山西农业大学文理学院物理系.ppt

山西农业大学文理学院物理系,武秀荣 编,第二章 刚体的转动,第二章 刚体的转动,基本要求： 1掌握角位移、角速度、角加速度等概念的物理意义及角量与线量关系； 2掌握转动定律，理解转动惯量的物理意义； 3掌握角动量，冲量矩的概念及角动量原理和角动量守恒定律； 4理解力矩的功和转动动能的概念，会用转动动能定理（定轴）计算。 注：研究对象由质点变为刚体，运动由平动转动，学习时可用类比法。,特征：质点组（系统）内任两质点间距离在运动中恒不变（刚体）,故可在质点力学（牛顿运动定律）的基础上推出刚体转动的规律。,一、基本概念,刚体：物体运动时，形状大小不会改变的物体（受力、静止、运动时）,研究内容：物体（刚体）的转动（略振动）,基本方法：以质点力学为基础,将刚体看成由无数个细微部分（质点）构成的质点组（系统）,21 刚体的平动和转动（运动学）,显然刚体在平动时，在任意时间内，位移、速度、加速度对于刚体上各点来说都是相等的，故刚体可简化为质点。,1定义：若连接刚体上任意两点的直线在运动中恒不改变向。 例：火车在直线轨道上行驶,升降机运动均为平动。,刚体的平动过程,一、刚体的平动,第二章 刚体的转动,如电机的转子，车轮、砂轮、门、窗的转动。轴上点不动，其它点绕周做圆周运动。,二、刚体绕定轴转动,1定义：刚体上各质点在运动中都绕同一（不动）直线作圆周运动，这种运动称刚体的转动，这一直线称为刚体的转轴，如地球自转。 若转轴在所选参考系中位置、方向固定不变，称为定轴转动。,2特征和描述方法,特征：刚体是作为一整体转动的（除转轴外），其上每一点的半径在同一时间内转过同样大的角度，故在刚体上任取一点P，考虑P对转轴上对应点的运动（圆周运动）, 即可代表刚体的转动规律。,描述：在刚体上任取一质点P，过P点作一垂直于定轴的平面，称为转动平面，O为轴与平面交点，刚体转动时，P点在转动平面内绕O点作圆周运动，故用角量描述方便。,t内：P 点具有、，其它各点都在各自转动平面内作圆周运动，且、 、与P点对应的、相等（整体运动）,P点在t内的、即可代替刚体转动的、，这样刚体的转动就变成刚体上任一点P在其它的转动平面内绕轴的圆周运动了，有关公式可利用,（从上下俯视）,注：刚体上各质点的位移、速度，加速度不一定相等，（半径不同）。,3角速度矢量（为充分反映刚体转动情况，常用矢量表示角速度）,例题1 一飞轮转速n =1500r/min，受到制动后均匀地减速，经t=50s后静止。 （1）求角加速度 和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N ； （2）求制动开始后t=25s 时飞轮的加速度 ； （3）设飞轮的半径r=1m，求 在t=25s 时边缘上一点的速度和加速度。,解,三、举例,（1）设初角度为0方向如图所示，量值为0=21500/60=50 rad/s，对于匀变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在t=50S 时刻 =0 ，代入方程=0+t 得,从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转数N 分别为,（2）t=25s时飞轮的角速度为,的方向与0相同 ；,（3）t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度。,的方向垂直于 和 构成的平面，如图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为,由,边缘上该点的加速度 ,其中 的方向与 的方向相反， 的方向指向轴心， 的大小为,的方向几乎和 相同。,例题2 一飞轮在时间t内转过角度at+bt3-ct4 , 式中a、b、c 都是常量。求它的角速度、角加速度。,解：飞轮上某点角位置可用表示为 at+bt3-ct4 将此式对t求导数，即得飞轮角速度的表达式为,角加速度是角速度对t的导数，因此得,由此可见飞轮作的是变加速转动。,开门窗的常识告诉我们，使刚体转动，产生角加速度的大小，不仅与力有关，且与力的作用点有关，于是引入力矩概念。,二、定轴转动动力学,一、刚体平动动力学（相当于一质点，质点质量为刚体的质量）。,22 刚 体 动 力学,O 作用点矢径为 。,力矩单位：牛顿米（Nm）。,1. 力矩(对转轴),*,讨论：,理解为在作用点转动平面内的分力,（2）在定轴转动中，当规定了转动正方向时，就可用正、负表示力矩的方向，（沿轴线一维）。,（3）有几个外力同时作用在刚体上时，产生的力矩可等效为一个力矩，这个力矩称为合力矩。 即，,（平行四边形法则）,在定轴转动中，规定正方向后，方向可用正、负表示。故,合力矩等于各个力矩的代数和。,2. 刚体定轴转动定律,应用牛顿第二定律，可得：,采用自然坐标系，上式切向分量式为：,用 乘以上式左右两端：,设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将N 个方程左右相加，得：,故,由于,上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M 表示；右端求和括号内的量与转动状态无关，称为刚体转动惯量，以J 表示。于是,刚体定轴转动定律,与牛顿第二定律相比，J 与m相当，是描写物体转动惯性大小的物理量（对给定轴），称做转动惯量J ，其大小与刚体的质量、质量分布、转轴位置有关（见例题）。其计算表达式为,单位：千克米2（kgm2）。,（质量不连续分布）,讨论:,都是对同一固定轴而言，单位采用SI单位制.,M（合外力矩 ）一定，,(2）力矩的瞬时作用规律，M、同时存在,同时消失，M 是使刚体转动状态变化的根源。,（3）解题步骤：（与质点动力学类同） a.确定对象选坐标； b. 分析受力和力矩；（正负、方向） c.运用定律列方程；（牛二律、转动定律、角量与线量的关系） d.求解方程得结果。（单位统一）注意：质点平动和转动关系。,转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度和它所受的合外力矩成正比，和它的转动惯量成反比。,质元的质量,质元到转轴的距离,质量连续分布时,3. 转动惯量的计算,例题1 求质量为m、长为 l 的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量： （1）转轴通过棒的中心并和棒垂直； （2）转轴通过棒的一端并和棒垂直； （3）转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。,O,解（1）如图示，选坐标ox,在棒上离轴x 处，取一质元dm =dx；dJ=x2dx；（=m/ l）,（线分布） （面分布） （体分布）,（2）转轴通过棒的一端A和棒垂直时，,A,（3）转轴过棒上距中心为h 的点和棒垂直时，,平行轴定理,上述例题表明，同一刚体转动惯量与转轴的位置有关。,例题2 求质量为m，密度均匀,半径为R 的细圆环和圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。,(2)设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取 一半径为r、宽度为dr的环带（如图），环的 面积dS=2rdr，环的质量dm = 2rdr 。可得,解 (1)细圆环上任意处到中心转的距离 都等于R,所以,表明，转动惯量与质量分布有关。,例题3 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1 m2 如图所示。设滑轮的质量为m ，半径为r，所受的摩擦阻力矩为Mr。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。,列出方程,解:滑轮具有一定的转动惯量。在转动中受到阻力矩的作用，两边的张力不再相等。研究对象：滑轮、m1、m2；隔离物体,分析受力、力矩； Mr的指向如图所示。,可解得,式中,当不计滑轮质量