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大学数学课程教学规范大学数学课程教学规范 东华理工大学 王泽文 乐励华 刘唐伟 徐定华 一、课程在人才培养中的地位和作用一、课程在人才培养中的地位和作用 数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学。数学是人类社会进步的产物，也是 推动社会发展的动力之一。数学与人类文明、与人类文化有着密切的关系。数学在人类文 明的进步和发展中，一直在文化层面上发挥着重要的作用。随着现代科学技术和数学科学 的发展， “数量关系”和“空间形式”具备了更丰富的内涵和更广泛的外延。现代数学内容 更加丰富，方法更加综合，应用更加广泛。数学不仅是一种重要的“工具”或“方法” ，也 是一种思维模式，即“数学方式的理性思维” ；数学不仅是一门科学，也是一种文化，即 “数学文化” ；数学不仅是一些知识，也是一种素质，即“数学素质” ，能否运用数学观 念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志。数学教育在培养高素质科学技术人 才中具有其独特的、不可替代的重要作用。 数学素质是人的文化素质的一个重要方面。古希腊的上流社会中，懂数学是有文化的 象征；没有相当数学底蕴的人，在上层人士中是受歧视的。数学的思想、精神、方法，从 数学角度看问题的着眼点、处理问题的条理性、思考问题的严密性，对人的综合素质的提 高都有不可或缺的作用。较高的数学修养，无论在古代还是在现代，无论对科技工作者还 是企业管理者，无论对各行业的工作人员还是政府公务员，都是十分有益的。 “胸中有数” 中的“数” ，不仅包含事物的数量方面，还应包含数学的思想、精神、方法等方面。所以， 数学教育是提高整个中华民族国民素质的重要环节。 随着知识经济时代和信息时代的到来，数学更是“无处不在，无所不用” 。各个领域中 许多研究对象的数量化趋势愈发加强，数学结构的联系愈发重要，再加上计算机的普及和 应用，给我们一个现实的启示：每一个想成为有较高文化素质的现代人，都应当具备较高 的数学素质，因此，数学教育对所有理工科专业的大学生来说，都必不可少。 大学数学课程在人才培养中的作用至少有以下三个方面： 1. 它是学生掌握数学工具的主要课程。数学知识是许多大学后续课程的基础，是学生 进一步学习和研究的必要工具。 2. 它是学生培养理性思维的重要载体。数学研究的是各种抽象的“数”和“形”的模 式结构，运用的主要是逻辑、思维和推演等理性思维方法。 3. 它是学生接受美感熏陶的一条途径。数学是美学四大中心建构（史诗、音乐、造型 和数学）之一，数学美是多方面的，例如将杂乱整理为有序、寻求各种物质运动的简洁统 一的数学表达等，都是人们对美的追求，这种追求对一个人精神世界的陶冶起着潜移默化 的影响，而且往往是一种创新的动力。 二、课程的教学目标二、课程的教学目标 高等学校本科生的数学基础课程应包括微积分、线性代数与空间解析几何、概率论与 数理统计等等，它们都是必修的重要基础理论课，应强调数学知识、数学能力和数学素质 三方面的综合协调发展。通过这些系列数学课程的学习，应使大学生在数学知识、能力和 素质上分别达到以下基本目标： （一）知识目标 通过数学系列课程的学习，学生应获得一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及 其应用、无穷级数与常微分方程、向量代数与空间解析几何、线性代数、概率论与数理统 计等方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能，为今后学习各类后继课程和进一 步扩大数学知识面奠定必要的连续量、离散量和随机量方面的数学基础。 知识领域中知识单元的学习目标基本上分为掌握、理解、了解三级，这三类要求是： 1掌握：要求学生对这些内容深入领会和掌握，并能熟练运用。 2理解：要求学生对这些内容理解并能掌握，对一些定理的复杂推导一般不作要求， 但要求会用它们分析、计算有关简单问题。 3了解：只要求对这些内容有所了解，一般不要求应用。 （二）能力目标 通过大学数学系列课程学习，学生应获得以下能力： 1进行抽象思维和逻辑推理的理性思维能力； 2准确计算的能力； 3运用数学软件的能力； 4综合运用数学的知识和方法分析问题和解决问题的能力； 5较强的自主学习能力； 6一定的创新精神和创新能力。 （三）素质目标 通过大学数学系列课程教学，应注重培养学生以下素质： 1主动探寻并善于抓住数学问题中的背景和本质的素养； 2善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型的素养； 3能用准确、简明、规范的数学语言表达自己数学思想的素养； 4具有良好的科学态度和创新精神，合理地提出新思想、新概念、新方法的素养； 5对各种问题能以“数学方式”进行理性思维，从多角度探寻解决问题的道路的素养。 三、大学数学的知识体系三、大学数学的知识体系 本部分描述本科阶段大学数学所包含的知识领域及其知识单元和知识点。知识体系的 体系结构可以划分为三个层次，分别是知识领域、知识单元、知识点。最高一层是知识领 域(Area)，代表一个特定的学科子领域。每个领域由英文的缩写词表示，比如 CL 代表微积 分，AA 代表高等代数。知识领域之下又被分割成更小的知识单元(Unit)，代表各个知识领 域中的不同方向，用知识领域缩写后面加一个数字后缀来表示。例如，CL2 表示知识领域 CL 中的知识单元“一元函数微分学” 。知识单元分为核心和选修两种，核心知识单元是一 般普通高等院校所有理工科专业学生都应该学习的基础知识，以及部分部分理工科专业所有学所有学 生生都应该学习的基础知识（例如复变函数、数学物理方程方面的知识） 。知识点(Topic)是 整个体系结构中的最底层，代表领域中单独的主题模块。 大学数学的知识体系由 12 个知识领域和 105 个知识单元构成，其中核心知识单元 56 个，选修知识单元 49 个。知识领域、知识单元的划分主要参照现代数学手册 、其它版 本的数学手册、现有的一些教材、国家学科分类目录以及国家自然科学基金中有关数学学 科研究领域的分类来划分的。 （一）大学数学的知识体系 知识领域 1：微积分（CL） 知识领域 2：无穷级数（IS） 知识领域 3：常微分方程与差分方程（ODE） 知识领域 4：空间解析几何（AG） 知识领域 5：高等代数（AA） 知识领域 6：矩阵论（MT） 知识领域 7：概率论（PT） 知识领域 8：数理统计（MS） 知识领域 9：积分变换与复变函数（CF） 知识领域 10：数学物理方程（MPE） 知识领域 11：数值分析（NA） 知识领域 12：数学建模（MM） （二）大学数学知识体系描述（附录 A） 大学数学的知识体系概要说明了各个知识领域、知识单元和知识点，以及学习知识单 元、知识点的参考学习目标，所需的参考学时等。本部分关于知识领域、知识单元和知识 点的详细描述在附录 A 中。在此仅就知识体系中的 2 个知识领域中各自 3 个知识单元进行 详细描述，以示说明。详见附录 A。 （三）大学数学知识体系汇总表 大学数学知识体系的各知识领域、知识单元以及核心知识单元的参考学时汇总于下表。 表中核心知识单元与选修知识单元后括弧内的数据表示该单元的参考学时数，在第四部分 课程设置中知识单元的学时可根据不同的目标与要求进行调整。 （注：核心知识单元的参考 学时是依据教育部有关普通教育中数学基础课程学分（学时）的要求、网上调研若干高校 的教学大纲以及我们学校的教学大纲等给出的。 ） 知识领域知识领域核心知识单元（参考学时）核心知识单元（参考学时）选修知识单元（参考学时）选修知识单元（参考学时） 微积分 （CL） CL1: 极限与连续性（16-18） CL2: 一元函数微分学（30-32） CL3: 一元函数积分学（24-28） CL4: 多元函数微分学（16） CL5: 重积分（16） CL6：曲线积分与曲面积分（16） CL8: 广义积分（8） CL7: 实数的连续性（8） CL9：含参变量积分（6） CL10：欧拉积分（2） 无穷级数 （IS） IS1: 数项级数（6） IS2: 函数项级数（2） IS3: 幂级数（4） IS4: 傅立叶级数（6） 常微分方程 与差分方程 （ODE） ODE1: 常微分方程的基本概念（2） ODE2: 一阶微分方程（4） ODE3: 高阶微分方程（10） ODE4: 线性微分方程组（6） ODE5: 常微分方程边值问题（6） ODE6：差分方程的基本概念（1） ODE7: 线性差分方程（3） ODE8: 差分方程组（2） 空间解析几 何（AG） AG1: 矢量与坐标（6） AG2: 平面与直线（4） AG3: 曲面与空间曲线（4） AG4: 二次曲线的一般性理论（8） AG5: 二次曲面一般性理论（8） 知识领域知识领域核心知识单元（参考学时）核心知识单元（参考学时）选修知识单元（参考学时）选修知识单元（参考学时） 高等代数 （AA） AA 2: 行列式（5） AA 3: n 维向量与线性方程组（10） AA7: 二次型（5） AA1: 多项式（10） AA 4: 线性空间（10） AA 5: 线性变换（10） AA 6：欧氏空间与酉空间（8） 矩阵论 （MT） MT1: 矩阵及运算（4） MT2: 矩阵的秩及其标准形（4） MT3: 方阵的特征值与特征向量（4） MT4: 复矩阵的相似标准形（2） MT5: 广义逆矩阵（2） MT6：矩阵范数（2） MT7: 矩阵分解（4） MT8: 矩阵的极限、微分和积分 （4） MT 9: 矩阵的级数和矩阵函数（4） MT 10: 特殊矩阵（2） 概率论 （PT） PT1: 随机事件与概率（8） PT2: 随机变量及其分布（8） PT3: 多维随机变量及其分布（6） PT4: 随机变量的数字特征（5） PT5: 大数定律和中心极限定理（3） 数理统计 （MS） MS1: 数理统计的基本概念（6） MS2: 参数估计（6） MS3: 假设检验（6） MS4: 方差分析（6） MS4: 回归分析（4） 复变函数与 积分变换 （CF） CF1: 复数与复变函数（4） CF2: 解析函数（6） CF3: 复变函数的积分（6） CF4: 复数级数（6） CF5: 留数（6） CF7: 保形映射（6） CF9: 傅立叶变换（6） CF10: 拉普拉斯变换（8） CF6：解析开拓（4） CF8: 调和函数（4） CF11: 梅林变换（2） CF12: 汉克尔变换（2） 知识领域知识领域核心知识单元（参考学时）核心知识单元（参考学时）选修知识单元（参考学时）选修知识单元（参考学时） 数学物理方 程（MPE） MPE1: 典型方程及其定解条件（4） MPE2: 分离变量法（10） MPE3: 行波法和积分变换法（6） MPE4: 拉普拉斯方程的格林函数法（4） MPE5: 数理方程的特殊函数解法（10） MPE6：能量积分（2） MPE7: 变分法（2） MPE8: 非线性偏微分方程（2） 数值分析 （NA） NA1: 误差分析（4） NA2: 插值（6） NA3: 曲线拟合（4） NA4: 数值积分与数值微分（8） NA5: 函数方程求根（6） NA6: 常微分方程初值问题的数值解法 （8） NA12: 线性代数方程组的直接解法（6） NA13: 线性代数方程组的迭代解法（6） NA7: 常微分方程边值问题的数值解 法（4） NA8: 抛物型方程的差分解法（4） NA9: 双曲型方程的差分解法（4） NA10: 椭圆型偏微分方程的差分解法 （4） NA11: 偏微分方程的有限元法初步 （6） NA14: 最小二乘问题的数值解法 （2） NA15: 对称特征值问题（2） NA16: 非对称特征值问题（2） 数学建模 （MM） MM1: 数学建模的基本概念（2） MM3: 优化模型（8） MM4: 微分方程模型（8） MM6: 概率模型（6） MM7: 统计模型（4） MM2: 初等模型（2） MM5: 差分方程模型（2） MM8: 离散模型（2） MM9: 其它模型（2） 四、大学数学系列课程四、大学数学系列课程 知识体系给出了一般普通高等院校理工科专业（包括对数学有特殊要求的理工科专业） 的数学知识框架，但这些知识要通过课程教学来传授给学生。因此，明确了知识体系之后 就要构建相应的课程和课程体系。 课程教学包括理论课程教学、实验课程和实践课程教学。课程可以按单一知识领域进 行设置，也可以由若干知识领域构成一门课程，还可以从各知识领域中抽取相关的知识单 元组成课程。 大学数学系列课程体系由公共基础必修课程、部分专业必修课程和选修课程组成。本 大学数学系列课程教学规范以范例形式给出了一个课程设置方案。各个学校可以参照 此方案构建具有本校特色的大学数学系列课程与课程体系。 （一）大学数学课程设置 大学数学系列课程设置分为以下三个层次：普通教育中的公共基础课程、普通教育中 的选修课程和部分专业必修课程。课程的组织方案和实现可以采用多种方式和策略。表内 知识单元后面括弧内的数值表示课程选讲该单元的学时数。 课课 程程 设设 置置 汇汇 总总 表表 序号课程名称 学时/学分 （其中实验学时/ 学分） 实验 项目 (学时) 核心知识单元 选修知识 单元 说明 1 高等数学 A 184/12 （16/1） BE1，BE2， BE3，BE4， BE5，BE6， BE7，BE8， BE9，BE10， BE11，IE1 IE2 中任选 16 个 学时 CL1, CL2， CL3, CL4, CL5, CL6, IS1, IS2, IS3, IS4, CL8(4), AG1, AG2,AG3, ODE1,ODE2, ODE3 CL9（2）, CL10（2）, ODE4（2） 适合理工科专业较高 要求（必修） 2 高等数学 B 176/11 （8-16/ 0.5-1） BE1，BE2， BE3，BE4， BE5，BE6， BE7，BE8， BE9，BE10， BE11 中任选 8-16 个学时 的实验 CL1, CL2, CL3, CL4, CL5, CL 6, IS1, IS2, IS3, IS4, CL8(2)，AG1, AG2,AG3,ODE1 ,ODE2, ODE3 适合理工科专业一般 要求（必修） 3 微积分 A 168/10.5 CL1, CL 2， CL3, CL4, CL5, CL6, IS1, IS2, IS3, IS4,CL8(4), DE1,ODE2, ODE3 CL9（2）, CL10（2） 适合理工科专业较高 要求（必修） 4 微积分 B 160/10 CL1, CL2, CL3, CL4, CL5, CL 6, IS1, IS2, IS3, IS4, CL8(2)， ODE1 ,ODE2, ODE3 适合理工科专业一般 要求（必修） 5 线性代数 A 40/2.5 AA2，AA3, MT1， MT2，MT3, AA7 AA4(3)，AA5(3), AA6(2) 适合理工科专业较高 要求（必修） ） 6 线性代数 B 32/2 AA2，AA 3, MT1， 适合理工科专业一般 序号课程名称 学时/学分 （其中实验学时/ 学分） 实验 项目 (学时) 核心知识单元 选修知识 单元 说明 MT2，MT3, AA7要求（必修） 7 线性代数与 解析几何 A 56/3.5 AA2，AA 3, MT1， MT2，MT3, AA7, AG1, AG2, AG3 AA4(3)，AA 5(3), AA6(4) 适合理工科专业较高 要求（必修） 8 线性代数与 解析几何 B 48/3 AA2，AA 3, MT1， MT2，MT3, AA7 AG1, AG2, AG3 AA4(2) 适合理工科专业一般 要求（必修） 9 概率论与数 理统计 A 56/3.5 PT1, PT2, PT3, PT4, PT5, MS1, MS2, MS3 MS4(4), MS 5(4) 适合理工科专业较高 要求（必修） 10 概率论与数 理统计 B 48/3 PT1, PT2, PT3, PT4, PT5, MS1, MS2, MS3 适合理工科专业一般 要求（必修） 11 复变函数与 积分变换 48/3 CF1, CF2, CF3, CF4, CF5, CF7, CF9, CF10 部分理工科专业一般 要求（必修） 12 数理方程 48/3 MP1, MP2, MP3 , MP4, MP5, CF9, CF10 部分理工科专业一般 要求（必修） 13 计算方法 48/3 NA1，NA2，NA3，NA4, NA5, NA6, NA12, NA13 MT6 部分理工科专业一般 要求（必修） 14 数学建模 A 32/2MM1, MM3, MM4, MM6, MM7 MM2（2） MM5（2） 理工科各专业选修 15 数学建模 B1 周/1 MM1, MM3, MM4, MM6, MM7 MM2（2） MM5（2） 理工科各专业（必修） 在整个知识体系结构下，各高等院校可根据本校的特色和不同专业的需求灵活设置课 程体系。 （二）大学数学系列课程描述（附录 B） 按照上述课程设置方案产生了适合不同对象和具有不同要求的系列课程。下面我们对 该系列课程的所有课程进行描述，主要对各门课程的前导课程、课程提纲、课程知识单元 汇总等方面进行描述。祥见附录 B。 （三）大学数学实验项目描述（附录 C） 五、课程主要教学方式和基本要求五、课程主要教学方式和基本要求 在大学数学课程的教学过程中，应以培养学生的知识、能力、素质协调发展为目标， 认真贯彻以学生为主体、教师为主导的教育理念；应遵循学生的认知规律，注重理论联系 实际，激发学习兴趣，引导自主学习，鼓励个性发展；要加强教学方法和手段的研究与改 革，努力营造一个有利于培养学生科学素养和创新意识的教学环境。 （一）（一） 、课堂讲授、课堂讲授 1.1. 讲授内容讲授内容 讲授内容一般包括十二个知识领域：（1）微积分（CL） ， （2）无穷级数（IS） ， （3）常 微分方程与差分方程（ODE） ， （4）空间解析几何（AG） ， （5）高等代数（AA） ， （6）矩阵论 （MT） ， （7）概率论（PT） ， （8）数理统计（MS） ， （9）积分变换与复变函数（CF） ， （10）数 学物理方程（MPE） ， （11）数值分析（NA） ， （12）数学建模（MM） 。各高校根据各专业开设 课程的特点，自行选择包含不同的其它选修知识领域的合适课程。 2 2教学方法教学方法 课堂讲授是一种基本的教学方法。在课堂教授中，采用启发式、讨论式等多种行之有 效的教学方法，加强师生之间、学生之间的交流，引导学生独立思考，强化科学思维的训 练。注重数学思想、数学方法、数学技巧的教学，重在数学思想，用在数学方法，活在数 学技巧，优化学生的数学思维，提高学生的数学能力。不仅注意到教材中的现有结果，而 且注意教材之外和现有结果的前景。 3 3教学手段教学手段 数学系列课程的教学中，多媒体的辅助手段要结合数学课程的特点，注意实效，恰当 运用，不可过多，只能辅助教学，不能代替教学。特别对于以培养学生的抽象思维、逻辑 思维为特点的课程，应以板书教学为主，其他媒体辅助教学的作用是有限的。数学系列课 程中可以采用计算机辅助教学的，主要有：复杂三维图形的多角度展示、动态过程的演示、 影像资料的放映、书写量过大难于板书的内容、大量表格、资料、数据、图形的展示、数 学人物、数学史简介、集体答疑、序言课、复习课等。 （二）、讨论课（二）、讨论课 讨论课是启迪学生思维，培养学生提出、分析、解决问题能力的重要教学环节，提倡 有条件的学校以小班形式进行，并应在教师引导下以讨论、交流为主，争取学时数（课内 或课外）达到一定比例。鼓励通过网络资源、专题讲座、探索性实践、小课题研究等多种 方式开展探究式学习，因材施教，激发学生的智力和潜能，调动学生学习的主动性和积极 性。讨论课的开展也有助于学生理解抽象的数学概念，领会大学数学思想方法的深刻内涵， 为后续学习做好知识准备。 （三）（三） 习题课习题课 习题是引导学生学习、检查教学效果、保证教学质量的重要环节，也是体现课程要求 规范的重要标志。习题课可采用边讲边练、精讲多练、以练为主的方式，留出多数时间让 学生自己动手做练习。由于数学系列课程和数学教学的特点，习题训练在数学教学中有特 别重要的作用，讨论课、习题课学时应不少于总学时的 1/6。理解各部分知识间的联系， 明确解决问题的思路，数学思维的培养，书面表达能力的训练，很大程度上依靠做题的过 程来完成。习题课的重点是如何利用数学原理和方法分析解决数学基本运算与应用题。 （四）实验课（四）实验课 高等数学实验、数学建模实践坚持以“学生为中心”的原则，让学生自己体验数 学、了解数学、学习数学。在高等数学实验、数学建模实践环节的教学中，可采取发现问 题、实验探索、分析归纳、课堂讨论、证明总结等相结合的教学方法，而对于数学建模课 程宜采用案例教学为主。 ( (五五) ) 课外作业课外作业 课外习题是引导学生学习、检查教学效果的重要环节，也是体现课程要求的标志，习 题的选取应围绕教学要求强调基本习题训练，降低技巧性习题要求，应尽量精选一些既能 培养学生分析和解决问题能力、巩固所学知识、又较贴近应用实际可激发学生学习兴趣的 作业。一般每 2 学时一次作业，可使用教材上的习题，也可自行编制习题集。另外还可布 置专题小论文和读书笔记及课外阅读等丰富课外作业内容。 在数学教学中如下做法是值得提倡的：将数学建模的思想融入大学数学主干课程的教 学中去，结合实际问题设计“课外思考案例” ，组织“课外学习兴趣小组” ，开设深入浅出 的近代数学知识讲座，引导学生参加各种级别的数学竞赛和数学建模竞赛。 （六）、自主学习（六）、自主学习 提高学生自学能力和获取知识能力是重要环节，要适当布置学生自学的讲授内容。 利用学生的校园网，提供丰富教学资源，延伸了课堂教学的时空领域，提供了课外学 习服务。学生可以利用网络课堂进行自学、复习、个性化学习。网站平台可以提供在线作 业，答疑系统、考试系统、交流平台，教师可以答疑学生问题。 校图书馆和院系图书资料室对学生开放借阅图书资料，有利于学生自主学习，培养学 生个性发展和创新思想。 （七）、课外指导（七）、课外指导 课外指导主要是切实做好课后对学生辅导答疑和质疑，以及开展第二课堂。每讲授 2-3 学时至少答疑 1 学时。辅导答疑时间可安排在晚上学生自习时间，解答学生本章学习 存在的问题，如有普遍性问题可集体辅导。 六、课程考核六、课程考核 1考试命题 考核也是引导学生学习、检查教学效果的重要环节，也是体现课程要求的标志，要积 极探索体现素质教育特征的考核方式。笔试时一般按大纲要求出题，采用试题库，题型设 有选择、填空、计算、证明、问答等，主要针对大学数学基本概念、基本方法的理解和掌 握，以及基本数学应用能力，考试内容不超出大纲。 2考核方式 考核方式分为考试和考查。 考试：建议每学期平时成绩（包括作业成绩、缺课和听课、数学实验等情况）占总评 成绩的 20-30%，期末考试成绩占 80-70%。 考查：建议每学期平时成绩（包括作业成绩、缺课和听课、数学实验等等情况）占总 评成绩的 40%，期末考试成绩占 60%。 七、说明七、说明 1大学数学系列课程中的公共基础课程既是重要的基础课，又是难度较大的课程。因 此，在理论课教学中，各教学班除课堂讲授以外，还应安排面授辅导答疑和配备助教。 2在课程的教学过程中，应当积极开展对教学内容与课程体系、教学方法与教学手段 的改革，认真总结经验，并将教学改革的成果逐步吸收到教学中来，不断提高教学质量。 要不断更新教学内容，逐步实现教学内容的现代化；要加强不同数学分支间的相互结合和 相互渗透，进行课程和内容的重组；要突出数学思想方法的教学，加强数学应用能力的培 养，淡化运算技巧的训练；要尊重个性，发挥特长，探索现阶段因材施教的新方法、新模 式；要不断探索以学生为主体有利于调动学生自主学习积极性的启发式、讨论式、研究式 的教学方法；要积极采用现代教育技术手段，使传统的教学手段与现代教学手段相互结合， 取长补短。 3各校应根据本校实际情况，努力创造条件，尽快开设与理论教学相配套的数学实验 课，使学生学会使用常用的数学软件，提高他们使用数学软件解决问题的意识和能力，逐 步培养他们的数学建模能力。已开设数学实验课的院校，可将课程大纲中的基本要求中有 关内容的理论教学结合实验课完成。 4应保证学生足够的课外学习时间，课内外学时比建议为 1 ：2。 习题课是实现教 学基本要求的一个重要环节，不应取消。习题课学时应不少于总学时的 1/6，以采用小班 上课为宜，不宜用大班课代替。 5考试不仅是检查教学效果的重要手段，而且对教与学有着重要的导向作用。应积极 进行考试改革，使考试的内容和形式不但要有利于检查学生对基本知识和技能的掌握，而 且有利于检测学生素质和能力的高低，逐步建立起科学的人才评判标准和教学质量评价体 系。 八、参考文献 1 教育部高等教育司理工处. 高等学校理工科本科专业规范（参考格式）. 高等学校 理工科教学指导委员会通讯，2003.10. 2 黄国兴等. 中国计算机科学与技术学科教程 2002，中国计算机科学与技术教程 2002 研究组 3 胡恩明、周健儿、罗金明、韩占生. 一般院校工科专业规范的研究. 高等学校理 工科教学指导委员会通讯，2003.10. 4 胡恩明、郭文莉、周健儿.人才培养模式改革研究与实践. 高等教育出版社， 2003.10 5教育部教学指导委员. 工科类本科数学基础课程教学基本要求（修订稿）. 6 教育部高等学校数学与统计学教学指导委员会课题组. 数学学科专业发展战略研究 报告. 中国大学教学，No.3, 2005. 7 现代数学手册编纂委员会. 现代数学手册（经典数学卷、现代数学卷、计算机 数学卷） ，华中科技大学出版社, 2000.12. 8 西安交通大学项目组. 数学系列课程的综合改革与整合实践. 发展、创新、改革 （第二集） ，教育部高等教育司编。 9 谭泽光. 研究型大学中大学数学课程改革的思路、方案与实践. 发展、创新、改革 （第二集） ，教育部高等教育司编。 10 同济大学应用数学系. 高等数学上、下册（第五版）. 北京：高等教育出版社， 2002.7. 11 同济大学数学教研室 .线性代数（第三版）. 北京：高等教育出版社，1999.6. 12 浙江大学 盛骤、谢式千、潘承毅.概率论与数理统计（第三版）. 北京：高等教 育出版社，2001.12. 附录附录 A A 大学数学知识体系描述大学数学知识体系描述 知识领域知识领域 1 1：微积分（CL） 知识领域知识领域 2 2：无穷级数（IS） 知识领域知识领域 3 3：常微分方程与差分方程（ODE） 知识领域知识领域 4 4：空间解析几何（AG） 知识领域知识领域 5 5：高等代数（AA） 知识领域知识领域 6 6：矩阵论（MT） 知识领域知识领域 7 7：概率论（PT） 知识领域知识领域 8 8：数理统计（MS） 知识领域知识领域 9 9：积分变换与复变函数（CF） 知识领域知识领域 1010：数学物理方程（MPE） 知识领域知识领域 1111：数值分析（NA） 知识领域知识领域 1212：数学建模（MM） 知识领域知识领域 1 1： 微积分（微积分（CLCL） 知识单元 1(CL1): 极限与连续性 (核心) 知识单元 2(CL2): 一元函数微分学 (核心) 知识单元 3(CL3): 一元函数积分学 (核心) 知识单元 4(CL4): 多元函数微分学 (核心) 知识单元 5(CL5): 重积分 (核心) 知识单元 6(CL6)：曲线积分与曲面积分（核心） 知识单元 7(CL7): 实数的连续性（选修） 知识单元 8(CL8): 广义积分（核心） 知识单元 9(CL9)：含参变量积分（选修） 知识单元 10(CL10)：欧拉积分（选修） 知识单元知识单元 1(CL1):1(CL1): 极限与连续性（核心）极限与连续性（核心） 参考学时：参考学时：16-1816-18 学时（含实验可选学时学时（含实验可选学时 4 4） 知识点：知识点： 映射与函数 数列的极限 函数的极限 无穷小与无穷大 极限运算法则 极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较 函数的连续性与间断点 连续函数的运算 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 学习目标：学习目标： 1. 加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调性、周期性和有界性）的了解， 理解复合函数的概念，了解反函数的概念； 2. 会建立简单实际问题中的函数关系式； 3. 理解极限的概念，了解极限的定义；,N 4. 掌握极限的有理运算法则，会用变量代换求某些简单复合函数的极限； 5. 了解极限的性质（唯一性、有界性、保号性）和两个存在准则（夹逼准则与单调有 界准则） ，会用两个重要极限与求极限；e 1 1lim x x x 1 sin lim 0 x x x 6. 了解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念，会用等价无穷小求极限； 7. 理解函数在一点连续和在一区间上连续的概念； 8. 了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型； 9. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的介值定理与最大值、最小值定理。 知识单元知识单元 2 2(CL2):CL2): 一元函数微分学（核心）一元函数微分学（核心） 参考学时：参考学时：30-3230-32 学时（含实验可选学时学时（含实验可选学时 4 4） 知识点：知识点： 导数的概念 导数的几何意义 导数的运算 高阶导数 微分的概念 微分的运算 一阶微分的形式不变性 Rolle 中值定理 Lagrange 中值定理 Cauchy 中值定理 Taylor 定理 函数的极值 拐点的求法 单调性、凹凸性的判别 函数图形的描绘 曲率和曲率半径 方程的近似解 学习目标：学习目标： 1. 理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系； 2. 了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率； 3. 掌握导数的有理运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式； 4. 理解微分的概念，了解微分概念中所包含的局部线性化思想，了解微分的有理运算 法则和一阶微分形式不变性； 5. 了解高阶导数的概念，掌握初等函数一阶、二阶导数的求法（不要求学生求函数的 阶导数的一般表达式） ；n 6. 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数以及这两类函数中比较简单的二 阶导数，会解一些简单实际问题中的相关变化率问题； 7. 理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理，了解柯西（Cauchy）定理 （对三个定理的分析证明不作要求，并且不要求学生掌握构造辅助函数证明相关问题的技 巧） ，会用洛必达（LHospital）法则求不定式的极限； 8. 了解泰勒（Taylor）定理以及用多项式逼近函数的思想（对定理的分析证明以及利 用泰勒定理证明相关问题不作要求） ； 9. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简 单的最大值与最小值的应用问题； 10. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘一些简单函数的图形（包括 水平和铅直渐近线） ； 11. 了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径； 12. 了解求方程近似解的二分法和切线法的思想。 知识单元知识单元 3(CL3):3(CL3): 一元函数积分学（核心）一元函数积分学（核心） 参考学时：参考学时：24-2824-28 学时（含实验可选学时学时（含实验可选学时 2 2） 知识点：知识点： 定积分的概念及其几何意义 NoewtonLeibniz 公式 积分中值定理 分部积分法和换元积分法 不定积分与原函数 变上限函数 不定积分的分部法和换元法 定积分的微元法 几何应用 物理应用 无穷区间的反常积分 无界函数的反常积分 定积分的近似计算 学习目标：学习目标： 1. 理解定积分的概念和几何意义（对于利用定积分定义求定积分与求极限不作要求） ， 了解定积分的性质和积分中值定理； 2. 理解原函数与不定积分的概念，理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理， 掌握牛顿（Noewton）莱布尼兹（Leibniz）公式； 3. 掌握不定积分的基本公式以及求不定积分、定积分的换元法与分部积分法（淡化特 殊积分技巧的训练，对于求有理函数积分的一般方法不作要求，对于一些简单有理函数、 三角有理函数和无理函数的积分可作为两类积分法的例题作适当训练） ； 4. 掌握科学技术问题中建立定积分表达式的元素法（微元法） ，会建立某些简单几何 量和物理量的积分表达式； 5. 了解两类反常积分及其收敛性的概念； 6. 了解定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）的思想。 知识单元知识单元 4(CL4):4(CL4): 多元函数微分学（核心）多元函数微分学（核心） 参考学时：参考学时：1616 学时（含实验可选学时学时（含实验可选学时 4 4） 知识点：知识点： 多元函数 二元函数的极限与连续性 有界闭区域上连续函数的性质 偏导数与全微分 方向导数和梯度 隐函数 二元函数的极值和条件极值 学习目标：学习目标： 1. 理解二元函数的概念，了解多元函数的概念； 2. 了解二元函数的极限与连续性的概念，了解有界闭区域上连续函数的性质； 3. 理解二元函数偏导数与全微分的概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件； 4了解一元向量值函数及其导数的概念与计算方法； 5. 了解方向导数与梯度的概念及其计算方法； 6. 掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数（对于求抽象复合函 数的二阶导数，只要求作简单训练） ； 7. 会求隐函数（包括由两个方程构成的方程组确定的隐函数）的一阶偏导数（对求二 阶偏导数不作要求） ； 8. 了解曲线的切线和法平面以及曲面的切平面与法线，并会求出它们的方程； 9. 理解二元函数极值与条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉 格朗日乘数法，会求解一些比较简单的最大值与最小值的应用问题。 知识单元 5(CL5):CL5): 重积分（核心）重积分（核心） 参考学时：参考学时：1616 学时（含实验可选学时学时（含实验可选学时 2 2） 知识点：知识点： 二重积分 三重积分 学习目标：学习目标： 1. 理解二重积分的概念，了解三重积分的概念，了解重积分的性质； 2. 掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标） ，会计算简单的三重积分（直角坐 标、柱面坐标、球面坐标） 。 知识单元知识单元 6(CL6)6(CL6)：曲线积分与曲面积分（核心）：曲线积分与曲面积分（核心） 参考学时：参考学时：1616 学时学时 知识点：知识点： 第一类曲线积分 第二类曲线积分 第一类曲面积分 第二类曲面积分 格林公式 高斯(Gauss)公式和斯托克斯(Stokes)公式 场论初步 学习目标：学习目标： 1. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系，会计 算两类曲线积分（对于空间曲线积分的计算只作简单训练） ； 2. 掌握格林（Green）公式，会使用平面线积分与路径无关的条件，了解第二类平面 线积分与路径无关的物理意义； 3. 了解两类曲面积分的概念及其计算方法； 4. 了解高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式（斯托克斯公式的证明以及利 用该公式计算空间曲线积分不作要求） ； 5. 了解场的基本概念，了解散度、旋度的概念和某些特殊场（无源场、无旋场与调和 场） ，会计算散度与旋度； 6. 了解科学技术问题中建立重积分与曲线、曲面积分表达式的元素法（微元法） ，会 建立某些简单的几何量和物理量的积分表达式。 知识单元知识单元 7(CL7):7(CL7): 实数的连续性（选修）实数的连续性（选修） 参考学时：参考学时：8 8 学时学时 知识点：知识点： 闭区间套定理 确界定理 有限覆盖定理 聚点定理 致密性定理 Cauchy 收敛准则 闭区间连续函数性质的证明 一致连续性 学习目标：学习目标： 1. 理解实数的连续性，即实数的稠密性且无间隙，了解反映实数连续性的六大互相等 价的定理(闭区间套定理，确界定理，有限覆盖定理，聚点定理，致密性定理，Cauchy 收 敛准则)，对他们的证明方法不作要求； 2. 了解闭区间上连续函数性质的定理的证明； 3. 理解函数一致连续的概念。 知识单元知识单元 8(CL8):8(CL8): 广义积分（核心）广义积分（核心） 参考学时：参考学时： 8 8 学时学时 知识点：知识点： 无穷积分的概念 无穷积分的敛散性 无穷积分的性质 无穷积分的敛散性判别法 无穷积分的绝对收敛与条件收敛 瑕积分的概念 瑕积分的敛散性 瑕积分的性质 瑕积分的敛散性判别法 瑕积分的绝对收敛与条件收敛 学习目标：学习目标： 1 了解无穷积分的概念与性质； 2 理解无穷积分的敛散性概念，掌握敛散性判断方法； 3 了解无穷积分的绝对收敛与条件收敛的概念，掌握无穷积分的绝对收敛与条件收 敛的判别方法； 4 了解瑕积分的概念与性质； 5 理解瑕积分的敛散性概念，掌握敛散性判断方法； 6 了解瑕积分的绝对收敛与条件收敛的概念，掌握瑕积分的绝对收敛与条件收敛的 判别方法。 知识单元知识单元 9(CL9)9(CL9)：含参变量积分（选修）：含参变量积分（选修） 参考学时：参考学时： 6 6 学时学时 知识点：知识点： 含参变量的有限积分的概念与性质 含参变量的无穷积分的概念与性质 学习目标：学习目标： 1 了解含参变量的有限积分的概念与性质；掌握含参变量的有限积分的收敛判别方 法；会计算典型的含参变量的有限积分； 2 2 了解含参变量的无穷积分的概念与性质，掌握含参变量的无穷积分的收敛的判别 方法；会计算典型的含参变量的无穷积分。 知识单元知识单元 10(CL10)10(CL10)：欧拉积分（选修）：欧拉积分（选修） 参考学时：参考学时： 2 2 学时学时 知识点：知识点： 函数（第一型欧拉积分）的概念与性质 函数（第二型欧拉积分）的概念与性质 学习目标：学习目标： 1 了解函数的概念与性质； 2 了解函数的概念与性质； 3 掌握利用函数和函数的性质表示或计算含参变量积分。 知识领域知识领域 2 2： 无穷级数（无穷级数（ISIS） 知识单元 1(IS1): 数项级数（核心） 知识单元 2(IS2): 函数项级数（核心） 知识单元 3(IS3): 幂级数（核心） 知识单元 4(IS4): 傅立叶级数（核心） 知识单元知识单元 1(IS1):1(IS1): 数项级数（核心）数项级数（核心） 参考学时：参考学时：6 6（含实验可选学时（含实验可选学时 1 1） 知识点：知识点： 无穷级数收敛 发散以及和的概念 数项级数的概念 正项级数的收敛判别法 绝对收敛与条件收敛 交错级数的收敛判别法 学习目标：学习目标： 1. 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条 件； 2. 了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与-级数的敛散性，掌握正项级数的比p 较和比值审敛法； 3. 了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差。了解绝对收敛与条件 收敛的概念及二者的关系。 知识单元知识单元 2(IS2):2(IS2): 函数项级数（核心）函数项级数（核心） 参考学时：参考学时： 2 2 知识点：知识点： 函数项级数、收敛域与和函数的概念 一致收敛 学习目标：学习目标： 1. 了解函数项级数的收敛域与和函数的概念； 2. 了解函数项级数的一致收敛性。 知识单元知识单元 3(IS3):3(IS3): 幂级数（核心）幂级数（核心） 参考学时：参考学时： 4 4 学时学时 知识点：知识点： 幂级数的概念 收敛半径与收敛区间 和函数的性质 Taylor 级数 初等函数的 Taylor 展开 学习目标：学习目标： 1. 掌握简单幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性不作要求） 。了解幂级数在其 收敛区间内的沓一些基本性质（对求幂级数的和函数只要求作简单训练） ； 2. 会利用，与的马克劳林（Maclaurin）展开式 x exsinxcos)1ln(x )1 (x 将一些简单的函数展开成幂级数； 3. 了解利用将函数展开为幂级数进行近似计算的思想。 知识单元知识单元 4(IS4):4(IS4): 傅立叶级数（核心）傅立叶级数（核心） 参考学时：参考学时：6 6 学时（含实验可选学时学时（含实验可选学时 1 1） 知识点：知识点： 三角级数、傅立叶级数的概念 三角函数系的正交性 傅立叶级数的收敛定理 正弦级数与余弦级数 函数展开成傅立叶级数、正弦级数或余弦级数 学习目标：学习目标： 1. 了解用三角函数逼近周期函数的思想，理解三角级数、傅立叶级数的概念； 2. 理解三角级数的正交性，了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷 （Dirichlet）条件； 3. 掌握将定义在和上的函数展开为傅里叶级数，掌握将定义在上),(),(ll), 0(l 的函数展开为傅里叶正弦或余弦级数。 知识领域知识领域 3 3： 常微分方程与差分方程（常微分方程与差分方程（ODEODE） 知识单元 1(ODE1): 常微分方程的基本概念（核心） 知识单元 2(ODE2): 一阶常微分方程（核心） 知识单元 3(ODE3): 高阶常微分方程（核心） 知识单元 4(ODE4): 线性常微分方程组（选修） 知识单元 5(ODE5): 常微分方程边值问题（选修） 知识单元 6(ODE6): 差分方程的基本概念（选修） 知识单元 7(ODE7): 线性差分方程（选修） 知识单元 8(ODE8): 差分方程组（选修） 知识单元知识单元 1(ODE1):1(ODE1): 常微分方程的基本概念（核心）常微分方程的基本概念（核心） 参考学时：参考学时： 2 2 学时学时 知识点：知识点： 常微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解等基本概念 常微分方程的几何意义 定解问题和初值问题 学习目标：学习目标： 1.1. 理解常微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念.。 知识单元知识单元 2(ODE2):2(ODE2): 一阶常微分方程（核心）一阶常微分方程（核心） 参考学时：参考学时： 4 4 学时（含实验可选学时学时（含实验可选学时 1 1） 知识点：知识点： 变量可分离的方程（含齐次方程） 线性方程 变量置换法 全微分方程 学习目标：学习目标： 1. 掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法.； 2. 会解齐次方程和贝努利方程并从中领会用变量代换求解常微分方程的思想； 3. 会解全微分方程.。 知识单元知识单元 3(ODE3):3(ODE3): 高阶常微分方程（核心）高阶常微分方程（核心） 参考学时：参考学时： 1010 学时（含实验可选学时学时（含实验可选学时 1 1） 知识点：知识点： 可降阶的高阶常微分方程