[工学]第7章正弦稳态分析.ppt

第7章 正弦稳态分析,正弦电路中，当电路进入稳态后，电路中任意电压或电流均随时间按与激励同频率的正弦规律变化。处于正弦稳态的电路称正弦稳态电路，分析和求解正弦稳态电路的响应称为正弦稳态分析。,在微分方程中，稳态就是微分电路方程的特解。这里介绍另一种方法求特解，就是相量法求解。,7.1 正弦量,正弦量的三要素。正弦量可以用正弦函数表示，也可以用余弦函数表示。这里采用用余弦函数来表示正弦量。,在选定参考方向和计时起点后，正弦量的瞬时值表达式为：,式中Fm为振幅，为角频率，,为初相位，,称为相位。,初相位（简称初相）的大小不大于。,正弦量是周期性函数。正弦量完成一次循环的时间称为周期，用T表示，单位是秒。周期的倒数就是频率，即1秒种时间内所完成循环的次数，单位是赫兹（Hz）。角频率是1秒时间里所转过的角度，它与频率、周期满足下面式子。,也就是说，只知道振幅、初相、频率或周期或角频率，就可写出正弦量的表达式。这三个量，称为正弦量的三要素。,正弦量f(t)的波形如图7-1所示。,例7-1 试求正弦量,的振幅Fm、初相,和频率f。,解：先将其化为标准式,即振幅Fm100，初相是,，角频率是100，即频率是f=50Hz。,正弦量的相位差,设两个正弦量：,其相位差为：,注意相位差要满足：,若,，说明u1(t)超前u2(t)。,，说明u1(t)与u2(t)同相。,，说明u1(t)滞后u2(t)。,，说明u1(t)、 u2(t)反相。,，说明u1(t)、u2(t)正交。,例7-2 已知正弦电压,正弦电流,试求各正弦量间的相位差。,解：,电压u1和u2相位差为：,说明电压1超前电压2。,电压u1与电流i3之间的相位差：,说明电压1滞后电流，二者正交。,电压u2与电流i3之间的相位差：,注意到相位差的取值，实际上是,电压超前电流。,正弦量的有效值。,周期信号的有效值是根据其本身的热效应来确定。对于正弦交流电流，将其流过某电阻R，在某段时间内产生热量与通过该电阻的直流电流I在相同的时间里产生的热量相同，我们说这个交流电的有效值就是I。,下面以一个周期T产生热量进行计算。,设正弦交流电为：,，则其有效值为：,同时交流电压的有效值与幅值之间也满足上面的关系。,交流电压、电流的瞬时表达式可以写成：,7.2 正弦量的相量表示法,对一个复数A，其表达形式有以下4种。,分别是直角坐标形式、三角形式、指数形式、极坐标形式。,其中,称为模，,称为幅角。,对于含时的复数,，其三角形式为：,可见，正弦量,与复数有关，,它是上面复数的实部。记为：,其中，,也是一个复数，它反映正弦量的模和初相位。,通常在频率已知的情况下，若求出振幅、初相位，就能得到正弦量的瞬时表达式。我们将从正弦交流电中得到的复数称为相量。反映复数的平面我们称为复平面；反映相量的平面称为相平面。如图7-3、图7-4所示。,复数,的模为1,它与时间有关，我们称之为单位旋转相量。,相量乘以旋转相量，它就可在相量图中旋转起来。如图7-5所示。,相量只是反映正弦交流电的振幅（或有效值）、初相位的关系，并不等于正弦量，它们之间只是一种对应关系。,例7-3 已知正弦电流和电压分别为：,试写出它们对应的相量，并画出相量图。,解：先将它们化为标准的正弦量表达式，然后才写出它们对应的相量。,所以其对应的相量为：,所以，其对应的相量为：,相量图如图7-6所示。,例7-4 已知同频正弦电压相量为：,频率f=50Hz。写出它们对应的瞬时值表达式。,解：先将其化为极坐标形式。,所以，它们对应的瞬时值表达式为：,7.3 正弦稳态电路的相量模型,基尔霍夫定律的相量形式,对于KCL，其表达式为：,在正弦交流电路中，基尔霍夫定律也是成立的。,上式可改写为：,即有：,同样对KVL，我们也可得到其相量形式有表达式：,例7-5 如图7-7(a)所示电路节点上有：,试求电流i3(t)，并作出电流相量图。,解：利用相量法求解。,利用相量形式下的KCL，有：,其瞬时值表达式为：,其相量图如图(b)所示：,例7-6 如图7-8所示电路中，已知：,，,。,求电压u(t)。,解：利用相量法求解。,所以其瞬时电压表达式为：,电路元件的伏安关系的相量形式,设：,则有：,即：,电容元件的VCR的相量形式,对于图7-10所示的电容元件有：,设：,则：,即有：,注意,说明：,对比电阻的欧姆定律，,称为容抗，单位也是欧姆。,容抗的倒数称为容纳。用BC表示。,电容的相量形式电路如图所示：,电感元件伏安特性的相量形式,电感的伏安特性为：,在正弦稳态交流电路中，电感的电压与电流可设为：,则：,即：,上式可表示为：,同样,称为感抗，用XL表示；,其感纳为,电感相量形式的电路图如图所示：,例7-7 在图7-12所示正弦稳态电路中，已知,试求电感两端的电压u(t)。,解：,所以：,例7-8 在图7-13所示正弦稳态电路中，已知,L10mH，C50F。试求电流i(t)。,解：,利用R、L、C元件的VCR的相量形式，可得各支路的电流相量。,由KCL的相量形式可得：,电流i(t)为：,7.4 阻抗与导纳,图7-14(a)所示，N0为正弦稳态电路中的无源二端网络，其端口电压如图所示，则端口的电压相量与电流相量之比为一个阻抗，我们用Z或Y来表示。,显然Z和Y都是复数，单位分别是和S，称为（复）阻抗和复导纳。定义：,其中R是等效电阻，X称为电抗；G是导纳，B是电纳。,复阻抗的表示形式与复数一样，都有四种形式，常用的有代数形式和极坐标形式。阻抗的大小、电阻、电抗组成一个直角三角形。对复导纳也有相同的结论。,对于复导纳有：,电阻与导纳、电抗与电纳的关系：,例7-9 在图7-15(a)所示电路中，已知端口的电压与电流分别为：,求该端口的输入阻抗、导纳及其等效电路。,解：,相当于一个4电阻，串联一个感抗为3的电感，电感的大小为0.03H,相同于一个0.16S的电导（电阻等于6.25），并联一个导纳为0.12的电感（电感大小为0.083H）。,对于R、L、C串联电路，如图7-16(a)所示。,其相量形式电路如图(b)所示。,其阻抗为：,当XLXC0时，我们说电路是感性电路，电压相位超前电流；若XLXC0，电路为容性电路，电压相位滞后电流；等于0时，电路为纯电阻电路，电压与电流同相。,由于：,电压三角形与阻抗三角形是相似三角形。,例7-10 在图7-18(a)所示RLC串联电路中，已知R100，L20mH，C1F，端电压,试求电路中的电流和各元件的电压。,解：先画出其相量形式下的电路图。,电流和各电压的瞬时量表达式为：,例7-12 电路如图7-19所示，已知R18，XC16，R23，XL24，R35，XL310。求电路的输入阻抗Zab。,解：先写各部分的阻抗。,阻抗的计算与电阻的计算形式相同。,7.5 正弦稳态电路的相量分析法,对于正弦稳电路的分析，由于采用了相量法，使得电路变成线性电路，只不过这是在复平面运算。前面直流电路的方法、定理同样适用于正弦稳态相量形式下的电路。,例7-13 在图7-20(a)所示电路中，已知,求电感电流,和电容电压,。,解：首先将电路图变成相量形式的电路，如图(b)所示。利用网孔电流法求解。,例7-14 电路如图7-21所示，试求电压,。,解：采用节点电压法求解。选择如图参考点。,所以：,例7-15 电路如图7-22(a)所示，试求电流相量,。,解：利用戴维南定理求解。,开路电压的求解，电路如图(b)所示。,求等效阻抗时，采用电路图（c）。,所以：,回到图(d)，求得：,例7-16 在图7-23所示的电路相量模型中，N0为R、L和C组成的无源线性网络。已知如图7-23(a)，当,，,端开路时，,；现如图7-23(b)所示，,又将,的电流源接于,，试求电压相量,。,解：对于图(b)，可用叠加定理求，当电流源单独作用的电压，然后再叠加。,作用时，产生的电压为,；当,单独作用时，,利用互易定理及线性网络的齐次性，有：,所以该电压相量为：,7.6 正弦稳态电路的功率,正弦稳态电路中，无源二端网络如图7-24(a)所示，其端口电压和电流参考方向为关联方向。,则该网络吸收的瞬时功率为：,平均功率是我们讨论的，其值等于：,实际上，电阻、电容、电感这三种元件，只有电阻才是消耗功率的，其他两种分别储备电场能和磁场能。,例7-17 图7-26所示电路是三表法测量实际电感线圈的电感与电阻参数值。已知外加正弦电压的频率为50Hz，电压表读数为100V，电流表读数为1A，瓦特表读数为80W。试求R和L的值。,解,对于一般的二端网络，可等效为一个电阻R和一个电抗X串联。故二端网络吸收的瞬时功率（平均功率）应等于等效阻抗中电阻和电抗吸收的瞬时功率（平均功率）的和。电阻R吸收的平均功率为：,这部分功率是做功的，称为有功功率用P表示，单位为瓦特（W）。,电抗吸收的瞬时功率为：,电抗吸收的平均功率为0。由于电抗瞬时功率的最大值是,这部分功率是电抗占用的，并不做功，我们定义这个功率为无功功率，用Q表示，单位为乏（Var）。,而端口电压与电流的积定义为视在功率，用S表示，即SUI。视在功率又称铭牌功率或设备的容量。,于是有：,定义功率因数（PF或pf，用表示）：,复功率,复功率的定义为：,从上式我们看出，在电路中，有功功率可以相加，无功功率也可以相加。,例7-18 电路相量模型如图7-28所示，已知端口电压的有效值U100V。,试求该二端网络的P、Q、S、,和PF。,解：设,二端网络端口的等效阻抗为：,因此：,所以P800W，Q600Var。S1000VA。电路为容性电路。,例7-19 如图7-29所示，已知一感性负载接在电压U220V、频率f=50Hz的交流电源上，其平均功率P1.1kW，功率因数PF0.5。现欲并联电容使功率因数提高到0.8（滞后），求需接多大的电容C？,解：设,并联电容前端口电流为I,由功率因数PF0.5，可知感性负载的阻抗角为,此时电流为：,并联电容后，端口电流的大小为：,此时，端口等效阻抗的阻抗角为：,电容的电流大小为：,电容器的大小为：,例7-20 电路如图7-30所示，试求两负载吸收的总复功率，并求输入总电流和总功率因数。,解：分别计算两负载的无功功率，注意电容的无功为负，电感的无功为正。,总有功功率为P25kW,总无功功率为Q12500Var,复功率为：,总视在功率,总功率因数,（滞后，感性负载）,最大功率传输,正弦稳态电