2018_2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念学案.docx

3.1.1数系的扩充和复数的概念1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.1.复数的有关概念（1）复数定义：形如abi（a，bR）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i21.表示方法：复数通常用字母z表示，即zabi（a，bR），这一表示形式叫做复数的代数形式.a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.（2）复数集定义：全体复数所成的集合叫做复数集.表示：通常用大写字母C表示.2.复数的分类（1）复数zabi（a，bR）（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系3.复数相等的充要条件设a、b、c、d都是实数，则abicdiac且bd，abi0ab0.1.数系扩充的脉络自然数系整数系有理数系实数系复数系.2.对实部和虚部的理解复数mni的实部、虚部不一定是m、n，只有当mR，nR时，m、n才是该复数的实部、虚部. 3.对复数相等的理解（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为zabi（a，bR）的形式，即分离实部和虚部.（2）只有当ac且bd的时候才有abicdi，ac和bd有一个不成立时，就有abicdi.（3）由abi0，a，bR，可得a0且b0. 判断正误（正确的打“”，错误的打“”）（1）若a，b为实数，则zabi为虚数.（）（2）复数z13i，z22i，则z1z2.（）（3）复数zbi是纯虚数.（）（4）实数集与复数集的交集是实数集.（）答案：（1）（2）（3）（4） 若全集C复数，Q有理数，P虚数，则（CQ）（CP）是（）A.CB.无理数集C.Q D.R解析：选A.在全集C中，有理数集Q的补集是虚数集P和无理数集；虚数集P的补集是实数集，所以（CQ）（CP）是全集C. 以3i的虚部为实部，以3i的实部为虚部的复数是（）A.33i B.3iC.i D.i答案：A 若（x2y）i2x13i，则实数x，y的值分别为.答案：，探究点1复数的概念下列命题：若aR，则（a1）i是纯虚数；若a，bR，且ab，则aibi；若（x24）（x23x2）i是纯虚数，则实数x2；实数集是复数集的真子集.其中正确的是（）A.B.C. D.【解析】对于复数abi（a，bR），当a0且b0时，为纯虚数.对于，若a1，则（a1）i不是纯虚数，即错误.两个虚数不能比较大小，则错误.对于，若x2，则x240，x23x20，此时（x24）（x23x2）i0，不是纯虚数，则错误.显然，正确.故选D.【答案】D（1）一个数的平方为非负数在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题，所以在判定数的性质和结论时，一定要关注在哪个数集上.（2）对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为abi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部. 1.对于复数abi（a，bR），下列说法正确的是（）A.若a0，则abi为纯虚数B.若a（b1）i32i，则a3，b2C.若b0，则abi为实数D.i的平方等于1解析：选C.对于A，当a0时，abi也可能为实数；对于B，若a（b1）i32i，则a3，b1；对于D，i的平方为1.故选C.2.若43aa2ia24ai，则实数a的值为（）A.1 B.1或4C.4 D.0或4解析：选C.易知解得a4.探究点2复数的分类学生用书P65已知mR，复数z（m22m3）i，当m为何值时，（1）z为实数？（2）z为虚数？（3）z为纯虚数？【解】（1）要使z为实数，m需满足m22m30，且有意义，即m10，解得m3.（2）要使z为虚数，m需满足m22m30，且有意义，即m10，解得m1且m3.（3）要使z为纯虚数，m需满足0，且m22m30，解得m0或2.解决复数分类问题的方法与步骤（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为abi（a，bR）的形式，以确定实部和虚部.（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可.（3）下结论：设所给复数为zabi（a，bR），z为实数b0；z为虚数b0；z为纯虚数a0且b0. 1.若复数（a23a2）（a1）i是纯虚数，则实数a的值为（）A.1B.2C.1或2 D.1解析：选B.根据复数的分类知，需满足解得即a2.2.当实数m为何值时，复数lg（m22m7）（m25m6）i是（1）纯虚数；（2）实数.解：（1）复数lg（m22m7）（m25m6）i是纯虚数，则解得m4.（2）复数lg（m22m7）（m25m6）i是实数，则解得m2或m3.探究点3复数相等（1）若（xy）yi（x1）i，求实数x，y的值；（2）已知a2（m2i）a2mi0（mR）成立，求实数a的值；（3）若关于x的方程3x2x1（10x2x2）i有实根，求实数a的值.【解】（1）由复数相等的充要条件，得解得（2）因为a，mR，所以由a2am2（2am）i0，可得解得或所以a.（3）设方程的实根为xm，则原方程可变为3m2m1（10m2m2）i，所以解得a11或.复数相等的充要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数.解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解.注意在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，dR，即当a，b，c，dR时，abicdiac且bd.若忽略前提条件，则结论不能成立. 1.复数z1（2m7）（m22）i，z2（m28）（4m3）i，mR，若z1z2，则m.解析：因为mR，z1z2，所以（2m7）（m22）i（m28）（4m3）i.由复数相等的充要条件得解得m5.答案：52.已知A1，2，a23a1（a25a6）i，B1，3，AB3，求实数a的值.解：由题意知，a23a1（a25a6）i3（aR），所以即所以a1.1.在2，i，85i，（1）i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为（）A.0B.1C.2 D.3解析：选C.i，（1）i是纯虚数，2，0.618是实数，85i是虚数.2.若复数zm21（m2m2）i为实数，则实数m的值为（）A.1 B.2C.1 D.1或2解析：选D.因为复数zm21（m2m2）i为实数，所以m2m20，解得m1或m2.3.若复数z（m1）（m29）i0，则实数m的值等于.解析：因为z0，所以解得m3.答案：34.已知（x22x3）i（xR），求x的值.解：因为xR，所以R，由复数相等的条件得：解得x3. 知识结构深化拓展虚数为什么不能比较大小？引入虚数单位i后，规定i21，但i与0的大小关系不能确定.理由如下：若i0，则2ii，两边同乘i，得2i2i2，即21，与实数系中数的大小规定相矛盾；若i0则212ii 2iiii21，与实数系中数的大小规定也是矛盾的.故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分. A基础达标1.以3i的虚部为实部，以3ii2的实部为虚部的复数是（）A.1iB.1iC.33i D.33i解析：选A.3i的虚部为1，3ii213i，其实部为1，故所求复数为1i.2.在复平面内，复数z（a22a）（a2a2）i是纯虚数，则（）A.a0或a2 B.a0C.a1且a2 D.a1或a2解析：选B.因为复数z（a22a）（a2a2）i是纯虚数，所以a22a0且a2a20，所以a0.3.若xii2y2i，x，yR，则复数xyi（）A.2i B.2iC.12i D.12i解析：选B.由i21，得xii21xi，则由题意得1xiy2i，根据复数相等的充要条件得x2，y1，故xyi2i.4.复数za2b2（a|a|）i（a，bR）为实数的充要条件是（）A.|a|b|B.a0且abD.a0解析：选D.复数z为实数的充要条件是a|a|0，即|a|a，得a0，故应选D.5.下列命题：若zabi，则仅当a0，b0时z为纯虚数；若zz0，则z1z20；若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系.其中正确命题的个数是（）A.0 B.1C.2 D.3解析：选A.在中未对zabi中a，b的取值加以限制，故错误；在中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z11，z2i，则zz110，但z1z20，故错误；在中忽视0i0，故也是错误的.故选A.6.如果x1yi与i3x为相等复数，x、y为实数，则x，y.解析：由复数相等可知所以答案：17.已知复数zm2（1i）m（mi）（mR），若z是实数，则m的值为.解析：zm2m2im2mi（m2m）i，所以m2m0，所以m0或1.答案：0或18.若复数z（sin cos 1）（sin cos ）i是纯虚数，则sin2 017cos2 017.解析：由题意得由得sin cos 1，又sin2cos21.所以或所以sin2 017cos2 017（1）2 01702 0171.答案：19.已知复数z（m25m6）（m22m15）i.（1）若复数z是实数，求实数m的值；（2）若复数z是虚数，求实数m的取值范围；（3）若复数z是纯虚数，求实数m的值；（4）若复数z是0，求实数m的值.解：（1）当m22m150时，复数z为实数，所以m5或3.（2）当m22m150时，复数z为虚数.所以m5且m3.所以实数m的取值范围为m|m5且m3.（3）当时，复数z是纯虚数，所以m2.（4）当时，复数z是0，所以m3.10.已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值.解：设（x0，y0）是方程组的实数解，由已知及复数相等的意义，得由得代入得.所以实数a，b的值分别为1，2.B能力提升11.“复数4a2（1aa2）i（aR）是纯虚数”是“a2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B.因为1aa20，所以若复数4a2（1aa2）i（aR）是纯虚数，则4a20，即a2；当a2时，4a2（1aa2）i7i为纯虚数，故选B.12.使不等式m2（m23m）i（m24m3）i10成立的实数m的取值集合是.解析：由已知，得解得m3，所以所求的实数m的取值集合是3.答案：313.已知关于x的方程x2（23i）x5mii0有实数根，求纯虚数m.解：由于m是纯虚数.设mbi（bR，且b0）.设方程的实数根为a，则代入原方程整理得（a22a5b）（13a）i0.因为a，bR，所以由复数相等的充要条件，得，解得b，所