[工学]计算机控制系统仿真第4章.ppt

第4章 控制系统数学模型及其转换,在线性系统中，常用的数学模型有微分方程模型、传递函数模型、状态空间模型以及零极点模型等。不同的模型应用于不同的场合。掌握模型间的转换才能灵活应用各种数学模型。本章将主要介绍系统数学模型及转换、系统环节模型的连接及标准型实现等内容。,4.1 控制系统类型,1 连续系统和离散系统,2 线性系统和非线性系统,3 时变系统和定常（时不变）系统,4 确定性系统和随机系统,4.2 控制系统常用数学模型,4.2.1 连续系统数学模型,1系统微分方程形式模型,对于线性定常单入单出(简称SISO)系统 ，可用以下方程描述：,2系统传递函数形式模型,零初始条件下，系统输出的拉氏变换 与输入的拉氏变换 之比.,在MATLAB中，微分方程和传递函数都可以用分子、分母多项式系数向量表示,这里分子、分母多项式系数向量中的系数均按 s 的降幂排列。用printsys( ), tf( )来建立传递函数的系统模型，其基本格式为,（注：printsys只能在命令窗口中显示模型，不能将模型输入到workspace中）,例： 已知系统的传递函数如下，利用MATLAB建立其相应的传递函数系统模型。,运行命令:,example4_01.m,结果为:,3系统的零极点（ZPK）形式模型,在MATLAB中零极点可以分别表示为,使用zpk( )函数建立零极点形式的系统模型，其基本格式为,如果已知传递函数，可用求根函数求零点向量z和极点向量p,例：已知系统传递函数如下,应用Matlab语言建立系统的零极点形式模型。,运行命令：,结果为：,例：将如下传递函数表示成零极点形式,example4_02.m,4系统的部分分式形式,可以将传递函数表示成部分分式或留数形式：,R,P,K=residue(num,den),使用求留数的命令,例：将如下传递函数表示成部分分式形式,example4_03.m,显示结果： R = 2.5000 -10.0000 7.5000 P = -3.0000 -2.0000 -1.0000 K = ,运行程序： num=5 20; den=1 6 11 6; R,P,K=residue(num,den),这表示:,5系统的状态空间（state space）模型,在MATLAB中建立系统状态空间模型的函数格式,例：某线性定常系统的状态空间表达式如下，请在MATLAB 的workspace中建立模型。,运行命令：,运行后显示：,4.2.2 离散系统数学模型,离散系统常用的数学模型通常可以用差分方程、脉冲传递函数（或Z传递函数）、状态空间表达式三种形式对系统加以描述。,1系统差分方程形式模型,2系统的传递函数模型,这里分子、分母多项式系数向量中的系数仍按的降幂排列,在MATLAB中用系数向量表示：,函数tf( )，printsys()也可建立脉冲传递函数的系统模型，其格式为,其中，Ts为系统采样周期。,对于离散系统，也可以用zpk( )函数建立零极点模型，基本格式为,（注：printsys只能在命令窗口中显示模型，不能将模型输入到workspace中）,3系统的零极点模型,4系统的状态空间模型,在MATLAB中建立状态空间模型的函数格式,例：假设某离散系统的脉冲传递函数为,采样周期为 T=0.1秒，将其输入到MATLAB的workspace中，并且绘制零、极点分布图。并且将该离散系统脉冲传递函数模型转换成状态空间表达式。,输入下列语句,运行结果为,程序example4_04.m,计算机绘制出零极点分布图：,再输入：,显示：,再输入：,4.2.3 系统模型参数的获取,对于连续系统，调用函数:,对于离散系统，调用函数,v表示返回数据行向量，只适用于单变量系统,example4_05.m,模型表示函数小结,num,den： 微分方程和传递函数模型 tf(num,den)： 传递函数模型 zpk(z,p,k )： 零极点增益模型 ss(A,B,C,D )： 状态空间模型,num,den： 差分方程和脉冲传递函数模型 tf(num,den,Ts)： 脉冲传递函数模型 zpk(z,p,k,Ts )： 零极点增益模型 ss(A,B,C,D,Ts )： 离散状态空间模型,4.3 系统数学模型的转换,4.3.1 系统模型向状态方程形式转换,利用MATLAB函数可将系统模型转换为状态方程形式，函数格式为,（注意：在英语中，2和to谐音）,将任意线性定常系统sys转换成状态方程还可以用:,MATLAB命令：,【例4-2】 已知系统传递函数如下，应用MATLAB的函数将其转换为状态方程形式的模型。,example4_2.m,4.3.2 系统模型向传递函数形式转换,1状态空间模型向传递函数形式转换,MATLAB提供了函数ss2tf( )实现将状态空间方程转换为传递函数形式，基本格式为,其中，iu用于指定变换所使用的输入量，对于多输入系统是必须的。,还可以采用下面的方式，即,【例4-3】某线性定常系统的状态空间表达式如下，求该系统的传递函数。,编写m文件如下：,运行结果为,example4_3.m,例：某线性定常系统的状态空间表达式如下，求该系统的传递函数矩阵。,输入并且运行程序：,example4_06.m,上述输出的结果表明，传递函数矩阵为,运行结果：,2零极点增益模型向传递函数形式转换,函数格式,4.3.3 系统模型向零极点形式转换,MATLAB提供了实现系统模型向零极点形式转换的函数，其基本格式为,【例4-4】对于例4-3题中的线性定常系统，将其转换为zpk形式,编写m文件如下,运行结果为,例：某线性定常系统的状态空间表达式如下，将其转换成ZPK形式,输入并且运行程序：,计算机输出：,上述输出的计算结果表明，两输入单输出的传递函数矩阵的ZPK形式为：,4.3.4 传递函数形式与部分分式形式的转换,MATLAB函数residue( )实现极点留数的求取，其基本格式为,【例4-5】 某系统的传递函数如下，求它的部分分式形式。,编写m文件：,上述结果表示：,运行结果为：,如果此时在命令窗口中输入,则返回,可见，residue( )函数，既可以将传递函数形式转换成部分分式形式，也可以将部分分式形式转换成传递函数形式。,4.3.5 连续和离散系统之间的转换,如果对离散化处理结果提出具体的转换方式要求，则可以采用c2d( ) 或 c2dm( )函数进行，基本格式为,其中， Gc表示连续系统模型 Ts表示系统采样周期 method指定转换方式: “zoh”表示采用零阶保持器 “foh”表示采用一阶保持器,编写m文件：,【例4-6】 某连续系统的状态空间表达式如下，采用零阶保持器将其离散化，设采样周期为0.1秒，求离散化的系统方程。,运行结果：,结果表示离散化后的系统方程为:,模型转换的函数小结,residue：传递函数模型与部分分式模型互换 ss2tf： 状态空间模型转换为传递函数模型 ss2zp： 状态空间模型转换为零极点增益模型 tf2ss： 传递函数模型转换为状态空间模型 tf2zp： 传递函数模型转换为零极点增益模型 zp2ss： 零极点增益模型转换为状态空间模型 zp2tf： 零极点增益模型转换为传递函数模型,状态空间SS,传递函数tf,零极点ZP,极点留数,ss2tf,tf2ss,zp2ss,ss2zp,zp2tf,tf2zp,residue,ss2ss,4.4 控制系统模型的连接,系统模型连接的方式主要有串联、并联、反馈等形式。MATLAB提供了相应的模型连接函数。,4.4.1 模型串联,SISO系统串联,MIMO系统串联,等价为：,sys1 = ss(eye(3),InputName,C,B,A,OutputName,Z,Y,X); sys2 = ss(eye(3),InputName,A,C,B,OutputName,X,Y,Z); parallel(sys1,sys2,name),4.4.2 模型并联,SISO系统并联,MIMO系统并联,等价为：,【例】 已知两个系统的模型，利用MATLAB分别求出它们串联和并联后的传递函数阵。,其中，sys1:,sys2:,sys1=tf(2,1,2);%系统1 sys2=tf(3,1,5);%系统2 %串联连接 ss11=series(sys1,sys2) ss12=sys1*sys2 %并联连接 ss21=parallel(sys1,sys2,1,1,1,1) ss22=sys1+sys2,example4_07.m,【例】 已知两个系统的模型，利用MATLAB分别求出它们串联和并联后的传递函数阵。,其中，sys1:,sys2:,串联连接：,并联连接：,%系统的串联和并联连接 clc clear sys1=tf(2,1,2); %系统1的传递函数 G2=ss(-9 17;-1 3,0 -1;-1 0,-3 2;-13 18,-1 0;-1 0); sys2=tf(G2) %系统2的传递函数阵 disp(以下是串联系统的传递函数矩阵) ss1=series(sys1,sys2,1,1) %串联连接 disp(以下是并联系统的传递函数矩阵) ss2=parallel(sys1,sys2,1,1,1,1) %并联连接,example4_08.m,以下是系统2的传递函数矩阵 Transfer function from input 1 to output. -s2 - 8 s + 43 #1: - s2 + 6 s - 10 -s2 - 24 s + 69 #2: - s2 + 6 s - 10 Transfer function from input 2 to output. 3 s - 7 #1: - s2 + 6 s - 10 13 s - 21 #2: - s2 + 6 s - 10,系统2的传递函数矩阵,运行结果,系统1的传递函数,以下是串联系统的传递函数矩阵 Transfer function from input to output. -2 s2 - 16 s + 86 #1: - s3 + 8 s2 + 2 s - 20 -2 s2 - 48 s + 138 #2: - s3 + 8 s2 + 2 s - 20,以下是并联系统的传递函数矩阵 Transfer function from input 1 to output. -s3 - 8 s2 + 39 s + 66 #1: - s3 + 8 s2 + 2 s - 20 -s2 - 24 s + 69 #2: - s2 + 6 s - 10 Transfer function from input 2 to output. 3 s - 7 #1: - s2 + 6 s - 10 13 s - 21 #2: - s2 + 6 s - 10,思考:如何进行结构图化简？,4.4.3 反馈连接,对于SISO系统,其中，sign缺省时即为负反馈，sign=1时为正反馈。,对于MIMO系统,其中，feedin为sys1的输入向量，用来指定sys1的哪些输入与反馈环节相连接；feedout为sys1的输出向量，用来指定sys1的哪些输出端用于反馈。,【例4-7】 已知系统如图所示，利用MATLAB求出系统的状态空间表达式。,其中，sys1:,sys2:,编写m文件如下：,运行结果为：,表示该反馈系统的状态空间表达式为,4.5 系统模型的实现,根据状态空间表达形式不同，系统状态空间实现可分为：能控标准型实现，能观测标准型实现，对角线标准型实现，约旦标准型实现。,设系统的微分方程为,取状态变量为：,写成状态空间表达式形式为能控标准型：,4.5.1 能控标准型,如果系统微分方程为,写成状态空间表达式形式为能控标准型：,【例4-8】 已知系统的状态空间表达式如下，求线性变换，将其变换成能控标准形。,运行程序：,运行结果为：,判断系统的能控性，求特征方程,计算变换矩阵,输入程序：,计算结果为：,求能控标准形,计算结果为：,输入程序：,表明经过变换以后的状态方程为,4.5.2 能观测标准型,能控标准型的对偶系统就是能观标准型,4.5.3 对角线标准型,令状态变量,则,对角线标准型,4.5.4 标准型的实现,MATLAB中提供函数canon( )生成标准型状态模型，基本格式为,其中，sys表示原系统状态方程模型，字串type为标准类型选项: model 为对角标准型实现 companion为伴随标准型实现,【例4-9】 已知系统传递函数如下，用不同状态空间实现函数进行转换。,m文件如下：,运行该m文件后，对于同一传递函数的系统得出以下4种状态空间表达式,G1:,G2:,G3:,G