2013硕士研究生考研讲义-数学.doc

人民网教育频道北京海天教育集团第一讲函数、极限、连续考试要求1. 理解函数概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3. 理解复合函数及分段函数概念，了解反函数及隐函数的概念.4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.6. 掌握极限的性质及四则运算法则.7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.8. 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.10了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.考试内容一. 函数1. 函数的概念 注：（1）函数的定义包括两个部分: 定义域与对应法则.函数关系相同（2）函数新的表达形式（极限，积分，级数，方程） （3）如何确定值域（在最值存在的情况下，由最大值最小值确定）（4）由实际问题建立函数关系2. 函数的性质 2. 1 有界性，有，使，有上界；有下界有界有上界且有下界 注：（1）几何特征（2）常用有界函数，（3）函数是否有界与所讨论区间有关（4）确定界与求最值有关（5）有界性在微积分中的结论与应用闭区间上的连续函数有界，可积函数有界.有界函数的导函数与原函数不一定有界.2. 2 单调性，有（），增（减）注：（1）图像特征（2）单调性与区间有关（在整个定义域上单调增加, 或者单调减少的函数称为单调函数）.（3）单调性在微积分中的结论与应用单调性由的符号确定,单调性可用于证明不等式.（凡是用不等式定义的概念都可以证明不等式）单调函数的导函数与原函数不一定单调.2. 3 周期性注：（1）图像特征（2）周期性在微积分中的结论与应用可导周期函数的导函数是周期函数可积周期函数的原函数不一定是周期函数.2. 4 奇偶性，且（），则偶（奇）注：（1）图像特征（2）奇, 偶函数的和, 积以及复合的奇偶性.奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇*奇=偶,偶*偶=偶,奇*偶=奇（3）奇偶性在微积分中的结论与应用可导奇函数的导函数为偶函数, 可导偶函数的导函数为奇函数;3. 函数的种类3. 1 基本初等函数，3. 2 复合函数3. 3反函数，注：（1）与的图形是同一个函数（同一条曲线），与的图形关于对称（2）单值函数的反函数存在，其反函数也是单值的3. 4 初等函数3. 5 隐函数3. 6 幂指函数3. 7 分段函数典型的分段函数及隐含的分段函数, , , ,3. 8 参数方程（数一、二要求）3. 9 极坐标方程二. 极限1. 极限定义 当时，若记，当时，当时，注：（），的几何意义.水平渐近线，单侧水平渐近线（）重要结果：，2. 单侧极限.注：（1）分段函数分段点的讨论例：当满足什么条件时, 时，函数有极限?（2）隐形分段函数的分段点 记住，. 3. 极限的性质3. 1唯一性3. 2局部保号性若，则，使得在其内有注：（1）号性（2）逆命题不成立3. 3局部有界性若存在，则，使得在其内是有界的，即注：数列整体有界4. 无穷大量 无穷小量 4. 1 定义 无穷小,无穷大注：（1）无穷小，无穷大与过程有关.（2）无穷大与无穷小互为倒数（0除外，同一过程）.（3）无穷大与无界的关系无穷大一定无界，无界不一定无穷大. （4）无穷大是极限不存在的情况. （5）无穷大也不需要单调增加或单调减少.4. 2 无穷小的主要运算任意有限个无穷小的和与积仍是无穷小有界量与无穷小之积仍是无穷小例：存在5. 无穷小的比较设，且，则（1），与同阶（2），（3），是的高阶无穷小，（4），注：（1），若，是的阶无穷小.（2）（3）等价无穷小的应用（*）若，则，只在乘除法中应用，的等价无穷小可以用泰勒公式常用的几个等价无穷小当时, , ， , 等.例：6. 极限存在法则6. 1单调有界数列必有极限注：单增+上界 单减+下界 极限存在例：设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是 若收敛，则收敛. 若单调，则收敛. 若收敛，则收敛. 若单调，则收敛. “从实例出发猜测可能的结果, 然后予以证明”是数学的一条常用的研究路线.例：设，求极限6. 2 如果，且，例：.注：适当的缩放.7. 两个重要极限7. 1 推广型：，则例：7. 2 推广：，例：（11209）.例：（11309）设,则.8. 极限的运算法则 若，则，（）, 则.注：（1）参加运算的只有有限项，且每项极限均存在（2）四则运算的讨论和差：一存，一不存和差一定不存在，两不存和差不确定一存，和存另一极限定存积商：一存，一不存（或两不存）积不确定，一存，积存另一极限不确定注：在反常积分，无穷级数收敛中的应用9. 洛必达法则9. 1 若，且，存在（或为无穷大）,则.方法使用洛必达法则, 将求函数的商的极限的问题, 变成求导函数的商的极限的问题. 有时, 后者容易计算.注：（1）逆定理不成立. 反例 （2）对于型的未定式, 也有类似的法则. 型未定式与型的未定式不同, 只需分母是无穷大, 即可使用.（3）此外, 还有, ,型的未定式, 都必须变成商, 再用洛必达法则.9. 2 求极限常用的方法 等价代换（变量代换，有理化），四则运算，洛必达法则，泰勒公式 三 连续1. 定义若，即，则称在点连续注：连续就是极限等于该点的函数值. 因此, 通过计算极限, 可以判定连续. 反过来, 如果已知连续, 求极限时, 只需计算函数值. 2. 单侧连续左连续与右连续. 注：用于分段函数分段点的讨论3. 区间连续如果函数在区间中的每一点处都连续, 则称在区间中连续， 记作，如果是闭区间, 则在其端点处, 指的是单侧连续. 连续函数的图象是一条连绵的曲线.注：，类似定义，4. 间断点及其分类 4. 1定义：若在点不连续，则称点是函数的间断点.（设函数在点的一个去心邻域内有定义, 如果（1）函数在点没有定义; 或者（2）函数在点有定义, 但是极限不存在; 或者（3）函数在点有定义, 且极限存在, 但是则称点是函数的间断点.）4. 2 分类：是函数的间断点，都存在，称为第一类间断点否则称为第二类间断点几何分类（四种名称）极限存在, 但是，称为可去间断点，称为跳跃间断点（，）称为无穷间断点震荡间断点注：求间断点的方法：函数没有定义的点，分段函数的分段点例：讨论函数 的连续性，并判断间断点的类型5. 初等函数的连续性基本初等函数在定义域内连续.初等函数在定义区间的内部连续. 所谓定义区间, 是指包含在定义域内的区间.例：6. 闭区间上连续函数性质6. 1 最值定理 闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值.推论: ,则在有界.注：且存在,则在有界.且存在, 则在有界.类似可讨论区间,.例：函数在下列哪个区间内有界. . . . .6. 2 零点定理设函数在区间上连续, 且, 则存在, 使得.注：用于证明方程根的存在性求证: 方程在区间（0,1）内至少有一个根.例2设函数在区间连续, 且, 则存在, 使得.证：零点定理. 讨论.推论1: 设函数在区间上连续, 且, 则对于介于与之间的任意实数, 存在, 使得.注：提示了辅助函数的构造方法推论2: 闭区间上连续的函数取到介于最大值与最小值之间的任意一个值.题型与例题 概念题【例】设存在, 求.【例1. 1】设存在, 求.【例1. 2】设连续函数满足，则_，_ 【例1. 3】设连续, 且满足, 其中是由曲线与直线,围成的区域, 则等于 . . . . 二求函数极限【例2】求极限.【例3】（11315）（本题满分10分）求极限.【例4】计算 .【例5】计算极限.【例6】（11115）（本题满分10分）求极限.*可直接用公式进行计算.【例7】求极限.【例8】求极限.【例9】若极限, 则为 . . . .三. 无穷小的比较（已知极限求参数）小结：1.*已知，（1）若，则；（2）若，且，则.2.已知，（1）若，则；（2）若，且，则.【例10】（11201）已知当时,与是等价无穷小,则（）,. ,. ,. ,.四求数列的极限【例11】求.【例12】（11118）（本题满分10分）证明：对任意正整数,都有成立.设,证明数列收敛.第二讲 导数与微分考试要求1. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数微分.3. 了解高阶导数概念，会求简单函数的高阶导数.4. 会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数. 考试内容一. 导数概念1.定义如果极限 存在, 则称该极限为函数在点处的导数. 记作, 或者. 此时, 称函数在该点可导, 否则称为不可导.注：（1）导数是一种特殊的极限. 因此, 可以用极限计算导数, 也可以用导数求特殊形式的极限.抽象函数.【例1】（11202）（11302）已知在处可导,且,则（ ）. . . . （2）隐含的导数结论在点处连续，2. 单侧倒数左右极限产生左导数与右导数的概念, 命题 函数在一点可导的充分必要条件是: 它在该点的左导数与右导数存在且相等.注：单侧倒数用于研究分段函数的导数计算分段函数的导数时, 对不同表达式分别求导, 分段点处用左右导数.特别要注意隐含的分段函数.【例2】设 则在点可导的充要条件为 存在. 存在. 存在. 存在. 3. 导函数如果函数在开区间中每一点都可导, 则产生了一个新的函数, 称为函数的导函数, 记作, 或者.注：函数在一个闭区间上可导的含义.4. 导数的几何应用函数在点处的导数等于曲线在点处的切线的斜率, 切线方程: 法线方程: 注：，切线为【例3】求曲线通过点（5,11）的切线方程. 5. 可导与连续 极限连续可导. 反例：【例4】研究函数的连续性与可导性.二. 求导方法1. 按定义求导：抽象函数，分段函数 2. 函数四则运算的求导 ，3. 反函数求导 设, 则其反函数的导数4. 复合函数求导 ，, 则, 或注：（1）（2）剥皮求导法：【例5】5. 对数求导法：【例6】设，则 = .6. 隐函数求导：7. 参数方程求导,则 或.8. 积分上限函数、原函数存在定理1. 若在上可积，则函数在上连续2. 原函数存在定理：若在上连续，则函数在上可导，且 ，即 是在上的一个原函数3. 变限积分的导数公式：（1），；（2），；（3） 注：当积分中有变量时,不能用上述公式直接求导.【例7】函数由方程确定, 求.三高阶导数1. 定义导函数的导数称为二阶导数, 记作, 或 类似可以定义三阶导数, 四阶导数, 直到阶导数.2. 常用高阶导数公式（1）, 求.（2）, （3）, 3. 莱布尼兹公式 设，阶可导, 则4. 复合函数求二阶导数导函数与原函数有相同的复合关系【例8】5. 反函数求二阶导数6. 隐函数求二阶导数【例9】求由方程所确定的函数的二阶导数.【例10】设是由方程确定的隐函数，则 .方法 先求导数, 再将导数对自变量求导, 最后代入导数.7. 参数方程求二阶导数，【例11】设函数由方程确定, 则= .四微分1. 定义函数的增量可以表示为其中是不依赖于的常数, 而是比高阶的无穷小, 则称函数在点处可微, 而称为在点处相应于自变量的增量的微分, 记作.2. 可微条件极限连续可导可微3.微分的几何意义 微分三角形. 微分是曲线的切线的增量.4. 一阶微分形式不变性 无论是自变量还是中间变量, 微分都是.题型与例题一. 导数定义【例1】设函数在点二次可导, 求.【例2】设具有一阶连续导数, , 则是在处可导的 . 必要但非充分条件. 充分但非必要条件. 充分且必要条件. 既非充分也非必要条件. 二切线与法线方程【例3】（11311） 曲线在点处的切线方程为 .【例4】设是周期为的函数, 它在的某个邻域内满足关系式其中是当时比高阶的无穷小, 且在处可导, 求曲线在点处的切线.三求导（微分）【例5】设由确定, 求.四变限积分求导【例6】设函数连续, , 且满足方程, 求定积分. 【例7】设，求积分【例8】设连续, , 且（是常数）, 求, 并讨论在处的连续性.【例9】（11215）（本题满分10分）已知函数,设,试求的取值范围.第三讲 中值定理与导数的应用考试要求1. 理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理.2. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.3. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.4. 会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数。当时，的图形是凹的；时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形.5. 了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径. 考试内容一. 中值定理1. 罗尔定理：设函数在区间上连续, 在内可导, 且, 则存在, 使得.证：分情况讨论. 用费马引理. 几何意义 水平切线.注：证明方程有根的两种方法: 用闭区间连续函数的零点定理证明函数有根; 用罗尔定理证明导函数有根.【例1】设满足，则函数在区间内至少有一个零点.注：证明的关键是选择辅助函数. 为了满足, 用的一个满足罗尔定理条件的原函数.【例2】设函数在区间上连续, 在内可导, 且, 则存在, 使得.注：又是辅助函数问题. 从所求结果出发, 考虑微分方程, 解之得. 将其改写成右端只有常数. 令, 由得到微分方程.【例3】设函数在区间上二次可导, 且存在, 使得, 则存在, 使得. 注：考虑微分方程, 解之得. 将其改写, 使得右端是至多一次的多项式. 令, 则由可以得到.【例4】设函数在区间上连续, 在内二次可导, 且. 又设存在, 使得, 则存在, 使得. 2. 拉格朗日定理：设函数在区间上连续, 在内可导, 则存在, 使得.证：辅助函数. 罗尔定理注意 当时, 就是罗尔定理.几何意义 切线与割线平行.注：（1）如果函数在区间上的导数恒等于零, 则在区间上是一个常数. 【例5】设函数在区间内可导, 且满足微分方程, 其中常数, 则. （2）证明含有中值的等式，不等式【例6】设函数在区间上可导, 则存在, 使得.【例7】设函数在区间上连续, 在内可导, 且, 则存在, 使得3.柯西定理：设函数与在区间上连续, 在内可导, 且在内每一点处都不等于零, 则存在, 使得.证：辅助函数（参数方程）. 注意 当时, 就是拉格朗日定理.注：证明有两个函数的等式评述 在用拉格朗日中值定理或科西中值定理时, 确定辅助函数是比较容易的: 首先将 与分开; 然后再将与分开, 一般就可以发现或了.【例8】设函数在区间上连续, 在内可导, 其中, 则存在, 使得.4. 泰勒公式4. 1 泰勒定理：如果函数在包含点的一个开区间内具有直到阶的导数, 则当时, 有 其中，称为函数在点处的带拉格朗日型余项的阶泰勒公式. 如果函数在包含点的一个开区间内具有直到阶的导数, 则当时, 有 称为函数在点处的带佩阿诺型余项的阶泰勒公式.4. 2麦克劳林公式 取, 得称为麦克劳林公式. 余项可以写作, 其中. 麦克劳林公式还可以写作, 余项是一个比高阶的无穷小.常用展开式注：证明含有高阶导数的等式及不等式，解决极限问题 【例9】计算极限.【例10】 .二. 函数性质的讨论1. 单调性判定定理 设函数在区间上连续, 在区间内可导, (1) 如果在内, 则在上单调增加;(2) 如果在内, 则在上单调减少.注：（1）设函数在区间内单调增加且可导, 则. （2）如果函数的导数仅在若干孤立点等于0, 其它点保持同号, 则仍具有单调性. 单调判定定理不是必要条件. 反例：（3）单调区间：有的函数在几个区间上单调增加, 在另外几个区间上单调减少. 这样的区间成为这个函数的单调区间.如果函数在定义域内除个别点之外可导, 则单调区间的分界点是导数等于零的点或者导数不存在的点.导数等于零的点称为驻点【例11】（11203）函数的驻点个数为（ ）. . . .（4）单调性可用于证明不等式，方程根的惟一性 证明方程的根唯一的两种方法. 单调函数至多有一个零点. 如果导函数没有零点, 用罗尔定理（反证法）证明函数至多有一个零点. 2. 函数的极值：2. 1定义 设函数在区间内连续, 点. 如果存在, 使得当时, 有（或）, 则称点是函数的极大（小）值点, 而是函数的极大（小）值.极大值 极小值统称为极值.注：函数的极值是局部性质, 而最值是整体性质. 极大值未必是最大值, 最大值也未必是极大值.2. 2 必要条件设函数在点可导, 且在点取得极值, 则.注：这只是可导函数的极值的必要条件. 反例：在点取得极小值. 2. 3判定定理定理1 设函数在点的一个邻域内可导, 且.（1）如果在点的左侧, 在点的右侧, 则点是极大值点;（2）如果在点的左侧, 在点的右侧, 则点是极小值点;（3）如果在点的两侧恒正或恒负, 则点不是极值点.注：定理的条件可以减弱为: 函数在点连续, 在点的一个去心邻域内可导. 这样就可以判定了.定理2 设函数在点二次可导, 且, . (1) 如果, 则点是极大值点;(2) 如果, 则点是极小值点.注：如果, 则可能是极值点, 也可能不是极值点.反例：, 【例12】设函数由方程确定, 求的极值.3. 函数的最值3. 1 闭区间上连续函数的最值 函数在闭区间上连续, 则取到其最大值和最小值. 最值点或者是区间端点, 或者是内点. 如果是内点, 则或者是驻点, 或者是导数不存在的点.3. 2 无穷区间上函数的最值【例13】求函数的最小值. 注：可用于证明不等式4. 曲线的凹凸4. 1定义 设函数在区间上连续, 如果对于上的任意两点, 恒有（或）, 则称函数在区间上是凹（或凸）的.4. 2 判定定理定理 设函数在区间上连续, 在内二次可导. （1）如果在内, 则在区间上是凹的. （2）如果在内, 则在区间上是凸的.注：（1）可用一阶导函数的单调性进行判定（2）条件不是必要的.反例：.注：凹凸性可用于证明不等式4. 3 定义 连续函数的曲线上凸凹性发生改变的点称为曲线的拐点. 拐点在曲线上可以证明: 在拐点处, 或者二阶导数等于0, 或者二阶导数不存在. 注：根据函数的凸凹性的判定定理判定拐点.（1）拐点两侧二阶导数