高中数学2-4-2抛物线的简单几何性质.ppt

掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用 掌握直线与抛物线位置关系的判断,2.4.2 抛物线的简单几何性质,【课标要求】,【核心扫描】,会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合问题(重点) 直线与抛物线的位置关系的应用(难点),1,2,1,2,抛物线的几何性质,自学导引,1,续表,y0，,y0，,x轴,y轴,原点(0，0),e1,xR,xR,想一想：抛物线x22py(p0)有几条对称轴？是否是中心对称图形？ 提示 有一条对称轴即y轴，不是中心对称图形 焦半径与焦点弦 抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦，设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦，焦半径公式为,2,试一试：通过焦点垂直于对称轴的抛物线的弦叫通径，试求抛物线y22px的通径的长度 提示 通径的长度为2p.,抛物线与双曲线的区别 (1)抛物线的几何性质和双曲线的几何性质比较起来，差别较大，它的离心率为1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，它没有对称中心 (2)抛物线与双曲线的一支，尽管它们都是不封闭的有开口的光滑曲线，但是它们的图象性质是完全不同的事实上，从开口的变化规律来看，双曲线的开口是越来越阔，而抛物线开口越来越趋于扁平,名师点睛,1,抛物线的焦点弦 如图，AB是抛物线y22px(p0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l. (1)以AB为直径的圆必与准线l相切；,2,直线与抛物线的位置关系 设直线l：ykxm，抛物线：y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2bxc0的形式， (1)若a0，直线与抛物线有一个公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件 (2)若a0， 当0时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当0时，直线与抛物线相切，有一个公共点； 当0时，直线与抛物线相离，无公共点,3,题型一 抛物线几何性质的应用,思路探索 可先利用双曲线的右顶点求出抛物线的焦点，再求出参数p，写出抛物线的方程,【例1】,规律方法 根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，需要确定对称轴和开口方向以及一个待定系数p，即先定型，再定量，必要时结合图形,抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x24y236短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程,【变式1】,求过点P(0，1)且与抛物线y22x只有一个公共点的直线方程 思路探索 借助图形讨论直线斜率不存在、为0或不为0三种情况 解 (1)若直线斜率不存在，则过P(0，1)的直线方程为x0.直线x0与抛物线只有一个公共点,题型二 直线与抛物线的位置关系,【例2】,规律方法 要判断直线与抛物线的位置关系，通常是通过讨论直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的情况来判断，对于直线与抛物线只有一个公共点的情况，应特别注意平行于抛物线对称轴的直线与抛物线只有一个公共点，但它不是切线，不能用0求解，此时应分类讨论,已知抛物线y26x，过点P(4，1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|. 解 设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) P1，P2在抛物线上，y126x1，y226x2. 两式相减，得(y1y2)(y1y2)6(x1x2),【变式2】,(12分)已知A、B是抛物线y22px(p0)上的两点，并满足OAOB，求证： (1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别都是一个定值； (2)直线AB经过一个定点,题型三 抛物线中的定值、定点问题,【例3】,b22pb0， b2p0，b2p. 8分 y1y24p2，x1x2b24p2 所以A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别是4p2和4p2； 10分 (2)AB方程为myx2p，所以AB过定点(2p，0). 12分,【题后反思】 在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值，过定点的问题，解决这类问题的方法有很多，例如斜率法、方程法、向量法、参数法等解决这类问题的关键是代换和转化有时利用数形结合思想能达到避繁就简、化难为易、事半功倍的效果,如图，过抛物线y2x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值,【变式3】,证明 设kABk(k0)， 直线AB，AC的倾斜角互补， kACk(k0)， AB的方程是yk(x4)2.,高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，是思维的一种“放养”形式,方法技巧 探索性问题的求解策略,思路分析 (1)将点A代入y22px，求出p值可得抛物线方程； (2)直线方程与抛物线方程联立，注意判别式的限制作用,【示例】,解 (1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p1，p2， 故所求的抛物线方程为y24x， 其准线方程为x1； (2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt，,方法点评 解