大学物理电磁场第2章下.ppt

2.7 静电场的边界条件,1）什么是边界条件？ 为什么要了解边界条件？,不同媒质介面两侧，电场的关系称为边界条件。,媒质界面不均匀处出现束缚电荷或感应电荷，使界面两边的电场出现不连续，并使微分形式的静电场方程不能用在分界面上。因此，当讨论的区域存在两种或两种以上媒质时，就需要建立不同媒质分界面两边电场的关系的边界条件。,2）分界面两侧电位移矢量法向分量 的关系,跨分界面上取一个很小的柱形封闭面,3）分界面两侧电场强度切向分量 的关系,4）介质与介质界面的边界条件,En不连续,为什么En不连续？,界面上有束缚面电荷！,如何计算界面上的束缚面电荷,在两种介质边界上，无自由电荷,电位在两种介质界面上的边界条件为,边界条件,两种介质边界,界面上的束缚面电荷,5)导体表面(导体与介质界面)的边界条件,电场垂直于导体表面，且表面上的感应电荷面密度等于表面上的电位移矢量的大小。,对应的电位的边界条件为,常数,导体表面是等位面,例1. 两块导电平板平行放置，之间填充厚度分别为d1和d2的两层介质。两导电板间的电压为V，忽略边缘效应，求它们之间的电场及电荷分布。,解：,忽略边缘效应，,在导电板之间，电场电力线为平行的直线，方向为从正指到负，两介质中的电场分别是均匀的,正、负极板上的电荷面密度分别为,两介质界面的束缚电荷面密度为,小结,1）什么是边界条件，为什么要了解边界条件,2）分界面两侧电位移矢量法向分量的关系,3）分界面两侧电场强度切向分量的关系,4）介质与介质界面的边界条件,5) 导体表面(导体与介质界面)的边界条件,2.6 恒定电流和恒定电流场,电流密度的概念 恒定电流场方程和边界条件 恒定电场的基本计算方法 电导和接地电阻的计算,重点：,自由电荷在电场作用下做宏观定向运动形成电流，通有电流的导电媒质中的场称为电流场，当空间各点的电流密度不随时间而变时就是恒定电流场，简称恒定电场。,下 页,上 页,1.恒定电场,2.导电媒质中的恒定电场,导电媒质,超导体或理想导体,理想介质,下 页,上 页,有推动自由电荷运动的电场存在，说明E不仅存在于介质中而且存在于导体中；,恒定电场与静电场不同之处,电流恒定说明流走的自由电子被新的自由电子补充，空间电荷密度处于动态平衡，因而场分布不同于静电场；,静电场,恒定电场,下 页,上 页,导体不是等位体；,导体媒质内外伴随有磁场和温度场。,导线端面电荷引起的电场,导线侧面电荷引起的电场,所有电荷引起的电场叠加,3.导电媒质周围介质中的恒定电场,介质中的恒定电场是导电媒质中动态平衡电荷所产生的恒定场，与静电场的分布相同。,下 页,上 页,进一步理解直流电路中的有关规律；,4.研究恒定电场的意义,本章主要讨论导电媒质中的恒定电场。,注意,解决电阻的计算等实际问题；,为实验方法研究场的问题提供理论依据。,1）. 电流强度,定义：单位时间内通过某一横截面的电量。,一 电流和电流密度,A,运流电流带电粒子在真空或稀薄气体中定向 运动形 成的电流。,下 页,上 页,传导电流电子或离子在导电媒质中受电场作用而定 向运动形成的电流。,2) 电流(体)密度,空间任一点的电流密度J定义为:,单位时间垂直穿过以该点为中心的单位面积的电量，方向为正电荷在该点的运动方向,单位: A/m2,对电流分布在曲面附近很薄的一层中的情况，当不需分析计算这一薄层中的场时，可忽略薄层的厚度，将电流近似看成是面电流。面电流用面电流密度Js表示.,3)电流面密度 Js,电流,面电荷s以速度 v 运动形成的电流。,电流密度,下 页,上 页,电流面密度矢量,电流的计算,4）电流线密度,电流,en 是垂直于dl，且通过 dl 与曲面相切的单位矢量,面电荷在l曲面上以速度 v 运动形成的电流,电流线密度及其通量,下 页,上 页,电流线密度,2 导体的电导率,导电媒质中，电流密度与导体的电导率及电场强度成正比.,电导率代表了媒质的导电性能，其值愈大导电能力愈强。 不同的媒质，导电性能不同； 同一种媒质，在不同的温度、湿度等环境条件下，电导率也有区别 .,电导率的倒数就是电阻率,电导率很大的导体为良导体,银,金,铜,铝,绝缘材料的电导率很小,变压器油,玻璃,橡胶,海水,干土,理想导体,理想介质,3. 欧姆定律的微分形式,J 与 E 成正比，且方向一致。,下 页,上 页,J 与 E 之关系,欧姆定律,导体内流过的电流与导体两端的电压成正比。,设小块导体，在线性情况下,Ohms Law 微分形式,说明,上式也适用于非线性情况,4 焦尔定律的微分形式,导体有电流时，必伴随功率损耗，其功率为,下 页,上 页,J 与 E 之关系,设小块导体,功率密度,Joules Law微分形式,1. E的闭合线积分及旋度,二、 恒定电场的基本方程和边界条件,下 页,上 页,得,恒定电场是无旋场,在电流场中虽然电荷是运动的，但对于恒定电流场，电场不随时间变化，那么运动电荷在空间的分布也就不随时间变化，这种电荷称为驻立电荷。,由驻立电荷产生的恒定电场与静电场一样，也是保守场。电场强度沿任一闭合回路的线积分应等于零.,在恒定电场中,上式亦称电流连续性方程，即流进的电流等于流出的电流，电流线是闭合曲线。,故,电荷守恒原理,2. J 的闭合面积分及散度,下 页,上 页,恒定电场是无源场,恒定电场是无源无旋场，在无源区是守恒场。,3. 恒定电场（电源外）的基本方程,积分形式,微分形式,下 页,上 页,说明,4.电位方程,拉普拉斯方程,由基本方程出发, =常数,下 页,上 页,2）适用于均匀线性媒质，对于不均匀媒质要分区列方程；,注意,1）恒定电场的拉普拉斯方程适用于无源区；,3）恒定电场中没有泊松方程；,下 页,上 页,恒定电场的基本方程与电路的基本定律,恒定电场的基本方程是基尔霍夫定律的场的表示。,5.分界面上的衔接条件,说明分界面上 E 切向分量连续，J 的法向分量连续。,静电场（=0）,下 页,上 页,采用与静电场类比的方式可以方便的得到恒定电场中不同媒质分界面的衔接条件。,恒定电场（无源区）,回顾： 恒定电流场的边界条件,1）导体与理想介质的分界面,在理想介质中,介质中,导体中,1）分界面导体侧的电流一定与导体表面平行。,下 页,上 页,导体与理想介质分界面,讨论,2）导体与理想介质分界面上必有面电荷。,表明,3）电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表 面非等位面,下 页,上 页,2）不良导体与良导体的交界面。,1）不良导体中电流线与良导体界面几乎垂直。,2）良导体可以近似认为是等位体。,表明,讨论,3）可以用电流场模拟静电场。,电位的边界条件,导体-理想介质边界,一般导体-理想导体边界,例1. 在两个长为、半径分别为a、b的理想导电圆筒之间填充电导率为 的导电媒质，m和k均为常数在两理想导电圆筒之间加电压，求两理想导电圆筒之间的电阻,解:,设两理想导电圆筒之间的电流为.,在两理想导电圆筒之间的导电媒质中，任取半径为，长度为的同轴圆柱形面，,解法,例2. 已知平板电容器两导电平板面积为A，之间填充两层非理想介质，厚度分别为d1和d2与电导率分别为1和2。当两导电平板之间加电压V时，求电场强度及电容器的漏电导。,解：,解法,设导电平板之间的两层媒质中电场均为匀强场，那么由边界条件及电压关系得,2.7.2 静电场边值问题 唯一性定理,静电场的求解可分为两类：,下 页,上 页,第一类问题：场源问题,已知空间电荷分布，求电场分布,第二类问题：边值问题,已知空间介质分布，电极形状、位置和电位，场域边界上的电位或场强，这类问题归结为求解给定边界条件的电位微分方程的解。,直接求积分方程,直接求微分方程,静电场的边值问题,边值问题,场域边界条件(待讲）,分界面衔 接条件,下 页,上 页,自然边界条件 有限值,强制边界条件 有限值,场域边界条件,1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet),2）第二类边界条件（聂以曼条件 Neumann),3）第三类边界条件,已知边界上电位及电位法向导数的线性组合,已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度 或 电力线),下 页,上 页,已知边界上的电位,计算法,实验法,解析法,数值法,实测法,模拟法,边 值 问 题,下 页,上 页,试写出图示静电场的边值问题。,下 页,上 页,例,解,大地以上空间：,静电场的唯一性定理,研究给定怎样的条件静电场解是唯一的。,下 页,上 页,唯一性定理 ：,在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是唯一的。,或：方程一定，边界条件一定，解就是一定的。,唯一性定理的意义,图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？,给出了唯一确定静电场问题的解所需满足的条件。,下 页,上 页,平板电容器外加电源U0,例,可用以判断静电场问题解的正确性。,2.7.3 镜像法,镜像法是直接建立在唯一性定理基础上的一种求解静电场问题的方法。,对于一个电位的边值问题，如果在区域V中电荷分布已知，在其边界S上给定边界条件，则区域V中的电位是唯一的.,Z0区域的电位边值问题,1) 理想导电平面上方的电荷的电场,镜像电荷,感应电荷,电位的计算,例1. 用无限大的导电平面折成一直角区域，直角区有一点电荷q。求直角区域中的电位。,解:,边值问题,等效问题,=0,=0,边值问题相同,镜像法小结,镜像法的理论依据是：,镜像法的实质是：,镜像法的关键是：,镜像电荷只能放在待求场域以外的区域。,用虚设的简单分布的镜像电荷替代未知的复杂分布电荷，使计算场域为无限大均匀媒质；,静电场唯一性定理；,确定镜像电荷的个数，大小及位置以保证原场的边值问题不变；,应用镜像法解题时注意：,下 页,上 页,2.8 导体系统的电容与静电场的能量,一个半径为a,带电量为q的导体球放在介电常数 为的无限的均匀介质中,电位为,导体球的电位为,1) 均匀介质中的带电导体球,此比值与导体的大小及周围的介质有关， 对于线性介质，与电场无关，也与导体所带的电量无关,此比值越大，导体电位不变时，所带的电量越多 反映了导体的带电能力.,导体球的这一性质也可以推广到一般的导体系统中,2.8.1 电容,2) 孤立导体的电容,导体,在线性介质中，一个孤立导体的电位（电位参考点在无限远处）与导体所带的电量成正比。,导体所带的电量与其电位的比值定义为孤立导体的电容,单位为 法拉(F),孤立导体的电容与导体的几何形状、尺寸以及周围介质的特性有关，而与导体的带电量无关。,孤立导体的电容反映了在电位给定时,导体承载电荷量的能力.,3) 两导体之间的电容,导体1,导体2,在线性介质中，两个带等量异号电荷的导体之间的电位差与导体上所带的电量成正比。,导体上的带电量与两导体之间的电位差之比定义为两导体系统的电容,两导体系统的电容与两个导体的几何形状、尺寸和间距以及周围介质的特性有关，而与导体的带电量无关。,两导体的电容反映了在电压给定时,两导体承载电荷量的能力.,两导体的电容还表示两个导体的电场相互影响，或者说电耦合的程度。,电容的概念不仅适用于电容器，而且适用于任意两个导体(如两根导线)之间，以及导体和地之间。,孤立导体的电容可看成两导体系统中一个导体在无限远的情况下的电容,或导体和地之间的电容。,例1. 计算同轴形电容器的电容。,解：,设内导体上的电量为q,电容器中电量与电压的关系为,例2. 平行导电平板之间填充厚度分别为d1和d2的两层介质, 求电容。,解：,设平行导电平板之间的电压为 U,导电板上电荷密度与电压的关系,填充两层介质的的导电平板之间的电容为,2.8.2 静电场能量,当电荷放入电场中，电场就会做功使电荷位移，这说明电场具有能量。 电场越强，对电荷的力就越大，做功的能力就越强，说明电场具有的能量就越大。,1）电场能量与电荷分布的关系,本节主要分析：,2）电场能量分布与电场强度的关系,1）用场源表示静电场能量,下 页,上 页,2） 用场量表示静电能量,能量,矢量衡等式,定义能量密度,下 页,上 页,各向同性均匀媒质,适用于静电场和时变场,因 s ， 当 时，面积分为零，故,例. 计算半径为a、电荷体密度为0的均匀带电球的电场能量。,解:,由高斯定理,可求出电场强度为,积分求电位为,采用两种方法计算电场能量,1),2),) 电动势,为了维持电流流动，在正负极板之间放置外源，外源中存在对电荷有作用力的非静电力，这种外源非静电力做功反抗极板之间的静电场力，将通过导线从正极板移到负极板的正电荷再经过电源内部又移回到正极板，保持极板上的电荷密度不变，从而也就使导电媒质中的电场和电流维持恒定不变。,电动势动画,返回,这些外源是非电的能源，它们可以是化学能，如电池；也可以是机械能，如发电机等。,在电源中，外电场与极板之间电荷产生的电场刚好相反,电源做功的能力用电动势(emf)表示， 电源的电动势定义为 电源将单位正电荷从电源的负极N移到正极P所做的功,外源电场不是保守场,如果闭合回路是由n短支路串接而成,基尔霍夫电压定律,2.9 恒定电场与静电场的比拟