2020高考数学复习不等式、推理与证明第五节直接证明与间接证明、数学归纳法检测理新人教A版.docx

第五节 直接证明与间接证明、数学归纳法限时规范训练(限时练夯基练提能练)A级基础夯实练1.(2018广州模拟)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x2axb0没有实根B方程x2axb0至多有一个实根C方程x2axb0至多有两个实根D方程x2axb0恰好有两个实根解析：选A.因为“方程x2axb0至少有一个实根”等价于“方程x2axb0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x2axb0没有实根”2.(2018聊城模拟)在等比数列an中，a1a2a3是数列an递增的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选C.当a1a2a3时，设公比为q，由a1a1qa1q2得若a10，则1qq2，即q1，此时，显然数列an是递增数列，若a10，则1qq2，即0q1，此时，数列an也是递增数列，反之，当数列an是递增数列时，显然a1a2a3.故a1a2a3是等比数列an递增的充要条件3.(2018北京西城模拟)设a，b，c均为正实数，则三个数a，b，c()A都大于2B都小于2C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2解析：选D.因为a0，b0，c0，所以6，当且仅当abc时，等号成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.4.(2018洛阳模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，若x1x20，则f(x1)f(x2)的值()A恒为负值 B恒等于零C恒为正值 D无法确定正负解析：选A.由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1x20，可知x1x2，f(x1)f(x2)f(x2)，则f(x1)f(x2)0.5.(2018昆明模拟)若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab与ab及ab中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立其中判断正确的个数是()A0 B1C2 D3解析：选C.a、b、c是不全相等的正数，故正确；错误；对任意两个数a、b，ab与ab及ab三者必有其一正确，故正确6.(2018北京模拟)设a，bR，定义运算“”和“”如下：abab若正数a，b，c，d满足ab4，cd4，则()Aab2，cd2 Bab2，cd2Cab2，cd2 Dab2，cd2解析：选C.由题意知，运算“”为两数中取小，运算“”为两数中取大，由ab4知，正数a，b中至少有一个大于等于2.由cd4知，c，d中至少有一个小于等于2，故选C.7.(2018新余模拟)已知a，b是不相等的正数，x，y，则x、y的大小关系是_解析：x2(ab2)，y2ab(abab)(ab2)x2，又x0，y0，yx.答案：yx8.(2018烟台三模)给出下列条件：1ab；0ab1；0a1b.其中，能推出logblogalogab成立的条件的序号是_(填上所有可能的条件的序号)解析：若1ab，则1b，所以logaloga1logb，故条件不成立；若0ab1，则b1，所以logablogaloga1logb，故条件成立；若0a1b，则01，所以loga0，logab0，故条件不成立答案：9.(2019青岛期末)某同学在一次研究性学习中发现，以下5个不等关系式12；2；2；2；2.(1)上述五个式子有相同的不等关系，根据其结构特点，请你再写出一个类似的不等式(2)请写出一个更一般的不等式，使以上不等式为它的特殊情况，并证明解：(1)23(答案不唯一)(2).证明：要证原不等式成立，只需证，因为不等式两边都大于0，只需证2a322a32，只需证 ，只需证a23a2a23a，只需证20，显然成立，所以原不等式成立10.(1)设x1，y1，证明：xyxy；(2)1abc，证明：logablogbclogcalogbalogcblogac.证明：(1)由于x1，y1，所以要证明xyxy，只要证明xy(xy)1yx(xy)2，只要证明(xy)21(xy)xy(xy)0，只要证明(xy1)(xy1xy)0，只要证明(xy1)(x1)(y1)0.由于x1，y1，上式显然成立，所以原命题成立(2)设logabx，logbcy，则logca，logba，logcb，logacxy，所以要证明不等式logablogbclogcalogbalogcblogac，即证xyxy.因为cba1，所以xlogab1，ylogbc1，由(1)知所要证明的不等式成立B级能力提升练11.(2018揭阳模拟)设an是等差数列，下列结论中正确的是()A若a1a20，则a2a30B若a1a30，则a1a20C若0a1a2，则a2D若a10，则(a2a1)(a2a3)0解析：选C.设等差数列an的公差为d，若a1a20，a2a3a1da2d(a1a2)2d，由于d正负不能确定，因而a2a3符号不确定，故选项A错误；若a1a30，a1a2a1a3d(a1a3)d，由于d正负不能确定，因而a1a2符号不确定，故选项B错误；若0a1a2，可知a10，d0，a20，a30，aa1a3(a1d)2a1(a12d)d20，a2，故选项C正确；若a10，则(a2a1)(a2a3)d(d)d20，故选项D错，故选C.12.(2018金华调研)已知a，b，cR，若1且2，则下列结论成立的是()Aa，b，c同号Bb，c同号，a与它们异号Ca，c同号，b与它们异号Db，c同号，a与b，c的符号关系不确定解析：选A.由1，知与同号，若0且0，不等式2显然成立，若0且0，则0，0，22，即2，这与2矛盾，故0且0，即a，b，c同号故选A.13.(2018大连模拟)设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是_解析：若a，b，则ab1，但a1，b1，故推不出；若ab1，则ab2，故推不出：若a2，b3，则a2b22，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案：14.(2018黑龙江哈尔滨模拟)(1)当x1时，求证：2x22x2；(2)若ae，用反证法证明：函数f(x)xexax2(x0)无零点证明：(1)x1，要证2x22x，只需证2x412x3x，即证2x3(x1)x1.x1，只需证2x31.x1，2x321，故2x22x得证令x，则2()22，即2t2，则2x2，从而2x22x2.(2)假设函数f(x)xexax2(x0)有零点，则f(x)0在(0，)上有解，即a在(0，)上有解设g(x)(x0)，则导函数g(x)(x0)，当0x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0.g(x)g(x)ming(1)e，ae，但这与条件ae矛盾，故假设不成立，即原命题得证15.已知数列an的各项均为正数，bnnan(nN*)，e为自然对数的底数(1)求函数f(x)1xex的单调区间，并比较与e的大小；(2)计算，由此推测计算的公式，并给出证明解：(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1ex.当f(x)0，即x0时，f(x)单调递增；当f(x)0，即x0时，f(x)单调递减故f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0，)当x0时，f(x)f(0)0，即1xex.令x，得1e，即e.(2)1112；22(21)232；323(31)343.由此推测：(n1)n.下面用数学归纳法证明.()当n1时，左边右边2，式成立()假设当nk时，式成立，即(k1)k.当nk1时，bk1(k1)ak1，由归纳假设可得(k1)k(k1)(k2)k1.所以当nk1时，式也成立根据()()，可知式对一切正整数n都成立C级素养加强练16.(2018北京模拟)已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一轴穿过它们的圆心)，两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1，y2，y3，y4，如图所示将小圆盘逆时针旋转i(i1，2，3，4)次，每次转动90，记Ti(i1，2，3，4)为转动i次后各区域内两数乘积之积，例如T1x1y2x2y3x3y4x4y1.若x1x2x3x40，y1y2y3y40，则以下结论正确的是()AT1，T2，T3，T4中至少有一个为正