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二次函数在闭区间上的最值问题,练习:已知函数f(x)= x2 2x 3 (1)若x2,0,求函数f(x)的最值; (2)若x 2,4 ,求函数f(x)的最值; (3)若x ,求函数f(x)的最值;,(4)若x ,求函数f(x)的最值;,练习:已知函数f(x)= x22x 3. (1)若x 2,0 , 求函数f(x)的最值;,解:画出函数在定义域内的图像如图,对称轴为直线x=1 由图知,y=f(x)在 2,0 上为减函数,故x=-2时有最大值f(-2)=5 x=0时有最小值f(0)=-3,例1、已知函数f(x)= x2 2x 3. (1)若x 2,0 ,求函数f(x)的最值;,(2)若x 2,4 ,求函数f(x)的最值;,解:画出函数在定义域内的图像如图,对称轴为直线x=1 由图知,y=f(x)在 2,4 上为增函数,故x=4时有最大值f(4)=5 x=2时有最小值f(2)=-3,例1、已知函数f(x)= x2 2x 3. (1)若x 2,0,求函数f(x)的最值; (2)若x 2,4,求函数f(x)的最值;,(3)若x ,求函数f(x)的最值;,解:画出函数在定义域内的图像如图,对称轴为直线x=1,由图知,,x= 时有最大值 x=1时有最小值f(1)=-4,例1、已知函数f(x)= x2 2x 3 (1)若x2,0,求函数f(x)的最值; (2)若x 2,4 ,求函数f(x)的最值; (3)若x ,求函数f(x)的最值;,(4)若x ,求函数f(x)的最值;,解:画出函数在定义域内的图像如图,对称轴为直线x=1,由图知,,x= 时有最大值 x=1时有最小值f(1)=-4,例1、已知函数f(x)= x2 2x 3,(4)x ,(1)x2,0,(2)x 2,4 ,(3)x ,思考:通过以上几题,你发现二次函数在区间m,n上的最值通常在哪里取到?,总结:求二次函数f(x)=ax2+bx+c在m,n上 上的最值或值域的一般方法是:,(2)当x0m,n时,f(m)、f(n)、f(x0) 中的较大者是最大值,较小者是最小值;,(1)检查x0= 是否属于 m,n;,(3)当x0 m,n时,f(m)、f(n)中的较大 者是最大值,较小者是最小值.,考点二 二次函数的图象与性质(高频考点),练习求函数y=x2+2x+3 在x -2,2时的 最值?,二次函数在闭区间上的最值问题 动轴定区间、动区间定轴,B,思考:如何 求函数y=x2-2x-3在xk,k+2时的最值?,解析:,因为函数 y=x2-2x-3=(x-1)2-4的对称 轴为 x=1 固定不变,要求函数的最值, 即要看区间k,k+2与对称轴 x=1的位 置,则从以下几个方面解决如图:,例: 求函数y=x2-2x-3在xk,k+2时的最值,当k+21即k -1时,f(x)min=f(k+2)=(k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3,f(x)max=f(k)=k2-2k-3,当 k 1 k+2 时 即-1 k 1时,f(x)min=f(1)=- 4,当f(k)f(k+2)时, 即k2-2k-3 k2+2k-3 即-1k0时,f(x)max=f(k)=k2-2k-3,当f(k) f(k+2)时, 即k2-2k-3 k2+2k-3 即0 k1时,f(x)max=f(k+2)=(k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3,当k 1 时,f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3,f(x) min=f(k)=k2-2k-3,例: 求函数y=x2-2x-3在xk,k+2时的最值,当k -1时,当-1k 0时,f(x)max=f(k)=k2-2k-3,当0 k1时,f(x)max=f(k+2)=k2+2k-3,f(x)min=f(1)=- 4,f(x)min=f(1)=- 4,f(x)min=f(k+2)=k2+2k-3,f(x)max=f(k)=k2-2k-3,当k 1 时,f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3,f(x) min=f(k)=k2-2k-3,例: 求函数y=x2-2x-3在xk,k+2时的最值,评注:例1属于“轴定区间动”的问题,看作动区间沿x轴移动的过程中,函数最值的变化,即动区间在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化,要注意开口方向及端点情况。,练习:若x ,求函数 y =x2+ax+3的最小值:,练习:若x ,求函数 y =x2+ax+3的最小值:,练习:若x ,求函数 y =x2+ax+3的最小值:,例2:若x ,求函数 y =x2+ax+3的最小值:,当 即a 2时,解:,例3:若x ,求函数 y =x2+ax+3的最小值:,(2)当 即-2 a2时,y的最小值为 f( )=,例2:若x ,求函数 y =x2+ax+3的最小值:,(3)当 即a-2时,函数在-1,1上是减函数,练习:若x ,求函数 y =x2+ax+3的最小值:,当a-2时,f(x)min=f(1)=4+a,当-2a2时,当a2时,f(x)min=f(-1)=4-a,练习:若x ,求函数 y =x2+ax+3的最小值:,评注:此题属于“轴动区间定”的问题,看作对称轴沿x轴移动的过程中,函数最值的变化,即对称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定区间上变化情况,要注意开口方向及端点情况。,练习:已知x2+2x+a4在x 0,2上恒成立,求a的值。,解:令f(x)=x2+2x+a 它的对称轴为x=1,,f(x)在0,2上单调递增,,f(x)的最小值为f(0)=a,即a 4,课堂小结,1.闭区间上的二次函
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