浙江省2020版高考数学专题2函数概念与基本初等函数2.8函数模型及其综合应用检测.docx

2.8函数模型及其综合应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点函数模型及其综合应用1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征.2.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题.2018浙江,11函数模型及其综合应用解二元一次方程组2014浙江,17函数模型及其综合应用三角函数模型分析解读1.函数模型及其综合应用是对考生综合能力和素质的考查,主要考查利用给定的函数模型解决简单的实际问题.2.考查函数思想方法的应用,试题从实际出发,结合三角函数、不等式、数列等知识,加大对学生应用数学知识分析和解决问题能力的考查.在高考中往往以选择题、填空题的形式出现,属中等难度题(例:2017浙江17题).3.预计函数模型及其综合应用在2020年高考中出现的可能性很大,应高度重视.破考点【考点集训】考点函数模型及其综合应用1.(2018河南商丘模拟,12)已知函数f(x)=-x3+1+a与g(x)=3ln x的图象上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是() A.0,e3-4B.0,1e3+2C.1e3+2,e3-4D.e3-4,+)答案A2.(2017江西九江七校联考,20)某店销售进价为2元/件的产品A,该店产品A每日的销售量y(单位:千件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y=10x-2+4(x-6)2,其中2x6.(1)若产品A的销售价格为4元/件,求该店每日销售产品A所获得的利润;(2)试确定产品A的销售价格,使该店每日销售产品A所获得的利润最大.(保留1位小数)解析(1)当x=4时,y=102+4(4-6)2=21,此时该店每日销售产品A所获得的利润为(4-2)21=42(千元).(2)该店每日销售产品A所获得的利润f(x)=(x-2)10x-2+4(x-6)2=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2x6),从而f (x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2x0,函数f(x)单调递增;在103,6上, f (x)0,函数f(x)单调递减.所以x=103是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点,所以当x=1033.3时,函数f(x)取得最大值.故当销售价格约为3.3元/件时,获得的利润最大.解题关键解第(2)问的关键是建立利润关于销售价格的函数,进而利用导数法确定最大值点.炼技法【方法集训】方法函数应用题的解法1.(2018福建三明期末,14)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta= (T0-Ta)12th,其中Ta称为环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88 热水冲的速溶咖啡,放在24 的房间中,如果咖啡降到40 需要20分钟,那么此杯咖啡从40 降温到32 时,还需要分钟.答案102.(2017江苏南京、盐城一模,18)如图所示,某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心,其中AE=30米.活动中心东西走向,与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下半部分是长方形ABCD,上半部分是以DC为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求,活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米,其中该太阳光线与水平线的夹角满足tan =.(1)若设计AB=18米,AD=6米,问能否保证题干中的采光要求?(2)在保证题干中的采光要求的前提下,如何设计AB与AD的长度,可使得活动中心的截面面积最大?(注:计算中取3)解析如图所示,以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.(1)因为AB=18米,AD=6米,所以半圆的圆心坐标为H(9,6),半径r=9米.设太阳光线所在直线方程为y=-x+b,即3x+4y-4b=0,则由|27+24-4b|32+42=9,解得b=24或b= (舍).故太阳光线所在直线方程为y=-x+24,令x=30,得y=,即EG=1.5米2.5米.所以此时能保证采光要求.(2)设AD=h米,AB=2r米,则半圆的圆心为H(r,h),半径为r.解法一:设太阳光线所在直线方程为y=-x+b,即3x+4y-4b=0,由|3r+4h-4b|32+42=r,解得b=h+2r或b=h-r(舍),故太阳光线所在直线方程为y=-x+h+2r,令x=30,得y=2r+h-452,由y,得h25-2r,所以S=2rh+r2=2rh+r22r(25-2r)+ r2=-r2+50r=- (r-10)2+250250,当且仅当r=10时取等号.所以当AB=20米且AD=5米时,活动中心的截面面积最大.解法二:易知当EG恰为2.5米时,活动中心的截面面积最大,此时点G的坐标为(30,2.5),设过点G的太阳光线所在直线为l1,则l1的方程为y-=- (x-30),即3x+4y-100=0.由直线l1与半圆H相切,得r=|3r+4h-100|5.而点H(r,h)在直线l1的下方,则3r+4h-1000.若对任意x-3,+), f(x)|x|恒成立,则a的取值范围是.答案18,24.(2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜时间是小时.答案245.(2014湖北,14,5分)设f(x)是定义在(0,+)上的函数,且f(x)0,对任意a0,b0,若经过点(a, f(a),(b,-f(b)的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b).例如,当f(x)=1(x0)时,可得Mf(a,b)=c=a+b2,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.(1)当f(x)=(x0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数;(2)当f(x)=(x0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数2aba+b.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)答案(1)x(2)x6.(2018江苏,17,14分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚内的地块形状为矩形ABCD,大棚内的地块形状为CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为.(1)用分别表示矩形ABCD和CDP的面积,并确定sin 的取值范围;(2)若大棚内种植甲种蔬菜,大棚内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43.求当为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.解析本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.(1)设PO的延长线交MN于H,则PHMN,所以OH=10米.过O作OEBC于E,则OEMN,所以COE=,故OE=40cos 米,EC=40sin 米,则矩形ABCD的面积为240cos (40sin +10)=800(4sin cos +cos )平方米,CDP的面积为240cos (40-40sin )=1 600(cos -sin cos )平方米.过N作GNMN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10米.令GOK=0,则sin 0=,00,蟺6.当胃0,蟺2时,才能作出满足条件的矩形ABCD,所以sin 的取值范围是14,1.答:矩形ABCD的面积为800(4sin cos +cos )平方米,CDP的面积为1 600(cos -sin cos )平方米,sin 的取值范围是14,1.(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43,所以设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k0).则年总产值为4k800(4sin cos +cos )+3k1 600(cos -sin cos )=8 000k(sin cos +cos ),胃0,蟺2.设f()=sin cos +cos ,胃0,蟺2.则f ()=cos2-sin2-sin =-(2sin2+sin -1)=-(2sin -1)(sin +1),令f ()=0,得=,当胃0,蟺6时, f ()0,所以f()为增函数;当时, f ()0,所以f()为减函数,因此,当=时, f()取到最大值.答:当=时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.名师点睛(1)用表示OE和EC,就能求出矩形ABCD及CDP的面积,求定义域时抓住N、G关于OK对称得到GOK的正弦值,从而求得sin 的取值范围.(2)先构造函数,再用导数求最值,求导时,交代的取值范围,判断f ()的符号,再确定f()的单调性,就能得到最大值,从而解决问题.C组教师专用题组考点函数模型及其综合应用1.(2015北京,8,5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是() A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油答案D2.(2014辽宁,12,5分)已知定义在0,1上的函数f(x)满足:f(0)=f(1)=0;对所有x,y0,1,且xy,有|f(x)-f(y)| |x-y|.若对所有x,y0,1,| f(x)-f(y)|k恒成立,则k的最小值为()A.B.C.12蟺D.答案B3.(2017山东理,15,5分)若函数exf(x)(e=2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.f(x)=2-xf(x)=3-xf(x)=x3f(x)=x2+2答案4.(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=ax2+b(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.解析(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=ax2+b,得a25+b=40,a400+b=2.5,解得a=1 000,b=0.(2)由(1)知,y=1 000x2(5x20),则点P的坐标为t,1 000t2,设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,y=-2 000x3,则l的方程为y-1 000t2=-2 000t3(x-t),由此得A3t2,0,B0,3 000t2.故f(t)=3t22+3 000t22=,t5,20.设g(t)=t2+,则g(t)=2t-.令g(t)=0,解得t=102.当t(5,102)时,g(t)0,g(t)是增函数.从而,当t=102时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=153.答:当t=102时,公路l的长度最短,最短长度为153千米.评析本题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用,考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.【三年模拟】一、填空题(单空题4分,多空题6分,共16分)1.(2019届镇海中学期中考试,17)设函数f(x)=若存在互不相等的4个实数x1,x2,x3,x4,使得f(x1)x1=f(x2)x2=f(x3)x3=f(x4)x4=7,则a的取值范围为.答案(6,18)2.(2018浙江重点中学12月联考,11)我国古代数学著作算法统宗中有这样一段记载:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天才到达目的地.”则该人第一天走的路程为里.答案1923.(2018浙江宁波高三上学期期末,17)如图,在平面四边形ABCD中,AB=BC=1,AD=CD=2,DAB=DCB=90,点P为AD的中点,M,N分别在线段BD,BC上,则PM+22MN的最小值为.答案14.(2018浙江嵊州高三质检,17)已知函数f(x)=x2+(a-4)x+1+|x2-ax+1|的最小值为,则实数a的值为.答案二、解答题(共20分)5.(2018浙江杭州高三5月模拟考试,18)中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一,给人以美的享受.如图为一花窗中的一部分,呈长方形,长30 cm,宽26 cm,其内部窗芯(不含长方形边框)用一种条形木料做成,由两个菱形和六根支条构成,整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称.设菱形的两条对角线长分别为x cm和y cm,窗芯所需条形木料的长度之和为L cm.(1)试用x,y表示L;(2)如果要求六根支条的长度均不小于2 cm,每个菱形的面积为130 cm2,那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料(不计卯榫及其他损耗)?解析(1)水平方向每根支条长为m=30-2x2=(15-x)cm,竖直方向每根支条长为n=26-y2=13-y2cm,菱形的一条边长为x22+y22=x2+y22 cm.所以L=2(15-x)+413-y2+8x2+y22=82+4x2+y2-2(x+y).(2)由题意得xy=130,即y=260x,由得13011x13.所以L=82+4x2+260x2-2x+260x.令t=x+260x,求导得t(x)=1-260x2.当13011x13时,t(x)0,所以L=82+4t2-520-2t在t33,37211上为增函数,故当t=33,即x=13,y=20时,L有最小值16+4569.所以做这样一个窗芯至少需要(16+4569)cm长的条形木料.6.(2018浙江镇海中学阶段性测试,20)已知函数f(x)=|x2-2mx-n|(m,nR).(1)当n=3m2时,讨论函数f(