广东省惠州市2019届高三数学第三次调研考试试题理（含解析）.docx

惠州市2019届高三第三次调研考试理科数学注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、选择题： 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简集合A，然后求并集即可.【详解】集合A=x|x2+x20=x|2x1，B=x|x0，集合AB=x|x2故选：B【点睛】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意利用数轴求集合间的交并补2.若复数满足，则在复平面内，所对应的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】先求出复数Z,即得z所对应的点在第几象限.【详解】由题得z=,所以复数z对应的点为（-1,1），所以复数z对应的点在第二象限.故答案为：B【点睛】本题主要考查复数的计算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.3.若、满足约束条件，则的最大值为（ ）A. 2 B. 6 C. 7 D. 8【答案】C【解析】分析：作出可行域，研究目标函数的几何意义可知，当时目标函数取得最大值为.详解：作出可行域，如下图中的阴影部分，易知目标函数中的值随直线向上平移而增大，过点时取得最大值为，故选C.点睛：将目标函数转化为直线的斜截式方程，当截距取得最大值时，取得最大值；当截距取得最小值时，取得最小值.4.两个正数、的等差中项是，一个等比中项是，且，则双曲线的离心率等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】要求双曲线的离心率，得求 ，由和已知中的两个 与的关系，即可求出。【详解】由题意可得：，结合，解方程组可得：，则双曲线中：.故选A【点睛】本题考查了基本的等差中项、等比中项概念、双曲线的离心率及的关系。5.已知函数与互为反函数，函数的图象与的图象关于轴对称，若，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据反函数的定义，求出函数，又根据函数关于轴对称得，即可求出答案.【详解】函数与互为反函数，函数，函数的图象与的图象关于轴对称，函数 ，即 故选D.【点睛】本题考查反函数的求法，考查函数对称关系以及函数求值，是基础计算题.6.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）（参考数据： ）A. 48 B. 36 C. 24 D. 12【答案】C【解析】【分析】由开始，按照框图，依次求出s，进行判断。【详解】 ，故选C.【点睛】框图问题，依据框图结构，依次准确求出数值，进行判断，是解题关键。7.已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将直线用点斜式表示出来，再由直线与圆有两个交点，就是圆心到直线的距离小于半径，从而限定斜率k的取值范围。【详解】直线为，又直线与圆有两个交点，故，故选B【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系。判断位置关系有两种方法，一种是几何法，用圆心到直线的距离与半径比较，距离大于半径是相离，距离等于半径是相切，距离小于半径是相交，还有一种方法，就是将直线与圆的方程联立，代入消元，得到关于另一元的二次方程，利用判断，是相交，是相切，是相离，。8.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何的体积为（ ）立方单位。A. B. C. D. 【答案】D【解析】由三视图可知几何体是由一个四棱锥和半个圆柱组合而成的，所以所求的体积为，故选D.9.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上两点，则的中点到准线的距离为（ ）A. B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出M、N的中点横坐标,求出线段MN的中点到该抛物线准线的距离.【详解】由题意，是抛物线的焦点，所以，准线方程为，设，所以，解得，所以线段的中点的横坐标为，所以线段的中点到该抛物线的准线的距离为，故选C【点睛】本题考查解决拋物线上的点到焦点的距离问题,利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离.10.在中，点是上一点，且，为上一点，向量，则的最小值为（ ）A. 16 B. 8 C. 4 D. 2【答案】A【解析】【分析】由题意结合三点共线的性质首先得到的关系，然后结合均值不等式的结论求解的最小值即可.【详解】由题意可知：，其中B,P,D三点共线，由三点共线的充分必要条件可得：，则：，当且仅当时等号成立，即的最小值为16.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.函数在内的值域为，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先将转化为正弦型或余弦型函数，再由自变量的取值范围和值域限定的取值范围。【详解】函数当时，则解得，故的取值范围为。故选【点睛】本题考查了由正弦型函数或余弦型函数的值域限定参数取值范围的问题，其中要结合图像限定的范围。12.已知偶函数满足且，当时,，关于的不等式在上有且只有200个整数解，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】判断f（x）在（0，8）上的单调性，根据对称性得出不等式在一个周期（0，8）内有4个整数解，再根据对称性得出不等式在（0，4）上有2个整数解，从而得出a的范围【详解】当0x4时，f（x）=，令f（x）=0得x=，f（x）在（0，）上单调递增，在（，4）上单调递减，f（x）是偶函数，f（x+4）=f（4x）=f（x4），f（x）的周期为8，f（x）是偶函数，且不等式f2（x）+af（x）0在200，200上有且只有200个整数解，不等式在（0，200）内有100个整数解，f（x）在（0，200）内有25个周期，f（x）在一个周期（0，8）内有4个整数解，（1）若a0，由f2（x）+af（x）0，可得f（x）0或f（x）a，显然f（x）0在一个周期（0，8）内有7个整数解，不符合题意；（2）若a0，由f2（x）+af（x）0，可得f（x）0或f（x）a，显然f（x）0在区间（0，8）上无解，f（x）a在（0，8）上有4个整数解，f（x）在（0，8）上关于直线x=4对称，f（x）在（0，4）上有2个整数解，f（1）=ln2，f（2）=ln2，f（3）=，f（x）a在（0，4）上的整数解为x=1，x=2aln2，解得ln2a故答案为：D【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查函数的图像和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.（2）解答本题的关键有两点，其一是分析出函数f(x)的周期性和对称性，f（x）在一个周期（0，8）内有4个整数解.其二是对a分类讨论，得到a的取值范围.二填空题.13.已知，则_。【答案】【解析】【分析】由已知求，再利用和角正切公式，求得，【详解】因为所以cos因此.【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系式与和角的正切公式。14.如图，在平面四边形中，是等边三角形，则的值为_。【答案】1【解析】【分析】将用彼此平行或垂直，并且知道大小的向量来表示，即=，=+，再求。【详解】ABBC，AB=，BC=1，AC=2，BCA=；又ACD是等边三角形，AD=AC=2，ADAB，=（+）=+=+12=1【点睛】本题考查了向量的数量积运算，本题的关键是两个向量如何表示，才能方便运算。15.已知四棱锥的顶点都在半径为1的球面上，底面是正方形，且底面经过球心，是的中点，底面，则该四棱锥的体积等于_立方单位。【答案】【解析】画出如下图形，连接，则，又， 答案：16.已知数列满足，且，记为数列的前项和，则_。【答案】304【解析】【分析】由nan+1=（n+1）an+n（n+1），变形为=1，利用等差数列的通项公式可得：，可得an由bn=ancos=，对n分类讨论利用三角函数的周期性即可得出【详解】，数列是公差与首项都为1的等差数列，可得，令，则，同理可得，则故答案为：304【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、递推关系、三角函数的周期性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.在中，角、所对的边分别是、，为其面积，若（1）求角的大小；（2）设的角平分线交于，求的值。【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理可得，代入题中条件即可得解；（2）在中,由正弦定理得，从而得，可得，再由代入即可得解.【详解】（1）由得 得 （2）在中,由正弦定理得所以 所以 所以 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角恒等变换求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.已知公差为正数的等差数列的前项和为，且，,数列的前项和。（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1），.（2）【解析】【分析】等差数列，求出首项和公差，再求通项公式。利用前项和减去前项和求通项公式。的前项和常用错位相减的方法求得。【详解】（1）由题意知， ， 又公差为正数，故，,， ，由得当， 当时， 综上得 （2）由（1）知解法1（错位相减法）得解法2（待定系数法）设由，得解得所以解法3（分合法） 化简得【点睛】在（2）问题中，看到通项公式为等差型乘以等比型的数列，最常用错位相减的方法求前n项和，这是求和的基本方法之一。19.在四棱锥中，侧面底面，底面为直角梯形，为的中点，为的中点。（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值。【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）利用面外线与面内线平行证明面外线平行于平面。（2）建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量的夹角余弦值，来求二面角的平面角的余弦值，或用几何法找到二面角的平面角来求余弦值。【详解】（1）连接交于，并连接，为中点，且，四边形为平行四边形， 为中点，又为中点， 平面，平面，平面.（2）解法1（向量法）连接，由E为AD的中点及，得则，侧面底面，且交于，面，如图所示，以E为原点，EA、EB、EP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则，C.为的中点，F， 设平面EBF法向量为，则,取,平面EBA法向量可取：,设二面角F-BE-A的大小为，显然为钝角，, 二面角F-BE-A的余弦值为（2）解法2（几何法1）连接，由E为AD的中点及，得，取中点，连，侧面底面，且交于，面 面 面 为的中点，为的中点，MEA为二面角F-BE-A的平面角在中，在中，由余弦定理得在中，由余弦定理得cosMEA，所以二面角F-BE-A的余弦值为.（2）解法3（几何法2）连接，由E为AD的中点及，得侧面底面，面， ，连交于点，则为中点，连，为的中点，面， 又， FNQ为二面角F-BE-A的平面角的补角在中， 由勾股定理得cosFNQ，所以二面角F-BE-A的余弦值为.【点睛】本题考查了线面平行的判定和二面角余弦值的求法这两个基本题型。证明线面平行常用线线平行的方法，关键是能在平面内找到与面外线平行的直线。当看到中点时，多往中位线方面考虑，这是找平行线的常用技巧。求二面角的平面角的余弦值首选空间向量的方法，简单，除非二面角的平面角非常好找，并且很好求。20.已知椭圆过点，且左焦点与抛物线的焦点重合。（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点、，线段的中点记为，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）由左焦点与抛物线的焦点重合，可以求得c,再利用椭圆过点求得、，从而求出椭圆方程。（2）由直线与椭圆交于不同的两点，可以由 得到k与m的不等关系，再由AG直线与直线垂直，斜率乘积为-1，得到k与m的等量关系，将等量关系代入不等关系来限定k的取值范围。【详解】（1）解法1抛物线的焦点为F（-1,0），依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为，又椭圆过点，由椭圆的定义知， ，又，椭圆的方程为 （1）解法2抛物线的焦点为F（-1,0），依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为，又椭圆过点， 解得，椭圆的方程为 （1）解法3抛物线的焦点为F（-1,0），依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为，又椭圆过点， ， 可解得，椭圆的方程为 （2）解法1由消去整理得， 直线与椭圆交于不同的两点，整理得设，线段的中点A，则， ，点A的坐标为， 直线AG的斜率为，又直线AG和直线MN垂直，将上式代入式，可得，整理得，解得 实数的取值范围为（2）解法2设则 两式相减得 即 点满足方程 . 又直线且过点点也满足方程 联立解得，即 点在椭圆内部 的取值范围为【点睛】求参数取值范围的问题，找到限定参数的不等关系式是解题的关键。本题由 得到k与m的不等关系就是关键，进由AG直线与直线垂直得到k与m的等量关系，代入来限定k的取值范围，本题也可以看到中点弦就用点差法解决。21.设函数（1）当曲线在点处的切线与直线垂直时，求实数的值；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围。【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，得到关于a的方程，解出即可；（2）方程恰有两个不相等的正实根，即方程恰有两个不相等的正实根. 设函数，根据单调性即可进行求解.试题解析：由题意知，函数的定义域为， ，解得.（2）若函数有两个零点，则方程恰有两个不相等的正实根，即方程恰有两个不相等的正实根.设函数， .当时， 恒成立，则函数在上是增函数，函数最多一个零点，不合题意，舍去；当时，令，解得，令，解得，则函数在内单调递减，在上单调递增.易知时， 恒成立，要使函数有2个正零点，则的最小值，即，即，解得，即实数的取值范围为.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点是曲线上的动点，求点到曲线的最小距离【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1) 曲线C1的参数方程消去参数，能求出曲线C1的普通方程，曲线C2的极坐标方程利用，能求出曲线C2的直角坐标方程；(2) 设点的坐标为，利用点到直线的距离表示点到曲线的最小距离，结合三角函数的