[工学]第2章 数制和码制.ppt

2.1 引言,电子系统中的信号可以分为两大类：模拟信号和数字信号。,第2章 数制和码制,数字信号通常用数码来表示。用数码表示数值的大小通过数制，如二进制码、十进制码和十六进制码等。用数码表示不同的事物或事物的不同状态通过码制，码制是指不同的编码方式，如各种BCD码、循环码等。,数制是用来表示数值大小的方法。人们是按照进位的方式来计数的，称为进位制，简称进制。通常包括十进制数，二进制数，十六进制和八进制数。,2.2 几种常用的数制,1. 十进制： 由09十个有效的数码和一个小数点符号“.”组成； 以“逢十进一、借一当十”的规则计数，是以10为基数的进位计数制。 数码在不同的位置代表的数值大小是不同的，不同位置的1表示的数值称为这一位的“权”(weight)。 任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码与其对应的权的乘积之和，称为位权展开式。,例：,式中：n、m：正整数，分别代表整数和小数部分的位数； Ki：第i位上的数码（09）； 10i：第i位的权值。 下脚标表示括号里是十进制数，可用D(Decimal)表示。,. 二进制： 由0两个有效的数码和一个小数点符号“.”组成； 按照“逢二进一、借一当二”的规则计数，是以为基数的进位计数制。 二进制数的权是基于2的幂数 。 位权展开式：,可用B（Binary）代替下脚标2，表示二进制数。 例：,. 十六进制与八进制 ： 十六进制数采用的16个数码为0、1、2、9、A、B、C、D、E、F。进位规则是“逢十六进一”，基数R等于16，每位的权是16的幂。 位权展开式：,可用H（Hexadecimal）代替下脚标16 ，表示十六进制数。 例：,. 十六进制与八进制 ： 八进制数的进位规则是“逢八进一”，其基数R等于8，采用的数码是0、1、2、3、4、5、6、7，每位的权是8的幂。 位权展开式：,可用O（Octal）代替下脚标8 ，表示八进制数。 例：,几种常用数制对照表,数制转换：一个数从一种进位制表示形式转换成等值的另一种进位制表示形式。,2.3 不同数制间的相互转换,将二进制、八进制、十六进数按权展开,求各位数值之和即可得到相应的十进制数。,2.3.1 十进制与其它进制间的相互转换,1. 二进制、八进制、十六进制转换为十进制,例： 将(1001111)2、(246)8、(8E)16转换为十进制数。,对于一个十进制数转换为R进制，其整数部分可写成,2.十进制转换为二进制、八进制、十六进制,整数部分除基取余法；小数部分乘基取整法。,（1）除基取余法,式中bn、bn-1、b1、b0是R进制数的各位数字。R表示基数。将等式两边分别除以基数R，得到：,将上式再除以基数R，其余数为b1。以此类推，反复将每次得到的商除以基数R，直到商为零，就可以得到R进制整数的每一个系数。,将十进制数除以基数，其余数为b0，得到的商为,对于一个十进制数转换为R进制，其小数部分可写成,（2）乘基取整法,将上式两边都乘以R得到：,将小数部分乘以基数R，所得乘积的整数部分即为b-1。以此类推，将每次乘以基数得到的乘积的小数部分再乘以基数，直到小数部分为零；或小数部分不为零，但已满足误差要求进行“四舍五入”为止。用这种方法就可求出R进制小数的每一个系数。,【例】将十进制数（342.6875）10分别转换为二进制数、八进制数、十六进制数。,解： 整数部分,小数部分,得：,以小数点为界，将二进制数整数部分从低位开始，小数部分从高位开始，每4位一组，首尾不足4位的补零，然后 将每组4位二进制数用1位十六进制数表示。,2.3.2 二进制与十六进制间的转换,1. 二进制转换为十六进制,例： 将二进制数(10110100111100.01001)2转换为十六进制数。,解：,得,将1位十六进制数用4位二进制数表示。,2.十六进制转换为二进制,例： 将十六进制数(4FB.CA)16转换为二进制数。,解：,得,以小数点为界，将二进制数整数部分从低位开始，小数部分从高位开始，每3位一组，首尾不足3位的补零，然后 将每组3位二进制数用1位八进制数表示。,2.3.3 二进制与八进制间的转换,1. 二进制转换为八进制,例： 将二进制数(1111010010.01)2转换为八进制数。,解：,得,将1位八进制数用3位二进制数表示即可。,2.八进制转换为二进制,例： 将八进制数(6407.2)8转换为二进制数。,解：,得,二进制数的算术运算规则和十进制数基本相同，区别： “逢二进一”及“借一当二” 。,2.4 二进制数的算术运算,2.4.1 二进制数的基本运算,二进制加法的四条基本规则：,二进制减法的四条基本规则：,例：X=(1100)2 , Y=(0101)2 , 求X+ Y, X-Y, XY, XY。,解：,得,2.4.2 二进制数的原码、补码和反码,1. 补码（2的补码）,n位二进制数的原码为N，与其对应的补码定义为 N补=2n-N,例：N=1001，1001 补=24-1001=10000-1001=0111,2. 反码（1的补码）,n位二进制数的原码为N，与其对应的反码定义为 N反=(2n-1)-N,例：N=1001，1001 反=（24-1）-1001=1111-1001=0110,将原码的各位求反，则得到反码，将反码加1，则得到补码,2.4.3 带符号二进制数的算术运算,1. 带符号数的表示方法,带符号的二进制数：用二进制数码的最高位表示符号，0表示正，1表示负，其余各位表示数的绝对值。 正数的原码、反码和补码三种表示法一样：符号位为0，随后是二进制数的绝对值，即原码。 负数的原码、反码和补码三种表示方法分别为：符号位1加原码、符号位1加反码、符号位1加补码。,n位带符号二进制数可以表示的数值范围： 原码：-（2n-1-1）+（2n-1-1） 反码：-（2n-1-1）+（2n-1-1） 补码：-2n-1+（2n-1-1）,4位带符号数的原码、反码和补码,例： 写出带符号位二进制数00011010（+26）、10011010（-26）、00101101（+45）、和10101101（-45）的反码和补码。,原码 反码 补码 00011010（+26） 00011010 00011010 10011010（-26） 11100101 11100110 00101101（+45） 00101101 00101101 10101101（-45） 11010010 11010011,解：,2. 用反码和补码进行加/减运算,(1) 反码运算,X1反+X2反=X1+X2反 两数反码之和等于两数之和的反码，符号位参加运算。需循环进位。,(2) 补码运算,X1补+X2补=X1+X2补 两数补码之和等于两数之和的补码，符号位参加运算。不需循环进位。,【例】用二进制反码求26-21和21-26，二进制字长为8位。,得 26-21反=26反+-21反=00000101=00000101反 21-26反= 21反+-26反=11111010=10000101反 (00000101)2=(5)10 (10000101)2=(-5)10 所以 26-21=5 21-26=-5,26反=00011010反=00011010 -21反=10010101反=1110101 21反=00010101反=00010101 -26反=10011010反=11100101 26反+-21反为 21反+-26反为,解：根据X1反+X2反=X1+X2反，得：,【例】用二进制补码求26-21和21-26，二进制字长为8位。,得 26-21补= 26补+-21补=00000101=00000101补 21-26补= 21补+-26补=11111011=10000101补 (00000101)2=(5)10 (10000101)2=(-5)10 所以 26-21=5 21-26=-5,解：根据X1补+X2补=X1+X2补，得：,26补=00011010补=00011010 -21补=10010101补=11101011 21补=00010101补=00010101 -26补=10011010补=11100110 26补+-21补为 21补+-26补为,编码：用文字、符号或数码表示特定的对象。数字系统中常用的是二进制编码。,2.5 几种常用的编码,n位二进制有2n个状态，将这些状态按转换为十进制数的大小排列，就构成了n位自然二进制码。,1 自然二进制码,2 二-十进制码（BCD码）,用二进制码表示十进制码，需四位二进制码，可以组成十六个状态，舍去其中的六个，即可构成多种BCD码。常用的有8421码、2421码、5421码、余3码等。,用四位二进制代码表示一位十进制数，从高位到低位各位的权分别为8、4、2、1。 它只选用了四位二进制码中前10组代码，即用00001001分别代表它所对应的十进制数，余下的六组代码不用。,（1） 有权码 BCD8421码,用四位二进制数代表一位十进制数。从高位到低位的权值分别为5、4、2、1和2、4、2、1。 具有多值性，常用的BCD2421码有两种。表中所列为公认的编码，虽有多值性，但不再写成其他的形式。 BCD2421*码具有对9互补的特点 (即只要对某一组代码各位取反就可以得到9的补码) 。,5421BCD码和2421BCD码,余三码代表的数值可按BCD8421码的权计算，然后减去3。 余三码的两数相加时，如有进位，正好可以从最高位二进制码获得进位信号。 余3码也具有对9互补的特点，它也是一种对9的自补码。,（2） 余三码偏权码,（3） 余三循环码变权码,相邻的两个代码之间仅有1位的状态不同,各种常用的BCD编码,相邻两个代码之间仅有一位不同，且以中间为对称的两个代码也只有一位不同。 优点是在数码变换过程中不产生瞬时错误。,3 循环码无权码