高等数学课件4-4有理函数的积分.ppt

,$4几种特殊函数的积分,2,有理函数的定义：,两个多项式的商表示的函数称之,一、有理函数的积分 Integration of rational function,$4几种特殊函数的积分,3,假定分子与分母之间没有公因式,这有理函数是真分式 ; Proper fraction ；,这有理函数是假分式;Improper fraction ；,利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,例,-4,-2x+9,如同,23,5,20,3,4,有理函数的积分就化为如何 求真分式的积分,$4几种特殊函数的积分,4,（1）分母中若有因式 ，则分解后为,有理函数化为部分分式之和的一般规律：,特殊地：Specially ：,分解后为,难点 Difficult point,将有理函数化为部分分式之和.,$4几种特殊函数的积分,5,特殊地：Specially ：,分解后为,$4几种特殊函数的积分,6,分解定理：,设多项式,$4几种特殊函数的积分,7,$4几种特殊函数的积分,8,最简分式的积分有两类：,积分为对数函数或有理真分式。,积分为真分式、对数、反正切函数。,由分解定理知道，只要会求最简分式（都可积） 的积分即可。,$4几种特殊函数的积分,9,例 Example 1,例 Example 2,解,解,$4几种特殊函数的积分,10,例 Example 3 （99硕士入学理工数学二）,例 Example 4,由P258,例9,$4几种特殊函数的积分,11,例 Example 5,将下列真分式化为部分分式之和：,解 由分解定理,通分比较两端分子同次幂系数即可求得,$4几种特殊函数的积分,12,例 Example 6（P262例1）,解1 （待定系数法）,（1）,$4几种特殊函数的积分,13,解2 （观察法）,由分解定理应为,(x-2),- (x-3),求A、B还可用下面方法：,在恒等式,（1）中,令 x=2, 得 A=-5,令 x=3, 得 B=6,6,5,$4几种特殊函数的积分,14,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将 值代入,例 Example 7 (P263例2）,解,$4几种特殊函数的积分,15,求积分,$4几种特殊函数的积分,16,例 Example 8(P264例4）,整理得,解,$4几种特殊函数的积分,17,求积分,$4几种特殊函数的积分,18,例9. 观察法练习：,2 3,$4几种特殊函数的积分,19,例 Example 10 求积分,解,令,$4几种特殊函数的积分,20,$4几种特殊函数的积分,21,说明Directions,将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：,多项式；,讨论积分Discuss the integral,令,$4几种特殊函数的积分,22,则,记 Write,$4几种特殊函数的积分,23,这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.,结论Conclusion,有理函数的原函数都是初等函数.,$4几种特殊函数的积分,24,三角有理式的定义：Definition of trigonometric rational function,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,二、三角函数有理式的积分Integration of trigonometric rational function,$4几种特殊函数的积分,25,（万能置换公式）,$4几种特殊函数的积分,26,例11 求积分,解,由万能置换公式,$4几种特殊函数的积分,27,$4几种特殊函数的积分,28,例 Example 12 求积分,解（一）,$4几种特殊函数的积分,29,解（二）,修改万能置换公式,.,令,$4几种特殊函数的积分,30,解（三）,可以不用万能置换公式.,结论Conclusion,比较以上三种解法, 便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换.,$4几种特殊函数的积分,31,例13 求积分,解,$4几种特殊函数的积分,32,$4几种特殊函数的积分,33,例14,例15 (总习题 四,26),$4几种特殊函数的积分,34,讨论类型,解决方法,作代换去掉根号.,例Instance 16 （P268例9）求积分,解 Solution 令,三.简单无理函数的积分Integration of simple irrational function,$4几种特殊函数的积分,35,$4几种特殊函数的积分,36,例 Example 17 求积分,解 令,说明Directions,无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数,$4几种特殊函数的积分,37,例18 求积分,解,先对分母进行有理化,原式,$4几种特殊函数的积分,38,简单无理式的积分. Integration of simple irrational function,有理式分解成部分分式之和的积分.,（注意：必须化成真分式）,三角有理式的积分.（万能置换公式）,（注意：万能公式并不万能）,四、小结 Brief summary,有理函数,标准化,三角函数,有理化,无理函数,有理化,三角化,$4几种特殊函数的积分,39,思考题 Consideration question,将分式分解成部分分式之和时应注意什么？,$4几种特殊函数的积分,40,思考题解答 Solution to consideration question,分解后的部分分式必须是最简分式.,$4几种特殊函数的积分,41,练习题 Exerci