广西2020版高考数学复习考点规范练16导数的综合应用文.docx

考点规范练16导数的综合应用一、基础巩固1.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1处都取得极值.(1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间;(2)若对于x-1,2,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围.解(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b.又f(x)在x=-23与x=1处都取得极值,f-23=129-43a+b=0,f(1)=3+2a+b=0,两式联立解得a=-12,b=-2,f(x)=x3-12x2-2x+c,f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),令f(x)=0,得x1=-23,x2=1,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-,-23-23-23,11(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值函数f(x)的递增区间为-,-23与(1,+);递减区间为-23,1.(2)f(x)=x3-12x2-2x+c,x-1,2,当x=-23时,f-23=2227+c为极大值,而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值,要使f(x)f(2)=2+c,解得c2.c的取值范围为(-,-1)(2,+).2.设函数f(x)=ax2-a-ln x,g(x)=1x-eex,其中aR,e=2.718为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当x1时,g(x)0;(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)g(x)在区间(1,+)内恒成立.(1)解f(x)=2ax-1x=2ax2-1x(x0).当a0时,f(x)0时,由f(x)=0有x=12a.当x0,12a时,f(x)0,f(x)单调递增.(2)证明令s(x)=ex-1-x,则s(x)=ex-1-1.当x1时,s(x)0,所以ex-1x,从而g(x)=1x-1ex-10.(3)解由(2),当x1时,g(x)0.当a0,x1时,f(x)=a(x2-1)-lnxg(x)在区间(1,+)内恒成立时,必有a0.当0a1.由(1)有f12a0,所以此时f(x)g(x)在区间(1,+)内不恒成立.当a12时,令h(x)=f(x)-g(x)(x1).当x1时,h(x)=2ax-1x+1x2-e1-xx-1x+1x2-1x=x3-2x+1x2x2-2x+1x20.因此,h(x)在区间(1,+)内单调递增.又因为h(1)=0,所以当x1时,h(x)=f(x)-g(x)0,即f(x)g(x)恒成立.综上,a12,+.3.已知函数f(x)=(x-k)ex+k,kZ.(1)当k=0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若当x(0,+)时,不等式f(x)+50恒成立,求k的最大值.解(1)当k=0时,f(x)=xex,f(x)=ex+xex=ex(x+1),当x(-,-1)时,f(x)0;f(x)在(-,-1)内是减函数,在(-1,+)内是增函数.(2)不等式f(x)+50恒成立(x-k)ex+k+50在x(0,+)时恒成立,令F(x)=(x-k)ex+k+5,F(x)=ex(x-k+1)(xR),当x(-,k-1)时,f(x)0;f(x)在(-,k-1)内是减函数,在(k-1,+)内是增函数.若k-10,即k1,当x(0,+)时,F(x)F(0)0.而F(0)=50恒成立,k1符合题意.若k-10,即k1,当x(0,+)时,只需F(x)min=F(k-1)=-ek-1+5+k0即可.令h(k)=-ek-1+5+k,h(k)=1-ek-10,h(3)=-e2+80,h(4)=-e3+90,1k3,综上,k的最大值为3.4.已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a0,故f(x)在(0,+)单调递增.若a0;当x-12a,+时,f(x)0.故f(x)在区间0,-12a内单调递增,在区间-12a,+内单调递减.(2)证明由(1)知,当a0;当x(1,+)时,g(x)0时,g(x)0.从而当a0时,ln-12a+12a+10,即f(x)-34a-2.二、能力提升5.设函数f(x)=(1-x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x0时,f(x)ax+1,求a的取值范围.解(1)f(x)=(1-2x-x2)ex.令f(x)=0得x=-1-2,x=-1+2.当x(-,-1-2)时,f(x)0;当x(-1+2,+)时,f(x)0.所以f(x)在(-,-1-2),(-1+2,+)内单调递减,在(-1-2,-1+2)内单调递增.(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.当a1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h(x)=-xex0),因此h(x)在0,+)内单调递减,而h(0)=1,故h(x)1,所以f(x)=(x+1)h(x)x+1ax+1.当0a0(x0),所以g(x)在0,+)内单调递增,而g(0)=0,故exx+1.当0x(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=5-4a-12,则x0(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)ax0+1.当a0时,取x0=5-12,则x0(0,1),f(x0)(1-x0)(1+x0)2=1ax0+1.综上,a的取值范围是1,+).6.(2018全国,文21)已知函数f(x)=13x3-a(x2+x+1).(1)若a=3,求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)只有一个零点.(1)解当a=3时,f(x)=13x3-3x2-3x-3,f(x)=x2-6x-3.令f(x)=0,解得x=3-23或x=3+23.当x(-,3-23)(3+23,+)时,f(x)0;当x(3-23,3+23)时,f(x)0,所以f(x)=0等价于x3x2+x+1-3a=0.设g(x)=x3x2+x+1-3a,则g(x)=x2(x2+2x+3)(x2+x+1)20,仅当x=0时g(x)=0,所以g(x)在(-,+)单调递增,故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a2+2a-13=-6a-162-160,故f(x)有一个零点.综上,f(x)只有一个零点.7.(2018广东茂名二模)已知函数f(x)=ln x+12(x-1)2.(1)判断f(x)的零点个数;(2)若函数g(x)=ax-a,当x1时,g(x)的图象总在f(x)的图象的下方,求a的取值范围.解(1)f(x)=lnx+12(x-1)2的定义域为(0,+),f(x)=1x+x-1,1x+x2,f(x)10,f(x)在(0,+)上为增函数,又f(1)=0,f(x)在(0,+)上只有一个零点.(2)由题意,当x1时,12(x-1)2+lnx-ax+a0恒成立.令h(x)=12(x-1)2+lnx-ax+a,则h(x)=x+1x-1-a.当a1时,h(x)=x+1x-1-a1-a0,h(x)在(1,+)上为增函数.又h(1)=0,h(x)0恒成立.当a1时,h(x)=x2-(1+a)x+1x,令(x)=x2-(1+a)x+1,则=(1+a)2-4=(a+3)(a-1)0.令(x)=0的两根分别为x1,x2且x10,x1x2=10,0x11x2,当x(1,x2)时,(x)0,h(x)0,h(x)在(1,x2)上为减函数,又h(1)=0,当x(1,x2)时,h(x)0.故a的取值范围为(-,1.三、高考预测8.(2018河北石家庄一模)已知函数f(x)=x(ln x-ax)(aR).(1)若a=1,求函数f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2,且x1-12.(1)解由已知,f(x)=x(lnx-x),当x=1时,f(x)=-1,f(x)=lnx+1-2x,当x=1时,f(x)=-1,所以所求切线方程为x+y=0.(2)证明由已知可得f(x)=lnx+1-2ax=0有两个相异实根x1,x2,令h(x