2019高考数学 三角函数与解三角形第7讲正余弦定理的应用举例分层演练文.docx

第7讲 正、余弦定理的应用举例一、选择题1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东80D南偏西80解析：选D.由条件及题图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.2已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为()A10 kmB10 kmC10 kmD10 km解析：选D.如图所示，由余弦定理可得：AC210040021020cos 120700，所以AC10(km)3. 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD等于()A30B45C60D75解析：选B.依题意可得AD20 m，AC30 m，又CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.4. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A8 km/hB6 km/hC2 km/hD10 km/h解析：选B.设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin ，从而cos ，所以由余弦定理得12221，解得v6.5一个大型喷水池的中央有一个强大的喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50 mB100 mC120 mD150 m解析：选A.设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.6(2018江西联考)某位居民站在离地20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60，小高层底部的俯角为45，那么这栋小高层的高度为()A20mB20(1)mC10()mD20()m解析：选B.如图，设AB为阳台的高度，CD为小高层的高度，AE为水平线由题意知AB20 m，DAE45，CAE60，故DE20 m，CE20m.所以CD20(1)m.故选B.二、填空题7.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向，则海轮的速度为_海里/分解析：由已知得ACB45，B60，由正弦定理得，所以AC10，所以海轮航行的速度为(海里/分)答案：8.(2018河南调研)如图，在山底测得山顶仰角CAB45，沿倾斜角为30的斜坡走1 000米至S点，又测得山顶仰角DSB75，则山高BC为_米解析：由题图知BAS453015，ABS451530，所以ASB135，在ABS中，由正弦定理可得，所以AB1 000，所以BC1 000.答案：1 0009江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.解析：如图，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 303010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN 10(m)答案：1010(2018福州综合质量检测)在距离塔底分别为80 m，160 m，240 m的同一水平面上的A，B，C处，依次测得塔顶的仰角分别为，.若90，则塔高为_m.解析：设塔高为h m，依题意得，tan ，tan ，tan .因为90，所以tan()tan tan(90)tan 1，所以tan 1，所以1，解得h80，所以塔高为80 m.答案：80三、解答题11.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上(1)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值解：(1)依题意知，BAC120，AB12，AC10220，BCA.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos 120784.解得BC28.所以渔船甲的速度为14海里/时(2)在ABC中，因为AB12，BAC120，BC28，BCA，由正弦定理，得，即sin .12.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM100 米和BN200 米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30，该测量车向北偏西60方向行驶了100米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为，且BQA，经测量tan 2，求两发射塔顶A，B之间的距离解：在RtAMP中，APM30，AM100，所以PM100，连接QM，在PQM中，QPM60，又PQ100，所以PQM为等边三角形，所以QM100