冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题19数列通项与求和问题含解析.docx

专题19 数列通项与求和问题【自主热身，归纳提炼】1、 等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则 .【答案】【解析】由于，故，而，故，则 .2、对于数列an，定义数列bn满足bnan1an(nN*)，且bn1bn1(nN*)，a31，a41，则a1_.【答案】 8【解析】：因为b3a4a3112，所以b2a3a2b313，所以b1a2a1b214，三式相加可得a4a19，所以a1a498. 3、设公比不为1的等比数列an满足a1a2a3，且a2，a4，a3成等差数列，则数列an的前4项和为_【答案】： 解后反思 本题主要考查等差中项和等比中项的性质及应用，体现了等差数列和等比数列的基本量的计算问题中的方程思想，等比数列的求和要注意公比是否为1.:4、已知等比数列an的前n项和为Sn，若S22a23，S32a33，则公比q的值为_【答案】：. 2当q1时，显然不满足题意；当q1时， 整理得解得q2.5、 记公比为正数的等比数列an的前n项和为Sn.若a11，S45S20，则S5的值为_【答案】： 31【解析】：设公比为q，且q0，又a11，则anqn1.由S45S20，得(1q2)S25S2，所以q2，所以S531.解后反思 利用S4(1q2)S2，可加快计算速度，甚至可以心算6、设数列的前项和为，若，则数列的通项公式为 【答案】： 7、 已知数列an满足a11，a2a1，|an1an|2n(nN*)，若数列a2n1单调递减，数列a2n单调递增，则数列an的通项公式为an_.【答案】【解析】：因为|an1an|2n，所以当n1时，|a2a1|2.由a2a1，a11得a21.当n2时，|a3a2|4，得a33或a35.因为a2n1单调递减，所以a33.当n3时，|a4a3|8，得a45或a411.因为a2n单调递增，所以a45.同理得a511，a621.因为a2n1单调递减，a110，所以a2n10.所以当n为奇数时(n3)，有anan12n1，an1an22n2.两式相加得anan22n2.那么a3a12；a5a323；anan22n2.以上各式相加得ana1(223252n2)所以ana1.同理，当n为偶数时，an.所以an也可以写成an.【问题探究，变式训练】例1、已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1b12，a4b421，S4b430.(1) 求数列an和bn的通项公式；(2) 记cnanbn，nN*，求数列cn的前n项和【解析】： (1) 设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由a1b12，得a423d，b42q3，S486d.(3分)由条件a4b421，S4b430，得方程组解得所以ann1，bn2n，nN*.(7分)(2) 由题意知cn(n1)2n.记Tnc1c2c3cn.则Tn22322423n2n1(n1)2n，2Tn222323(n1)2n1n2n(n1)2n1，所以Tn22(22232n)(n1)2n1，(11分)即Tnn2n1，nN*.(14分)【变式1】、在数列中，已知，设为的前项和（1）求证：数列是等差数列；（2）求 证明 （1）因为，所以，又因为，所以，所以是首项为1，公差为的等差数列（2）由（1）知，所以，所以，所以，两式相减得，所以【变式2】、已知数列的前项和为，且（）（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的通项公式解 （1）由，得两式相减，得，所以，由又，得，所以数列为等比数列，且首项为2，公比，所以（2）由（1）知由()， 得()故，即 当时，所以【关联1】、数列an的前n项和为Sn，a12，Snan(rR，nN*)(1) 求r的值及数列an的通项公式；(2) 设bn(nN*)，记bn的前n项和为Tn.当nN*时，T2nTn恒成立，求实数的取值范围；求证：存在关于n的整式g(n)，使得(Ti1)Tng(n)1对一切n2，nN*都成立思路分析 (1) 利用关系式an将an与Sn的关系转化为an与an1的关系，再利用累乘法求an的通项公式；(2) 利用数列T2nTn的单调性求T2nTn的最小值即可；利用条件得到Tn与Tn1的关系，通过变形，化简和式(Ti1)，即可证得命题规范解答 (1) 当n1时，S1a1，所以r，(2分)所以Snan.当n2时，Sn1an1，两式相减，得ananan1，所以(n2)(4分)所以，即.所以ann(n1)(n2)，又a12适合上式所以ann(n1)(nN*)(6分)(2) 因为ann(n1)，所以bn，Tn.所以T2n，所以T2nTn.(8分)令BnT2nTn.则Bn1.所以Bn1Bn0，所以Bn1Bn，所以Bn单调递增，(10分)(Bn)minB1，所以.(12分)因为Tn.所以当n2时，Tn1，所以TnTn1，即(n1)TnnTn1Tn11.(14分)所以当n2时，(Ti1)(3T22T1)(4T33T2)(5T44T3)(n1)TnnTn1(n1)Tn2T1(n1)Tn1，所以存在关于n的整式g(n)n1，使得(Ti1)Tng(n)1对一切n2，nN*都成立(16分)解后反思 本题以an与Sn的关系为背景，考查了数列的通项、求和、数列的单调性，考查学生利用数列知识解决数列与不等式的综合问题的能力，以及代数变形与推理论证能力【关联2】、已知各项是正数的数列an的前n项和为Sn.(1) 若SnSn1(nN*，n2)，且a12.求数列an的通项公式；若Sn2n1对任意nN*恒成立，求实数的取值范围(2) 已知数列an是公比为q(q0，q1)的等比数列，且数列an的前n项积为10Tn.若存在正整数k，对任意nN*，使得为定值，求首项a1的值. (1) 利用anSnSn1(n2)，得到an1与an的关系，并特别注意式中的n2.对于n1的情况必须单独处理由3(S2S1)a2及a12，得3(4a2)a2，即a3a2100.结合a20，解得a25，满足a2a13.(3分)所以对nN*，均有an1an3，即数列an是首项为a12，公差为3的等差数列，数列an的通项公式为an3n1.(5分)由知，Sn，所以对nN*恒成立(6分)记f(n)，nN*.考虑f(n1)f(n).(8分)当n3时，f(n1)f(n)，且f(1)，f(2)，f(3).所以f(n)maxf(3)，从而.所以实数的取值范围是.(11分)Tnnb1dn2n，记A0，Bb1，则TnAn2Bn.所以.因为对任意nN*，为定值，所以也为定值设，则A(k1)AknBB0对nN*恒成立所以由得，代入得B0.(15分)即b1d，即lga1lgq，得a1.(16分)【关联3】、已知数列满足，数列的前项和为（1）求的值；（2）若 求证：数列为等差数列； 求满足的所有数对【思路分析】（1）直接令得到关系式，两式相减，求出的值（2） 分别赋值，得到关系式，两式相减，得到，结合，计算出，从而求，代入关系式，得出，利用定义法证明为等差数列（3） 求和得到，代入关系式整理得，需要转化两个因数相乘的形式，变形处理，利用平方差公式得到，因为且均为正整数，则两个因数只能为27和1，从而求出的值.规范解答 （1）由条件，得，-得 3分（2）证明：因为，所以，-得， 6分于是，所以，从而 8分所以，所以，将其代入式，得，所以（常数），所以数列为等差数列 10分注意到，所以， 12分由知 所以，即，又，所以且均为正整数，所以，解得，所以所求数对为 16分例2、 正项数列的前项和满足: （1）求数列的通项公式； （2）令,数列的前项和为.证明:对于任意的,都有.解 （1）由,得. 由于是正项数列，所以. 于是时,. 综上，数列的通项.（2）证明 由于，则. 所以 .【变式1】、数列的前项和为，.（1）求的值及数列的通项公式；（2）设，记的前项和为.当时，恒成立，求实数的取值范围；求证：存在关于的整式，使得对一切都成立.（2）因为，所以，所以.所以，所以.令，则.所以.所以，所以单调递增.所以的最小值为，所以.因为，所以当时，所以即当时所以存在关于的整式使得对一切都成立【变式2】、已知数列an满足a110，an10an1an10(nN*)(1) 若an是等差数列，Sna1a2an，且Sn10Sn1Sn10(nN*)，求公差d的取值集合；(2) 若b1，b2，bk成等比数列，公比q是大于1的整数，b110，b220，且b1b2bk2017，求正整数k的最小值；(3) 若a1，a2，ak成等差数列，且a1a2ak100，求正整数k的最小值以及k取最小值时公差d的值(3) a1a2ak10kd100，所以d.(11分)由题意|d|an1an|10，所以10.(13分)所以k2k202kk2k，所以k4，所以kmin4.(15分)此时d10.(16分)解后反思 本题第(2)问在原题上有所改动，原题如下：(2) 若a1，a2, ，ak成等比数列，公比q是大于1的整数，且a1a2ak2017，求正整数k的最小值原题的漏洞在于an102n1以指数级上升，条件中的an1an【变式3】、已知Sn是数列an的前n项和，a13，且2Snan13(nN*)(1) 求数列an的通项公式；(2) 对于正整数i，j，k(ijk)，已知aj，6ai，ak成等差数列，求正整数，的值；(3) 设数列bn前n项和是Tn，且满足：对任意的正整数n，都有等式a1bna2bn1a3bn2anb13n13n3成立. 求满足等式的所有正整数n. (1) 当n2时，SnSn1an，得到an1与an的关系式；(2) 在等式3j3k123i两边同除以3i或3j；(3) 先求出bn2n1，Tnn2.再试算的前几项，猜出【答案】，并证明结论规范解答 (1) 2Snan13，2Sn1an3(n2)，两式相减，得2anan1an.即当n2时，an13an.(2分) 由a1S13，得6a23，即a29，满足a23a1.所以对nN*，都有an13an，即3.所以数列an是首项为3，公比为3的等比数列，通项公式an3n.(4分)(2) 由(1)，