[研究生入学考试]线性代数.ppt

定理1 n阶矩阵可逆的充分必要条件是它可以表示为一些初等阵的乘积。,证：必要性：,由上一节知道，若A可逆，则经过若干次的初等变换可 化为I，即存在初等阵P1，Ps，Q1，Qt使得,P1PsAQ1Qt=I,由于初等阵的逆矩阵仍是初等阵，故A是初等阵乘积。,充分性：因初等阵可逆，故它们的乘积也可逆。,第三节 用初等变换求逆矩阵、矩阵的秩,一种求逆矩阵的方法：,若A可逆，则A-1也可逆，由上述定理，存在初等阵 G1，G2，Gk使得,（1）表明A仅经过行初等变换化为I，（2）表示I经过 同样的行初等变换化为A-1。,因而 （A I）,行初等变换,（I A-1）,一般做法是先将（AI）中的A用行初等转换化为上三角阵，再用 行初等变换为单位阵。,但也可以用不同的做法。,可验证,定义1 设A是m n矩阵，从A中任取k行k列（k min m，n）， 位于这些行与列相交处的元素，保持原来的相对位置所构成的k阶行 列式，称为A的一个k阶子式。,第八节 矩阵的秩,若A=0，它的任何子式为零。,若A0，它至少有一个元素不为零，即至少有一个 一阶子式不为零。,再考察二阶子式， 若有不为零的二阶子式，再考察三阶子式。 依次类推，可找到非零子式的最高阶数r。,一阶子式10,三阶子式全为零。故 r=2。,定义2 设A为mn矩阵。若A中不为零的子式的最高阶数为 r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为零，则称 r为A的秩。,记为 r（A）=r 或 rank（A）=r,当A=0时，规定r（A）=0,显然，r（A）=r（AT）,0rmin（m，n）,有 r（A）=2,而B没有三阶子式，故 r（B）=2。,若r（A mxn）=m，称A为行满秩阵。,若r（A mxn）=n，称A为列满秩阵。,若r（A nxn）=n，称A为满秩阵。,或者,是可逆矩阵，也是满秩矩阵。,由定义求行、列数较大的矩阵的秩很不方便,定理1 矩阵经过初等变换后，秩不变。,已经知道矩阵经过初等变换可以化为,的形式。,而r（D）=r。,这样，可以 利用初等变换求出矩阵的秩。,实际上，上面每一步所得的矩阵的秩是相同的，,只要能看出秩，就不必做到最后一步！,最后的矩阵有3阶子式,故 r（A）=3,任意三阶子式皆为零。,故 r（A）=2,若a=3时，任何3阶子式为0，故r（A）=2。,故 r（A）=3,故 a3时，A为行满秩阵。,例7 若A是n阶非奇异阵，B为nm矩阵。 证明： r（AB）=r（B）,证： A是非奇异阵，故A可逆,即B经过行初等变换可化为AB,由定理1知道 r（AB）=r（B）。 证毕。,第四节 线性方程组的解,则线性方程组可以简化为矩阵形式.,Ax=b,定义2 线性方程组Ax=b中的A与b拼成的矩阵 (A b)称为增广矩阵.,增广矩阵(A b)经过行初等变换,一般可化为,其中全为0的行表示多余的方程.,若 rn, 即为方程组.,是线性方程组的所有解(通解).其中c1,cn-r为任意常数.,若r=n,则(A b)可化为,其中全为0的行未写出.这相当于,即线性方程组只有唯一解.,解共有三种情况:无解、无穷多解、唯一解.,dr+1=0时,方程组有解.此时r( A b)=r( A)=r,综合起来,可得到,定理1 线性方程组Ax=b有解的充要条件是 r( A b)=r( A).且当r( A b)=r( A)=n时有 唯一解,当r( A b)=r( A)n时有无穷解,其中n为A的列数,也是未知数的个数.,特别当 A nxn为方阵时,由定理1可知方程组有唯一解.,这是第一章克莱姆法则的一个结论.,由于方程0=1无解,故原方程组无解,也可由r( A)=2,r( A b)=3说明无解.,由于r( A b)=r( A)=4,故方程组有唯一解.,要求出解,继续用初等行变换.,要掌握如何从化简的矩阵写出无穷多解,最后一列为等号右边的常数,不变号.,从第r+1个未知数开始写任意常数.,故方程组无解,当a1时,方程组无解,a=1时,方程组有无穷多解,前半部分已无法化为单位块,例10 解线性方程组,若改为方程组为,则增广矩阵,若允许交换两列,可写为,x3,x2,也可换第二,第四列,x4,x2,x3,x2,称为齐次线性方程组.,写成矩阵形式为Ax=0,定理2 齐次线性方程组A mxn x=0有非零解(无穷多解) 的充要条件是r( A)n,由定理1 可得,推论1 齐次线性方程组A nxn x=0有非零解 的充要条件为|A|=0,这是第一章用过的结论.,又由于mn时,r( A mxn) mn,故得,推论2 齐次线性方程组中未知数个数多