2018_2019学年高中数学第一章计数原理学案新人教A版.docx

一计数原理1两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事，可以有n类办法在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，在第n类办法中有mn种方法完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法结论完成这件事共有Nm1m2mn种方法完成这件事共有Nm1m2mn种方法依据能否独立完成整个事件能否逐步完成整个事件2.排列数与组合数公式及性质排列与排列数组合与组合数公式排列数公式An(n1)(n2)(nm1)组合数公式C性质当mn时，A为全排列An！；0！1CC1；CC；CCC备注n，mN*且mn3.二项式定理二项式定理(ab)nCanb0Can1bCanrbrCbn(nN*)二项展开式的通项公式Tr1Canrbr，它表示第r1项二项式系数二项展开式中各项的系数为C，C，C二项式性质(1)0kn时，C与C的关系是CC；(2)各二项式系数和：CCCC2n；CCCCCC2n11“分类”与“分步”的区别(1)分类就是能“一步到位”任何一类中任何一种方法都能完成这件事情，简单地说分类的标准是“不重不漏，一步完成”(2)分步则只能“局部到位”任何一步中任何一种方法都不能完成这件事情，只能完成这件事情的某一部分，只有当各步全部完成时，这件事情才完成简单地说步与步之间的方法“相互独立，多步完成”2正确区分是组合问题还是排列问题，要把排列中的“定序”和“有序”区分开来3二项式定理的通项公式Tk1Cankbk是第k1项，而不是第k项，注意其指数规律4求二项展开式中的特殊项(如：系数最大的项、二项式系数最大的项、常数项，含某未知数的次数最高的项、有理项)时，要注意n与k的取值范围5注意区分“某项的系数”与“某项的二项式系数”，展开式中“二项式系数的和”与“各项系数的和”，“奇(偶)数项系数的和”与“奇(偶)次项系数的和”主题1计数原理的应用有红、黄、蓝旗各3面，每次升一面、二面或三面在旗杆上纵向排列表示不同的信号，顺序不同则表示不同的信号，共可以组成的信号有_种【解析】每次升1面旗可组成3种不同的信号，每次升2面旗可组成339种不同的信号，每次升3面旗可组成33327种不同的信号根据分类加法计数原理，共可组成392739种不同的信号【答案】39使用两个原理应注意的问题(1)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰(2)当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步 5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有一个球，若甲球必须放入A盒，则不同的放法种数是_解析：将甲球放入A盒后分两类，一类是除甲球外，A盒还放其他球，共A24(种)，另一类是A盒中只有甲球，则其他4个球放入另外的三个盒中，有CA36(种)故总的放法为243660(种)答案：60主题2排列组合的综合应用(1)(2017高考全国卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A12种B18种C24种 D36种(2)有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中小明必须站在正中间，并且小李、小张两位同学要站在一起，则不同的站法有()A192种 B120种C96种 D48种【解析】(1)法一：把4项工作分成3份(将2份工作看成一个元素)有C种方法；3份工作由3名志愿者完成的方法有A种，故不同的安排方式共有CA6636(种)选D.法二：因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作先把4项工作分成3组，即2，1，1，有6种，再分配给3个人，有A6种，所以不同的安排方式共有6636(种)(2)不妨令小李、小张在小明左侧，先排小李、小张两人，有A种站法，再取一人站左侧有CA种站法，余下三人站右侧，有A种站法，考虑到小李、小张在小明右侧的站法同在小明左侧的站法一致，故总的站法种数是2ACAA192.【答案】(1)D(2)A(1)排列、组合应用题的解题策略在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关 (2)解决排列组合应用题的常用方法合理分类，准确分步；特殊优先，一般在后；先取后排，间接排除；集团捆绑，间隔插空；抽象问题，构造模型；均分除序，定序除序注意对于排列、组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列，即一般策略为先组合后排列分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准1.有5盆各不相同的菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是()A12 B24C36 D48解析：选B.2盆黄菊花捆绑作为一个元素与1盆红菊花排列，2盆白菊花采用插空法，所以这5盆花的不同摆放共有AAA24种2从5名学生中选出4名分别参加A，B，C，D四科竞赛，其中甲不能参加C，D两科竞赛，则不同的参赛方案种数为()A24 B48C72 D120解析：选C.分为以下几步：(1)选人：先从5人中选出4人，分为两种情况：有甲参加和无甲参加有甲参加时，选法有C4(种)；无甲参加时，选法有C1(种)(2)安排科目：有甲参加时，先排甲，再排其他人，排法有AA12(种)；无甲参加时，排法有A24(种)由分步乘法计数原理，不同的参赛方案种数为41212472.主题3二项式定理及应用已知二项式展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍(1)求n；(2)求展开式中二项式系数最大的项；(3)求展开式中所有x的有理项；【解】(1)令x1得二项式展开式中各项系数之和为(51)n4n，各项二项式系数之和为2n，由题意得，4n162n，所以2n16，n4.(2)通项Tr1C(5x)4r(1)rC54rx4r展开式中二项式系数最大的项是第3项：T3(1)2C52x150x.(3)由(2)得：4rZ(r0，1，2，3，4)，即r0，2，4，所以展开式中所有x的有理项为：T1(1)0C54x4625x4，T3(1)2C52x150x，T5(1)4C50x2x2.二项式定理的问题类型及解答策略(1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素(2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项(3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定系数，然后代入通项公式求出此项的系数(4)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质 1.已知的展开式中含x的项的系数为30，则a()A. BC6 D6解析：选D.Tr1C()5rrC(a)rx，由，解得r1.由C(a)30，得a6.2(2017高考全国卷)(1x)6展开式中x2的系数为()A15 B20C30 D35解析：选C.(1x)6展开式的通项Tr1Cxr，所以(1x)6的展开式中x2的系数为1C1C30，故选C.3.的展开式中的常数项为()A32 B34C36 D38解析：选D.的展开式的通项为Tm1C(x3)4mC(2)mx124m，令124m0，解得m3，的展开式的通项为Tn1Cx8nCx82n，令82n0，解得n4，所以所求常数项为C(2)3C38.主题4二项式定理中的赋值问题若(x23x2)5a0a1xa2x2a10x10.(1)求a2；(2)求a1a2a10；(3)求(a0a2a4a10)2(a1a3a7a9)2.【解】(1)(x23x2)5(x1)5(x2)5，a2是展开式中x2的系数，所以a2C(1)5C(2)3C(1)4C(2)4C(1)3C(2)5800.(2)令x1，代入已知式可得：a0a1a2a100，而令x0得：a032，所以a1a2a1032.(3)令x1可得：(a0a2a4a10)(a1a3a7a9)65，再由(a0a2a4a10)(a1a3a7a9)0，把这两个等式相乘可得：(a0a2a4a10)2(a1a3a7a9)26500. 赋值法的应用(1)解决的问题：与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和(2)应用技巧：通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果注意求各项系数的绝对值的和时，要先根据绝对值里面数的符号赋值求解 若(x1)5a0a1(x1)a2(x1)2a5(x1)5，则a0()A1 B32C1 D32解析：选B.令x1，则(11)5a0，所以a032.A基础达标15位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A10种 B20种C25种 D32种解析：选D.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有2532种，选D.2从甲、乙、丙、丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，则不同的参赛方案共有()A24种 B18种C21种 D9种解析：选B.从除甲外的乙、丙、丁三名同学中选出2人，有C种选法，再将3人安排到3个科目，有A种，故共有CA18(种)3设二项式()n的展开式各项系数的和为a，所有二项式系数的和为b，若a2b80，则n的值为()A8 B4C3 D2解析：选C.由题意a4n，b2n，因为a2b80，所以4n22n800，即(2n)222n800，解得n3.4已知adx，则展开式中的常数项为()A20 B20C15 D15解析：选B.因为adxln x|1，所以.展开式的通项公式为Tr1Cx6r(1)rxr(1)rCx62r.令62r0，可得r3，所以展开式中的常数项为C20.5将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有()A10种 B20种C36种 D52种解析：选A.分为两类：1号盒子放入1个球，2号盒子放入3个球，有C4种放球方法；1号盒子放入2个球，2号盒子放入2个球，有C6种放球方法所以共有CC10种不同的放球方法6将5名学生分到A，B，C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不分到A宿舍的不同分法有_种解析：利用分类加法计数原理，第一类，甲一个人住在一个宿舍时有CC12种，每二类，当甲与另一个一起时有CCCA48种，所以共有124860(种)答案：607农科院小李在做某项试验中，计划从花生、大白菜、大豆、玉米、小麦、高粱这6种种子中选出4种，分别种植在4块不同的空地上(1块空地只能种1种作物)，若小李已决定在第1块空地上种玉米或高粱，则不同的种植方案有_种(用数字作答)解析：由已知条件可得第1块地有C种种植方法，则第24块地共有A种种植方法，由分步乘法计数原理可得，不同的种植方案有CA120种答案：1208已知(1mx)6a0a1xa2x2a6x6，若a1a2a663，则实数m_解析：由题设知，a01，令x1，得a0a1a2a6(1m)6，即(1m)664，故1m2，m1或3.答案：1或39在二项式(12x)9的展开式中(1)求展开式中的第四项；(2)求展开式中的常数项解：(1)在二项式(12x)9的展开式中，展开式的第四项为T4C(2x)3672x3.(2)二项式(12x)9的展开式的通项公式为Tr1C(2x)r，由r0，可得常数项为1.10有4个不同的球，把球全部放入4个不同的盒子内(1)共有多少种放法？(2)若恰有1个盒子不放球，有多少种放法？解：(1)一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有44256种(2)“恰有1个盒内放2球”与“恰有1个盒子不放球”是一回事选择一个盒子放2个球，有CC，选择2个盒子各放一个球的方法数为A，共有CCA144种放法B能力提升11把座位编号为1，2，3，4，5，6的6张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号的，那么不同分法种数为()A240 B144C196 D288解析：选B.根据题意，分2步进行分析：先将票分为符合条件的4份；由题意，4人分6张票，且每人至少一张，至多两张，则两人一张，2人2张，且分得的票必须是连号的，相当于将1、2、3、4、5、6这六个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号，易得在5个空位插3个板子，共有C10种情况，但其中有4种是1人3张票的，故有1046种情况符合题意，将分好的4份对应到4个人，进行全排列即可，有A24种情况；则有624144种情况12现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有_种(用数字作答)解析：第一类，把甲乙看作一个复合元素，和另外的3人分配到3个小组中，CA18种第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲乙分配到其中2个小组，AA36种，根据分类加法计数原理可得，共有361854(种)答案：5413二项式的展开式中：(1