的伴随矩阵，记为A*。若n阶矩阵A的行列式不为零，则称A为非奇异矩阵，否则称A为奇异矩阵。定理1 若是可逆矩阵，则 。定理2 若，则矩阵A可逆，且 ，其中A* 是A的伴随矩阵。是可逆矩阵的充分必要条件就是 ，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。推论 n阶方阵A，B，若AB = E（或BA = E），则A可逆，且A1 =B。可逆矩阵有如下运算规律：（1）； （2）；（3）； （4）；（5），其中A，B是同阶可逆矩阵。（5）式可推广到有限k个可逆矩阵乘积的情况： 规定：（k为正整数）。二、例题分析定理1、2不仅给出了n阶矩阵A可逆的充分必要条件是，而且给出了求逆矩阵的一种方法，称这种求逆矩阵方法为伴随矩阵法。例10 设 。问当a，b，c，d满足什么条件时，矩阵A可逆？可逆时求出。解 矩阵可逆矩阵的充分必要条件是 。因此，当 ，即 时，矩阵A可逆。此时，矩阵A各元素的代数余子式分别为， ， ， 。 A的伴随矩阵 ，因此，A的逆矩阵 。 推论说明，要判断矩阵A可逆，不必象定义那样检验且，只要检验其中一个即可。 例11 设 n 阶方阵A，B满足条件。证明：可逆，并求出。证 由可得 因此 即 由推论可知可逆，且 。注意：由于矩阵的乘法不满足交换律，因此，在提取公因子时，一定要注意其左、右位置；若提出公因子后，没有其它式子，则一定要用单位矩阵填充。如 右提取公因子，得 。 例12 设n阶方阵满足，证明 （1）可逆，并求的逆矩阵； （2）可逆，并求的逆矩阵。证 （1）由 ，有 ，即 ，所以可逆，且 （2）因为 因此 ； 即 所以可逆，且 利用逆矩阵，可解矩阵方程。已知方阵，可逆，则 （1），可解出矩阵； （2），可解出矩阵； （3），可解出矩阵。 例13 求解矩阵方程 .解 因为，矩阵 均可逆。且所以， 例14 设, 其中，求.解由 ，有。于是， 又 ， 。 因此 。 而 故 。例15 设阶矩阵的伴随矩阵为，证明：(1)若，则; (2) .证 (1)用反证法证明假设，则有.由此得 ，因此， 。 这与 矛盾。故当时, 有.(2)由于，得 。若 ， 则若，由 (1) 知 。此时命题也成立。故有 。三、小结（1）矩阵有加法、减法、数乘法及乘法，但由于矩阵乘法不满足交换律，因此没有除法。相应地有逆矩阵的概念。（2）对于n阶矩阵A总有，不管A是否可逆。这在一些理论推导时很有用。（3）伴随矩阵法通常在求二阶矩阵或较特殊的三阶矩阵的逆矩阵中有实际意义。但对于阶数较高的矩阵，由于伴随矩阵法计算量大，容易出错，用后面将学到的初等变换法求逆矩阵更方便。 4 矩阵的分块一、内容提要1分块矩阵用一些贯穿于矩阵的纵线和横线，分矩阵A为若干块，每小块叫做矩阵A的子块（子矩阵），以子块为元素的形式矩阵叫做分块矩阵。有时常把A按列分块： ， 其中 。若把A按行分块，则 ， 其中 。2分块矩阵的运算1）分块矩阵的加法设A，B为同型矩阵，用相同分法把A与B分块为 A， B其中每一个Aij与Bij是同型子块矩阵，则 A + B。2）数乘分块矩阵 kA ，k是任意常数。 3）分块矩阵的转置 AT即转置分块矩阵时，在分块矩阵中除了作行、列位置互换外，还要对每一个子矩阵做转置。 4）分块矩阵的乘法设A为矩阵，B为矩阵。将A，B分块成 A， B其中的列数分别等于的行数（；）。则有 C = AB其中 （；）。5）分块对角阵的逆矩阵若n阶分块矩阵具有下面形状 A其中主对角线上的每一个子块Ai（）是方阵，对角线外的子块都为零子块，称A为分块对角矩阵，或准对角矩阵。分块对角矩阵有如下性质：（1）| A | = | A1| | A2 | | As | ；（2）（3）若Ai（）都可逆，则A可逆，且 A1二、例题分析例16 用分块法计算 ，其中 A， B。 解 将A，B分块： A， B。则 AB， 其中 A1 + B1于是 AB例17 设，求、及。解分块 ， 令 , 。 则 。 故 .， ， 。于是 又 ， 。三、小结分块矩阵在简化矩阵运算和处理一些理论问题中常用到。尤其，分块对角阵的运算性质在后续课中应用很广，要熟练掌握。习 题 二(A组)1 设，求，。2 设，且矩阵满足方程，求。3 计算下列乘法： （1）； （2）； （3）。4 设，求 。5 设A，B都是n阶对称矩阵，证明，（k，l为常数）也都是对称矩阵。6 设A，B都是n阶反对称矩阵，证明，（k，l为常数）也都是反对称矩阵。7 用伴随矩阵法求下列矩阵的逆矩阵：（1）； （2）； （3）。8 设方阵A满足O，证明：都可逆，并求出。9 设 , 求 。10解下列矩阵方程： （1）； （2）；