大学数学实验报告-迭代(一)——方程求解.doc

数 学 实 验报 告实验五 迭代（一）方程求解学院：数学与信息科学学院 班级：09级数学（4）班姓名：*学号：*实验五 素数实验名称迭代（一）方程求解实验目的用迭代法求解方程及线性方程组实验环境Mathematica4.0系统实验的基本理论与方法1、 方程求根给定实数域上光滑的实值函数f(x)以及初值定义数列 （1）称为f（x）的一个迭代序列。给定迭代函数f(x)以及一个初值利用（1）迭代得到数列如果数列收敛于一个，则有. （2）即是方程x=f(x)的解。由此启发我们用如下的方法球方程g(x)=0的近似解。将方程g(x)=0改写为等价的方程x=f(x), （3）然后选取一初值利用（1）做迭代。迭代数列收敛的极限就是方程g(x)=0的解。2、 线性方程组的迭代求解给定一个n元线性方程组 （6）或写成距阵的形式Ax=b, (7)其中是n阶方程， 及均为n维列向量。熟知，当距阵A的行列式非零时方程（7）有唯一的解。迭代法是求解这些问题的有效方法之一。用迭代的方法求解线性方程组的思想与上节介绍的方程求解的方法是类似的。假设我们可以将方程组（7）改写成x=Mx+f其中是n 阶距阵，是n维列向量。任意给定初始向量，由迭代 （9）确定向量序列如果收敛到向量，则有即是方程组（7）的解。实验的内容与步骤一、方程求根1、考察用迭代函数f(x)=2sin(x)求解方程g(x)=2sin(x)-x=0的解的情况。（1）在同一直角坐标系中，画出y=f(x)及y=x的图像。从图上观察，方程x=2sin(x)有几个解？在计算机中打开Mathematica4.0系统；点击鼠标进入工作区后，输入以下语句 按Shift和Enter键运行。 运行结果： 3、素数的判别(1)对n=2,3, ,100,观察2n-1被n整除所得的余数；再取其他的整数m（如3，4，5），观察mn-1被n整除的情况：观察当n为素数时的结果。m=2时输入程序：运行结果：从运行结果可以发现:当n为素数时，2n-1被n整除所得的余数都是1。m=3时输入程序：运行结果：m=4时输入程序：运行结果：（2）对n=2,3,.,300,判断哪些Mersenne数Mn=2n-1是素数？输入程序：运行结果：二、素数的分布1、素数沿数轴的分布将素数从小到大排序.用表示相邻的素数间的间隔.计算并画图100以内的素数的间距求出的程序如下：运行结果：n=1000时画出（pn,dn）的图：t:= TablePrimei,Primei+1-Primei,i,1,1000ListPlott,PlotStyleRGBColor1,0,0n=10000时画出（pn,dn）的图：t:=TablePrimei,Primei+1-Primei,i,1,10000ListPlott,PlotStyleRGBColor1,0,02、在二维坐标平面上标出点列观察趋于无穷的趋势,并和函数y=x,以及比较.类似观察,以及, ,和。输入程序：运行结果：对任意整数n(1n1000000),计算, , 看看哪个更接近？运行结果;得到的结果和结果分析在本实验中，我们用两种方法来求素数，即Eratosthenes筛法和试除法。了解了其思想方法，通过比较发现Eratosthenes筛法比试除法的时间要快，故而可得Eratosthenes筛法比试除法要好！若n为素数, 并且m 与n 互素 ,则m（n 1）被n整除所得的余数都是1. 当n是合数时，它的Mersenne数一定是合数；当n为素数时，它的Mersenne数却不一定是素数。当变量的个数越多，变量的次数越高，能拟合出的素数的个数就越多。那么就应该存在这样一个整系数多项式，其正值构成的结合恰好是素数的全体。我们通过对素数分布的观察，发现素数的分布很不