高考数学总复习直通车课件-集合与常用逻辑用语.ppt

数学-集合与常用逻辑用语,知识体系,1.集合是高考的必考内容.高考对集合问题的考查一般有两种形式：一是考查集合的有关概念、集合之间的关系、集合的运算等，题型以选择题和填空题为主；二是考查考生对集合语言、集合思想的理解与运用，往往与其他知识融为一体，题型可以是选择题、填空题，也可以是解答题.其中，集合的特征性质描述和集合的运算是高考考查的重点，常常会与求函数的定义域和值域、解不等式、求范围等问题联系在一起. 2.常用逻辑用语主要包含三部分内容：命题以及命题的四种形式、充分必要条件、量词.本单元内容在高考试题中每年必考，主要体现在三个方面：一是充分必要条件的推理判断；二是命题的四种形式；三是全称量词与存在量词、全称命题与特称命题.对于充分必要条件的推理判断问题，一般是以其他的数学知识为载体，具有较强的综合性；对于全称命题与特称命题，一般是考查对两个量词的理解，考查两种命题的否定命题的写法，这是考查的热点.,通过对本单元近几年高考试题以及命题立意的发展变化趋势，尤其是新课改地区的高考试题的分析，复习时宜采用以下应试对策：,1. 在复习中首先要把握基础知识，深刻理解本单元的基本知识点，基本的数学思想方法，重点掌握集合的概念和运算,掌握充分条件、必要条件和充要条件的判断和应用. 2. 涉及本单元知识点的高考题既有基本的选择题和填空题，也有小型和大型的综合题，因此在复习中既要灵活掌握基本题型，又要对有一定难度的大型综合题进行有针对性的准备. 3. 重视数学思想方法的复习.本单元体现的主要有数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想方法，而且图示法、反证法等数学方法也得到了广泛应用.,第一节 集合,1. 集合的含义与表示 （1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系. （2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.,2. 集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义.,3. 集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集. (2)理解在给定集合中的一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. (3)能使用Venn图表达集合的关系及运算.,1. 元素与集合 （1）集合中元素的三个特征: 确定性 、 互异性 、无序性. （2）集合中元素与集合的关系,(4)集合的表示法：列举法 、描述法 、Venn图法.,(3)常见集合的符号表示,2. 集合间的基本关系表示,3.集合的基本算法,1. (教材改编题)用适当符号填空. 0 0，1；a,b b,a;0 ;,答案：,2. （2009福州市高中毕业班单科质量检查）集合A=x|x(x-1)0,B=y|y= ,xR，则AB是（ ） A. (0,2) B. (1,2) C. (0,1) D. (-,0),解析: 由已知得A=x|0x1，B=y|y0.AB=(0,1) 答案： C,3. （2009福州市高三第二次质检）设集合A=x|1x2,B=x|xa.若AB,则a的范围是（ ） A. a1 B. a1 C. a2 D. a2,4. （2009全国)设集合A=4,5,7,9,B=3,4,7,8,9,全集U=AB,则集合 （AB）中的元素共有( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个,解析: U=AB=3,4,5,7,8,9, 又AB=4,7,9, (AB)=3,5,8. 答案: A,解析: 集合A、B如图所示：，AB,a1. 答案： B,1. 集合中元素的三个基本性质的应用 (1)确定性：任意给定一个对象，都可以判断它是不是给定集合的元素，也就是说，给定集合必须有明确的条件，依此条件，可以明确地判定某一对象是这个集合的元素或不是这个集合的元素，二者必居其一，不会模棱两可. 如：“较大的数”、“著名科学家”等均不能构成集合.,5. 设全集U=1,3,5,7,集合M=1，|a-5|,MU, =5,7,则a的值为（ ） A. 2或-8 B. -8或-2 C. -2或8 D. 2或8,解析: M=5,7,M=1,3,|a-5|=3,a=8或a=2. 答案: D,2. 集合中三种语言的互化是解决集合问题的关键 即文字语言、符号语言、图象语言的互化.,4. 进行集合的运算时，应把参与运算的集合化到最简形式，再进行运算，运算时要借助于Venn图、数轴或函数图象等工具.,3. 利用集合间的关系建立不等式求参数范围时，要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用.,（3）无序性.,（2）互异性：即一个集合中的任何两个元素都应该是不相同的，特别是含有字母的问题，解题后需进行检验.,5. 注意分类讨论思想、数形结合思想、等价转化思想在集合运算中的应用.,题型一 集合的基本概念 【例1】已知集合A=m,m+d,m+2d,B=m,mq,mq2,其中m0,且A=B,求q的值.,解 由A=B可知， 解（1）得q=1;解（2）得q=1,或 又因为当q=1时，m=mq=mq2,不满足集合中元素的互异性，应舍去，所以,分析 由A=B可知A,B两个集合中的元素相同，观察A,B两个集合中有一共同元素，则其他两个元素应对应相等，由于情况不确定，需要分类讨论.,学后反思 本题考查集合元素的基本特征确定性、互异性，切入点是分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，检验必不可少.,1. 设A=-4,2a-1, ,B=9,a-5,1-a,已知AB=9，求实数a的值.,解析: AB=9,9A. (1)若2a-1=9,则a=5,此时A=-4,9,25,B=9,0,-4,AB=9,-4,与已知矛盾，舍去. （2）若a2=9,则a=3.当a=3时，A=-4,5,9,B=-2,-2,9,B中有两个元素均为-2,与集合元素的互异性相矛盾，应舍去;当a=-3时，A=-4, -7,9,B=9,-8,4，符合题意. 综上所述，a=-3.,举一反三,解 先化简集合A=-4,0. 由AB=B，则B A，可知集合B可为，或0，或-4，或-4,0. (1)若B=，则=4(a+1)2-4(a2-1)0，解得a-1； (2)若0B，代入得a2-1=0 a=1或a=-1， 当a=1时，B=A，符合题意； 当a=-1时，B=0A，也符合题意. (3)若-4B，代入得a2-8a+7=0 a=7或a=1， 当a=1时，已经讨论，符合题意； 当a=7时，B=-12，-4，不符合题意. 综上可得，a=1或a-1.,题型二 集合之间的关系,【例2】设集合A =x| +4x=0，B =x| +2(a+1)x+a2-1=0，aR，若AB=B，求实数a的取值范围.,分析 根据A、B间的关系，对B进行分类讨论，然后求解并验证.,学后反思 解决集合间的关系问题，关键是将集合化简，特别是含有字母参数时，将字母依据问题的实际情况进行合理分类，分别进行求解，最后综合后得出答案.,2. 设集合A=x|x-a|2，集合B=x|4x+1|9,且 求a的取值范围.,解析： A=x|a-2xa+2,B=x|x2或x ,AB=A,如图所示. a+2 或a-22,a 或a4.,举一反三,题型三 集合的运算,【例3】已知全集I=R,A=x|x24, ,求(CRA)(CRB).,分析 解决本题的关键： (1)集合B的化简； (2) (CRA)(CRB)=CR(AB)(等价转化).,解 A=x|x2或x-2, AB=x|x-2或x-1. (CRA)(CRB)=CR(AB)=x|-2 x -1,学后反思 本题是集合的运算与解不等式的综合求解问题.解答这类问题时要注意弄清楚集合中的元素是什么，然后对集合进行化简，并注意将集合之间的关系转化为直接关系或等价关系进行求解，同时一定要善于运用数形结合的思想方法帮助分析和运算.,3. 设集合A=x|x-2|2,xR,B=y|y=-x2,-1x2,则 CR(AB)等于( ) A. R B. x|xR,x0 C. 0 D. ,举一反三,题型四 利用Venn图解决集合问题,【例4】设全集U是实数集R,M=x| 4,N=x|1x3,则图中阴影部分所表示的集合是( ) A. x|-2x1 B. x|-2x2 C. x|1x2 D. x|x2,分析 首先用集合符号表示出阴影部分，然后对相应集合化简.,解 依题意，该图形中阴影部分表示的集合应该是N( M) ,而M=x| 4=x|x2或x-2,于是 M=x|-2x2,因此N( M)=x|1x2.,学后反思 新课标特别指出“能使用Venn图表达集合的关系及运算”，将对Venn图的要求提高到一个更高的层次，因此我们必须注意Venn图在表达集合关系和运算中的重要作用.应结合交集、并集、补集等的定义进行理解.,举一反三,4. （2009江西）已知全集U=AB中有m个元素，（ A)( B)中有n个元素.若AB非空，则AB的元素个数为( ) A. mn B. m+n C. n-m D. m-n,解析: 如图，( A)( B)= (AB).而阴影部分就表示集合 (AB),阴影部分有n个元素， 而U=AB中有m个元素，AB中有m-n个元素. 答案: D,题型五 新型集合的概念与运算 【例5】(12分)对于集合M,N，定义M-N=x|xM且xN,MN=(M-N)(N-M),设A=y|y=x2-3x,xR,B=y|y=- ,xR,求AB.,分析 充分理解“M-N”与“MN”两种运算法则,然后把A,B两个集合化到最简，再代入进行计算.,解 由y=x2-3x(xR), 即 得,y=-2x(xR),2x0,-2x0,y0, B=y|y0,6,学后反思 新型集合的概念及运算问题是近几年新课标高考的热点问题.在给出新的运算法则的前提下，充分利用已知求解是关键.集合命题中与运算法则相关的问题，是对映射构建下的集合与集合、元素与元素之间的运算相关性及封闭性的研究.,举一反三,5. （2008江西）定义集合运算:A*B=z|z=xy,xA,yB.设A=1，2，B=0，2，则集合AB的所有元素之和为( ) A. 0 B. 2 C. 3 D. 6,解析: 依题意，A*B=0,2,4,它的所有元素之和为6. 答案: D,【例】已知集合A=x|x2-3x-100,B=x|m+1x2m-1,若AB=A,求实数m的取值范围.,错解 由x2-3x-100得-2x5. 欲使B A,只需 ,解得-3m3. m的取值范围是-3m3.,错解分析 因为AB=A,即BA,又A=x|x2-3x-100=x|-2x5,考虑到“空集是任何集合的子集”这一性质，因此需对B= 与B两种情况分别讨论，进而确定m的取值范围.,正解 AB=A,B A. 又A=x|x2-3x-100=x|-2x5, (1)若B=，则m+12m-1,即m2,此时，总有AB=A,故m2. (2)若B，则m+12m-1,即m2,由B A得 ,解得-3m3,2m3. 综合(1)、(2)可知,m的取值范围是（-,3.,1. （2009福建）已知全集U=R，集合A=x| -2x0，则 A等于（ ） A. x|0x2 B. x|0x2 C. x|x0或x2 D. x|x0或x2,解析： 计算可得A=x|x0或x2，CuA=x|0x2. 答案： A,2. （2009泉州市一级达标中学高三期末联考）已知aR，设集合A=x|x-1|2a- -2，则A的子集个数共有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个,解析： 设u=- +2a-2,=4-8=-40，u0,aR，A=x|x-1|0，A=.其子集只有. 答案： B,3. (2009广东)已知全集U=R，集合M=x|-2x-12和N=x|x=2k-1,k=1,2,的关系的韦恩（Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多,解析: M=x|-1x3，集合N是正奇数集，MN=1,3. 答案: B,4. 已知集合A=x|y= ,B=y|y= ,x0,R是实数集，则( B)A=（） A. 0,1 B. 0,1) C. (-,0 D. 以上都不对,解析: 集合A=x|y= 表示的是函数的定义域，可得A=0,2; 而集合B=y|y= ,x0表示的是函数的值域，显然函数y= ,x0的值域为（1,+）,所以( B)A=(-,10,2=0,1. 答案: A,5. 集合P=(x,y)|y=k,xR,Q=(x,y)|y= +1,xR,a0且a1,已知PQ=，那么实数k的取值范围是（） A. (-,1) B. (-,1 C. (1,+) D. (-,+),解析: P,Q两个集合都表示点集，画出函数y=k与y= +1的图象，由PQ=知，两函数图象无交点，观察图象可得k1. 答案: B,6. 设A,B为两个非空集合，定义:A+B=a+b|aA,bB，若A=0,2,5,B=1,2,6,则A+B的子集的个数是（ ） A. B. C. D.,解析: 由题意A+B=1,2,3,4,6,7,8,11,有8个元素,故A+B的子集的个数是 . 答案: B,7. 已知M=x|x= +2a+4,aR,N=y|y= -4b+7,bR,则M,N之间的关系为 .,解析: +2a+4=(a+1)2+33,M=x|x3. 又 -4b+7=(b-2)2+33,N=y|y3. M=N. 答案: M=N,8. 已知A=x| -2x-30,B=x|x|a,若BA,则实数a的取值范围是 .,解析: B,B为非空集合，即a0,由 -2x-30得-1x3,A=(-1,3). 由|x|a得-axa.B=(-a,a). BA, -a-1, a3, 即a1. 故综上得-1a1. 答案: (0,1,9. 满足条件1,3A=1,3,5的所有集合A的个数是 .,解析: A有可能为5,1,5,3,5,1,3,5. 答案: 4,10. (2010济宁模拟)设全集U=(x,y)|x,yR，集合M=(x,y) ,N=(x,y)|yx-4，那么( M)( N)= .,解析: M：y=x-4(x2),M代表直线y=x-4，但是去掉点（2，-2）， M代表直线y=x-4外，但是包含点（2，-2）；N代表直线y=x-4外， N代表直线y=x-4，故( M)( N)=(2,-2). 答案: (2,-2),11. 已知函数f(x)= 的定义域为集合A，函数g(x)=lg(- +2x+m)的定义域为集合B.求当m=3时，求A( B).,解析： A=x|-1x5. 当m=3时，B=x|-1x3, 则 B=x|x-1或x3, 故A( B)=x|3x5.,12. （2010广东联考）设集合A=x|x24,. (1)求集合AB; (2)若不等式2x2+ax+b0的解集是B，求a、b的值.,解析: A=x|x24=x|-2x2, (1)AB=x|-2x1. (2)2x2+ax+b0的解集为B=x|-3x1, -3和1为方程2x2+ax+b=0的两根， ,第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件,1. 理解命题的概念. 2. 了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系. 3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.,1. 命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.命题有 真命题 与 之分.,（1）四种命题,假命题,(2)四种命题之间的关系,3. 充分条件与必要条件 （1）定义：对命题“若p,则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件; q是p的必要条件; 当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件;两种命题均为真时，称p是q的充要条件. （2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论; 其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件.,1. (教材改编题）下列说法： 2x+50； 0；如果x2，那么x就是有理数；如果x0，那么 就有意义. 一定是命题的说法是( ) A. B. C. D. ,解析: 满足命题定义，只有不能判断真假. 答案: C,2. (教材改编题）给出如下的命题：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； =1；如果x+y是整数，那么x,y都是整数； 3.其中真命题的个数是 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0,解析: 正确的只有. 答案: C,3. (2010广东汕头）与命题“若aM,则bM”等价的命题是( ) A. 若aM，则bM B. 若bM,则aM C. 若aM,则bM D. 若bM,则aM,解析: 原命题与其逆否命题是等价的. 答案: D,4. (2009浙江)已知a,b是实数，则“a0且b0”是“a+b0且ab0”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件,解析: a0,b0时显然有a+b0且ab0，充分性成立；反之，若a+b0且ab0，则a,b同号且同为正，即a0,b0,必要性成立. 答案: C,5. 下列各种说法中，p是q的充要条件的是( ) （1）p:m-2或m6；q:y= +mx+m+3有两个不同的零点； （2）p: =1;q:y=f(x)是偶函数； （3）p:cos =cos ;q:tan =tan ； （4）p:AB=A;q: A. (1)(2) B. (2)(3) C. (3)(4) D. (1)(4),解析:（2）中由 =1可得f(-x)=f(x)，但y=f(x)的定义域不一定关于原点对称；（3）中cos =cos 是tan =tan 的既不充分也不必要条件. 答案: D,1. 在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题被定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”.,2. 四种命题真假关系 原命题与它的逆否命题同真同假；原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，同真同假.当一个命题不能直接判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假而得到原命题的真假.,3. 判断命题的充要关系有三种方法 (1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假. (2)等价法：即利用AB与 B A;BA与 A B;A B与 B A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.,4. 以下四种说法所表达的意义相同 (1)命题“若p则q”为真; (2)pq; (3)p是q的充分条件; (4)q是p的必要条件.,题型一 四种命题的关系及命题真假的判定 【例1】以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假. (1)内接于圆的四边形的对角互补； (2)已知a、b、c、d是实数，若ab，cd，则acbd.,分析 首先应当把原命题改写成“若p，则q”形式，再设法构造其余的三种 形式命题.,解(1)原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”； 逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”； 否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”； 逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”. 四种命题都正确.,对(2)原命题：“已知a、b、c、d是实数，若ab，cd，则acbd”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“ab，cd”是条件，“acbd”是结论.显然原命题是正确的.,否命题：“已知a、b、c、d是实数，若ab或cd，则acbd”(注意“ab，cd”的否定是“ab或cd”，只需要至少有一个不等即可)；此命题不正确，a=1,c=1,b=1.5,d=0.5,ab或cd,但a+c=b+d.,学后反思 要注意对大前提的处理以及等价命题之间的真假关系. 试一试：写出命题“当c0时，若ab，则acbc”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假.,逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若acbd，则ab，cd”.此命题不正确，如a+c=b+d=2,可有a=c=1,b=0.8,d=1.2,则ab,cd.,逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若acbd则ab或cd”. 逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若acbd,则ab，cd两个等式至少有一个不成立”,由原命题为真得此命题显然正确.,举一反三,1. 写出命题“等式两边都乘同一个数，所得结果仍是等式”的逆命题、否命题、逆否命题.,解析： 方法一：选取“两边乘同一个数”为前提 原命题：若一个式子为等式，两边也乘以同一个数，所得的结果仍是等式； 逆命题：若一个式子两边都乘同一个数所得结果是等式，则这个式子是等式； 否命题：若一个式子不是等式，则它的两边都乘以同一个数，所得结果仍不是等式； 逆否命题：若一个式子两边都乘以同一个数所得的结果不是等式，则这个式子不是等式. 方法二：选取“一个式子为等式”为前提 原命题：一个等式，若两边乘以同一个数，则所得结果仍为等式； 逆命题：一个等式,若两边分别乘以一个数， 所得结果仍为等式，则两边乘的是同一个数； 否命题：一个等式,若两边乘以不同的数，则所得结果不是等式； 逆否命题：一个等式，若两边分别乘以一个数，所得结果不是等式，则两边乘的不是同一个数.,题型二 两个命题之间充要条件的判定,【例2】用“充分条件、必要条件、充要条件”填空: (1)“a+b0”是“a1”是“ 1”的 ; (3)“(x-4)(x+1)0”是“ 0”的 ; (4)“x=2”是“ -7x+10=0”的 .,分析 先把条件或结论化简，若条件能推出结论，则条件是结论的充分条件;反之，条件是结论的必要条件.,解 （1）充要条件(2)充分条件(3)必要条件(4)充分条件,学后反思 判断充分、必要条件时,多与数学上其他知识内容相联系，要考查到其他内容掌握的程 .,举一反三,2. （2009四川）已知a,b,c,d为实数，且cd.则“ab”是“a-cb-d”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件,解析: 由a-cb-d,cd两个同向不等式相加得ab,但cd,aba-cb-d.例如a=2,b=1,c=-1,d=-3时，a-cb-d. 答案: B,题型三 三个或三个以上命题之间充要条件的判定 【例3】已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s，r，p分别是q的什么条件？,分析 画出关系图，观察求解.,学后反思 图可以画得随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系,利用它们的传递性和对称性判断.,解 s是q的充要条件 ； r是q的充要条件 ; p是q的必要条件 .,举一反三 3. 设A、B、C三个命题，若A是B的充要条件，C是B的充分不必要条件，则C是A的 条件.,答案：充分不必要,解析： 画出关系图,由图可知，C是A的充分不必要条件.,【例4】(12分)已知p:-2x10,q:1-mx1+m(m0)，若 的必要不充分条件，求实数m的取值范围.,学后反思 本题采用了等价转化的方法将原命题的条件转化为等价命题的形式，然后从集合的角度去解决此类问题，既简便又快捷.,解 “ 必要不充分条件”的等价命题是： p是q的充分不必要条件. 3,题型四 利用充分、必要条件求实数的范围,举一反三 4. 本例把“ 的必要而不充分条件”改为“ 的充分而不必要条件”，求实数m的取值范围.,解析: “ 的充分而不必要条件”的等价命题是：q是p的充分而不必要条件,BA. m0, 1-m-2,（等号不同时成立） 1+m10, 解得0m3.,【例】写出命题“若 ，则实数m，n，a，b全为零”的否定及否命题.,错解分析 错解（1）混淆了命题的否定与否命题的概念，错解（2）“全为零”的否定是“不全为零”而不是“全不为零”.,错解（1）命题的否定：若 ，则实数m,n,a,b不全为零. 命题的否命题：若 ,则实数m,n,a,b不全为零. （2）命题的否定：若 ,则实数m,n,a,b全不为零. 命题的否命题：若 ,则实数m,n,a,b全不为零.,正解 命题的否定：若 ,则实数m,n,a,b不全为零. 命题的否命题：若 ，则实数m,n,a,b不全为零.,1.下面有四个命题： 集合N中最小的数是1； 若-a不属于N，则a属于N； 若aN,bN,则a+b的最小值为2； 的解集可表示为1,1. 其中真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3,解析：假命题，集合N中最小的数是0；假命题，如 时,命题不成立；假命题，如a=0,b=1,则a+b=1；假命题，1,1与集合元素的互异性矛盾，其解集应为1.,答案：A,2. （创新题）命题“若ab=0,则a=0或b=0”的逆否命题是（） A. 若ab0，则a0或b0 B. 若a0或b0，则ab0 C. 若ab0，则a0且b0 D. 若a0且b0，则ab0,解析: “或”否定后变为“且”. 答案: D,3. 有下列四个命题： “若xy1，则x、y互为倒数”的逆命题； “相似三角形的周长相等”的否命题； “若b1，则方程 有实根”的逆否命题； “若AB=B,则A B”的逆否命题. 其中真命题是( ) A. B. C. D. ,4. “”是“cos cos ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件,解析：,答案：B,答案：C,解析：写出相应命题并判定真假. “若x，y互为倒数，则xy1”为真命题； “不相似三角形的周长不相等”为假命题； “若方程 没有实根，则b1”为真命题； “若AB，则ABB”为假命题.,5. 已知不等式|x-m|1成立的充分不必要条件是 x ，则m的取值范围是 ( ) A. m|- m B. m|m C. m|- m D. m|m- ,解析: |x-m|1-1+mx1+m， x 时，|x-m|1， (-1+m,1+m) . -1+m ，且1+m ,由此得- m . 答案: C,6. （2009福建）设m，n是平面内的两条不同直线，l1，l2是平面内的两条相交直线，则/的一个充分不必要条件是 （ ） A. m/且l1/ B. m/l1且n/l2 C. m/且n/ D. m/且n/l2,7. (2010宁夏银川模拟)原命题：“设a、b、cR，若a b ，则ab”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有个.,解析: 由题意可知，原命题正确，逆命题错误，所以否命题错误，而逆否命题正确. 答案: 1,8. 命题“若x,y是奇数，则x+y是偶数”的逆否命题是 ; 它是 命题.,解析：原命题是真命题,所以其逆否命题也是真命题.,答案：若x+y不是偶数，则x,y不都是奇数 真,解析： 因m,l1，若，则有m且l1，故的一个必要条件是m且l1,排除A.因m，n,l1,l2且l1与l2相交，若ml1且nl2，因l1与l2相交，故m与n也相交，；若，则直线m与直线l1可能为异面直线，故的一个充分而不必要条件是ml1且nl2，应选B. 答案： B,9. （2008全国）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件： ; 充要条件: . （写出你认为正确的两个充要条件）,解析：本题为开放性填空题，下面给出了四个充要条件，任写两个即可，写出其他正确答案也可.,答案： 两组相对侧面分别平行 一组相对侧面平行且全等 对角线交于一点 底面是平行四边形,10. (x-1)(x+2)0的一个必要不充分条件是 .,解析：这是一道开放题，答案不唯一，只要满足x-2或x1均可，但不可以是-2x1.,答案：x-2(或x1),11. 写出命题“若m0，则方程 +x-m=0有实数根”的逆否命题，判断其真假，并加以证明.,解析：原命题的逆否命题是：“若方程 +x-m=0没有实数根，则m0”.它是真命题.,证明：方程 +x-m=0没有实数根，=1+4m0， m ，m0成立.(也可以证明原命题正确),12. 已知p: ,q: 0.求p是q的什么条件.,解析： p:A= ; q:B= , 由图知A B,故p是q的充分不必要条件.,第三节 简单的逻辑结构、全称量词与存在量词,1. 了解逻辑联结词 “或”、“且”、“非”的含义. 2. 理解全称量词与存在量词的意义. 3. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.,1. 命题pq,pq, 的真假判断,2. 全称量词 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. （2）含有全称量词的命题，叫做全称命题. （3）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记 为: xM,p(x)，读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.,3. 存在量词 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. （2）含有存在量词的命题，叫做特称命题. （3）特称命题“存在M中的元素 ,使 成立”可用符号简记为: ,读作“存在M中的元素 ”.,4. 含有一个量词的命题的否定命题命题的否定,命题的否定,命题,设集合M=x|x2,P=x|x3,那么“xM或xP”是“xMP”的 （ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件,解析: “xM或xP”不能推出“xMP”，反之可以. 答案: A,2. (教材改编题)已知命题p且q为假命题，则可以肯定( ) A. p为真命题 B. q为假命题 C. p,q中至少有一个是假命题 D. p,q都是假命题,解析: 利用真值表判断. 答案: C,3. 下列命题中正确的是（） A. 对所有正实数t，有 t B. 不存在实数x，使x4，且 +5x-24=0 C. 存在实数x，使|x+1|1且x20 D. 不存在实数x，使 +x+1=0,解析: A不正确，如t= ，有 t;B不正确，如x=34,而x2+5x-24=0;D不正确. 令f(x)= +x+1,则f(-1)=-10,又因为函数f(x)的定义域为R,所以f(x)= +x+1在(-1,0)上必存在零点，即存在实数x使 +x+1=0. 答案: C,4. （2009福建省普通高中毕业班单科质量检查）命题：“xR, -x+20”的否定是（ ） A. xR, -x+20 B. xR, -x+20 C.xR, -x+20 D. xR, -x+20,解析： 全称命题的否定是特殊命题. 答案： C,1. 命题：“pq”,“pq”,“ ”的真假判断方法 （1）“pq”形式复合命题判断真假的方法是：“一假必假”. (2)“pq”形式复合命题判断真假的方法是:“一真必真”. (3)“ ”形式复合命题判断真假的方法是:“真假相对”.,5. （2009泉州市一级达标中学高三期末联考）有关命题的说法错误的是（ ） A. 命题“若 -3x+2=0则x=1”的逆否命题为“若x1， 则 -3x+20”； B. 命题“sinx1”是一个复合命题，而且是个真命题； C. 若( p)( q)为真命题，则命题p、q至少有一个为真命题； D. 对于命题pxR，使得 +x+10.则 pxR，均有 +x+10,解析： C中若（ p）( q)为真命题，则命题p、q至少有一个为假命题. 答案： C,2. 判断复合命题真假的步骤 （1）首先确定复合命题的结构形式; （2）判断其中简单命题的真假; （3）根据其真值表判断复合命题的真假. 3. 含有一个量词的命题的否定（全称命题与特称命题）,常见 的有: “对所有x成立”的否定是“存在某x不成立”; “对任意x不成立”的否定是“存在某x成立”; “至少有一个”的否定是“没有一个”; “至多有一个”的否定是“至少有两个”; “至少有n个”的否定是“至多有n-1个”; “至多有n个”的否定是“至少有n+1个”.,4. 复合命题的否定 （1）“ p”的否定是“p”. （2）“p或q”的否定是“ p且 q”. （3）“p且q”的否定是“ p或 q”.,题型一 判断含有逻辑联结词的命题的真假 【例1】分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并判断其真假. (1)5或7是30的约数; (2)菱形的对角线互相垂直平分; (3)8x52无自然数解.,分析 由含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题的形式及其真值表直接判断.,学后反思 判断含有逻辑联结词的命题的真假的一般步骤: (1）把复合命题写成两个简单命题，并确定复合命题的构成形式； （2）判断简单命题的真假； （3）根据真值表判断复合命题的真假.,解析: (1)p或q，p：8是30的约数(假)，q：6是30的约数(真).为真命题. (2)p且q，p：矩形的对角线互相垂直(假)，q：矩形的对角线互相平分(真). 为假命题. (3)非p, p： 2x30有实根(假).为真命题.,举一反三 1. 分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假. (1)8或6是30的约数； (2)矩形的对角线互相垂直平分； (3)方程 -2x30没有实数根.,题型二 全称命题、特称命题及其真假判断 【例2】判断下列语句是不是命题，如果是，说明其是全称命题还是特称命题,以及真假情况，并用符号“ ”或“ ”来表示. (1)有一个向量a，a的方向不能确定; (2)存在一个函数f(x)，使f(x)既是奇函数又是偶函数; (3)对任意实数a,b,c,方程 都有解; (4)在平面外的所有直线中，有一条直线和这个平面垂直吗?,分析 根据语句中所含联结词判断其是何命题.,解 (1)(2)都是真命题，(3)是假命题，(4)不是命题.其中(1)(2)是特称命题，(3)是全称命题. 上述命题用符号“ ”或“ ”表示为： （1）a向量，使a的方向不能确定； （2）f(x)函数,使f(x)既是奇函数又是偶函数； （3）a,b,cR,方程 都有解.,学后反思 含有“所有的”、“任意一个”、“任意的”、“一切的”、“每一个”、“任给”等全称量词的命题，叫做全称命题.含有“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”、“存在着”等存在量词的命题，叫做特称命题. 要判定全称命题“ xM, p(x) ”是真命题，需要对集合M中每个元素x, 证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素 ,使得 不成立，那么这个全称命题就是假命题.要判定特称命题 “ xM, p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素 ,使 成立即可;如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，则特称命题是假命题.,举一反三 2. 用符号“ ”与“ ”表示含有量词的命题,并判断真假. （1）实数的平方大于等于0; （2）存在一对实数，使2x3y30成立.,解析：（1）xR， 0，真命题; (2）xR，yR，2x3y30，真命题.,题型三 全称命题、特称命题的否定 【例3】写出下列命题的否定并判断真假. （1）p:对任意的正数x， x-1； （2）q:三角形有且仅有一个外接圆; （3）r:存在一个三角形，它的内角和大于180; （4）s:有些质数是奇数.,分析 以上这几个命题中（1）（2）是全称命题，（3）（4）是特称命题，在否定时既要对结论否定，又要对量词否定.,学后反思 含有全称量词（或存在量词）的命题的否定与命题的否定有着一定的区别，含有全称量词（或存在量词）的命题的否定是将其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定；而命题的否定，则直接否定结论即可.从命题形式上看，含有全称量词的命题的否定是含有存在量词的命题，含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题.,解（1） :存在正数x，xx-1,真命题. （2） :存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆，假命题. （3) :所有三角形的内角和小于或等于180，真命题. （4） :所有的质数都不是奇数，假命题.,举一反三, 应为：有些面积相等的三角形不是全等三角形； 应为：,解析：,答案：,题型四 对复合命题真假判断的综合应用,【例4】(12分)已知命题p：方程 +ax-2=0在-1,1上有解；命题q：只有一个实数 x满足不等式 +2ax+2a0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围.,分析 首先对所给命题进行化简，然后再通过对含逻辑联结词的命题的真假判断的知识给予讨论解决.,解 由 +ax-2=0,得(ax+2)(ax-1)=0,2 显然a0,x=- 或x= .4 x-1,1，故 1或 1, |a|1.6 “只有一个实数x满足 +2ax+2a0”，即抛物线y= +2ax+2a与x轴只有一个交点，=4 -8a=0,a=0或2.8 命题“p或q”为真命题时,|a|1或a=0.10 命题“p或q”为假命题, a的取值范围为-1a0或0a1.12,学后反思 解决这类问题时，关键在于对所给命题的等价转化.它所涉及的命题往往是方程根的问题或不等式解的问题，所以首先要熟知它们的等价转化，化到最简后，再应用真值表以及数轴或函数图象进行分析.,(3)当q和p都是真命题时，得-3m-2. 综上，m的取值范围是m-1.,解析:“p或q”为真命题，则p为真命题，或q为真命题，或p和q都是真命题. (1)当p为真命题时，则 得m-2;,(2)当q为真命题时，则 ,得-3m-1;,举一反三 4. 命题p:方程 +mx+1=0有两个不等的正实数根，命题q:方程 4 +4(m+2)x+1=0无实数根.若“p或q”为真命题，求m的取值范围.,【例】若p: -2x-30;q: 0，则 p是 q的什么条件.,错解 p: -2x-30-1x3. q: 0-2x3 p是 q的既非充分又非必要条件.,错解分析 q的求解是错误的，产生错误的原因在于对命题的否定的概念理解错误，误认为： q: 0，事实上当 -x-6=0也属于 q的一部分，这样导致了不等价变换引起失误.,正解 p: -2x-30x3, p:-1x3. q: 0x3, q:-2x3. p q,但 q/ p, p是 q成立的充分不必要条件.,1. 若命题pq为假，且 为假，则( ) A. p或q为假 B. q假 C. q真 D. p假,2. 若条件p:xAB,则 是( ) A. xA且xB B. xA或xB C. xA且xB D. xAB,答案：B,解析： :xAB,x至少不属于A,B中的一个.,3. （2009福州市高中毕业班单科质量检查）下列有关命题的说法正确的是（ ） A. 命题“若 =1，则x=1”的否命题为：“若 =1，则x1”. B. “x=-1”是“ -5x-6=0”的必要不充分条件. C. 命题“x