[理学]ch7特征值与特征向量.ppt

第七章 方阵的特征值与相似对角化,一 特征值与特征向量,三 实对称阵的相似对角化,二 相似矩阵,引入特征值与特征向量的动机,1. 旋转变换的轴,2. 椭圆的轴,3. 矩阵对角化,4. 研究线性变换,特征值与特征向量的引入,定义,为阶方阵，x为向量,称为一个从x到y的,一般来说，x,y没有太多关系。但有时它们成比例。,的线性变换。,特征值与特征向量的概念,定义,为阶方阵，,是一个关于,称为的特征方程，,的n次多项式，称为A的特征多项式。,的根称为的特征值.,解,例1,定义,为阶方阵,为特征值，,为维非零向量，,若,则,称为的对应特征值的特征向量,解,例1,矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值的,事实: 阶上三角阵,解,得基础解系为：,注,2 并不一定唯一；,3 阶方阵的特征方程 ，是以,1 特征向量 ，特征值问题只针对与方阵；,性质7-1,阶方阵有且只有n个特征值（k重特征值算k个）,为未知数的一元次方程,属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量.,4 一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值,求矩阵特征值与特征向量的步骤：,小结,性质72,设阶方阵 的特征值为,则,证明,当 是的特征值时，的特征多项,式可分解为,令,得,即,方阵A可逆 A的特征值都不为零。,推论71,证明,它的展开式中，主对角线上元素的乘积,是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至,多含个主对角线上的元素，,含 的项只能在主对角线上元素的乘积项中,故有,比较，有,因此，特征多项式中,定义,方阵的主对角线上的元素之和称为方阵的迹.,记为,例如,所以,的三个特征值,例 P113 #5,若非零向量p满足,性质73,则,是A的特征值，p是A的特征向量。,例： 方阵A的每行元素的和为3, 则3为特征值。,证明,因为,所以,所以,是 的特征值，p是 的特征向量。,为 的特征值,例,若数为可逆阵的的特征值，,为 的特征值,则0为A的特征值。,例,三、应用举例,、若为可逆阵的特征值，则,的一个特征值为（ ）,、若方阵的满足 ，则的特征值为或,、三阶方阵的三个特征值为、，则,（ ）,证明,用A作用得即,二、特征值和特征向量的性质,即,四、特征向量的性质,定理7-1P112,互异特征值对应的特征向量线性无关。,定理7-2,互异特征值对应的各自线性无关的特征向量并,在一块，所得的向量组仍然线性无关。,定理7-4P116,方阵的特征值,为k重特征值，则其,对应的线性无关的特征向量的个数至多为k个,第二节、相似矩阵,性质 1.,证明,推论 若 阶方阵A与对角阵,推论 相似方阵有相同的行列式和迹 P118 #1,2,相似变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算,利用对角矩阵计算矩阵多项式,定理,证明,证明,三、相似变换将方阵对角化,推论 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似,说明 如果A的特征方程有重根，此时不一定有n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化. 但如果能找到 n个线性无关的特征向量，A还是能对角化,定理,互异特征值对应的各自线性无关的特征向量并,在一块，所得的向量组仍然线性无关。,定理75P117,若阶矩阵的任k重特征值,对应的,线性无关的特征向量的个数正好为k，,则A与对角阵相似(可相似对角化)。这是充要条件。,定理7-4P116,方阵的特征值,为k重特征值，则其,对应的线性无关的特征向量的个数至多为k个,例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？,解之得基础解系,故 不能化为对角矩阵.,解,解之得基础解系,所以 可对角化.,注意,即矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应,推论 如果A有n个线性无关的特征向量，则A与对角阵相似,定理1 对称矩阵的特征值均为实数.,证明,第三节、对称矩阵的相似对角化,说明：本节所提到的对称矩阵，均指实对称矩阵,证明,于是,利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵步骤为：,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法,1.,解,例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵.,(1)第一步 求 的特征值,第三步 将特征向量正交化,第四步 将特征向量单位化,注意各特征值的排列顺序,思考题,思考题,2. 对称矩阵的性质：,三、小结,(1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值,3. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,(1)求特征值，特征向量；(2)将特征向 量标准正交化，（3）写出P,与对角阵,1. 方阵可对角化的充要条件是：有n个线性无关的特征向量。,英国数学家 A.Cayley（1821-1895) 一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。 1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文矩阵论的研究报告，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文。,1855 年，埃米特 (C.Hermite,1822-1901) 证明了别的数学家发现的一些