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无穷是一个永恒的谜 Hilbert,第五节 无穷小和无穷大,(一) 无穷小 (二) 无穷大 (三) 二者关系 (四)无穷小的阶,一、无穷小,定义1:在自变量的某种趋势下,以零为极限的函数(变量)称为无穷小量,简称无穷小.,例如:,注意,(1)无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,(3)零是可以作为无穷小的唯一的数.,(2)无穷小是变量的一种变化趋势;,例如,证,2、无穷小与函数极限的关系:,意义,(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小);,3、无穷小的运算性质:,定理2 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论1 在同一过程中, 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数(有界量)与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,注意 无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小.,二、无穷大,特殊情形:正无穷大,负无穷大,证,证,注意,(1)无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,(3)无穷大是一种特殊的无界变量, 但是无界变量未必是无穷大.,是无界变量, 但不是无穷大量,三、无穷小与无穷大的关系,定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,意义 关于无穷大的讨论, 都可归结为关于无穷小的讨论.,四、无穷小的阶及其比较,例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,比较,定义:,例如,,例4,解,?是不是任意两个无穷小 都可以进行阶的比较,不存在且不为无穷大,意义:用等价无穷小可给出函数的近似表达式,例如,常用等价无穷小:,例5,解,小结,1、主要内容:,定义;定理;推论.,2、几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,(1) 无穷小(大)是变量,不能与很小(大)的数混淆, 零是唯一的无穷小的数;,(2)无穷多个无穷小的代数和(乘积)未必是无穷小;,(3) 无界变量未必是无穷大.,3、无穷小的比较,反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.,高(低)阶无穷小; 同阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
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