2018年秋九年级数学上册相似三角形的性质第2课时相似三角形中周长和面积之比备课素材.docx

第四章图形的相似7相似三角形的性质 第2课时相似三角形中的周长和面积之比 素材一 新课导入设计情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣情景导入如图4729，在比例尺为1500的地图上，测得一个三角形地块的周长为12 cm，面积为6 cm2，求这个地块的实际周长及面积图4729问题1在这个情境中，地图上的三角形地块与实际地块是什么关系？1500表示什么含义？问题2要解决这个问题，需要什么知识？问题3你能对这个地块的实际周长与面积作出估计吗？问题4如何说明你的猜想是否正确呢？说明与建议 说明：学生们在一个开放的环境中思考生活中遇到的实际问题，亲身经历和感受数学知识来源于生活中的过程建议：小组交流、总结，学生可能会得到周长之比等于比例尺，面积之比等于比例尺的平方的猜想，通过小组合作，初步验证猜想，引出新知复习导入复习比例线段的性质(基本性质、合比性质、等比性质)：如果，那么_，_；如果，那么_；在四边形ABCD和四边形EFGH中，已知，四边形ABCD的周长是60 cm，求四边形EFGH的周长说明与建议 说明：通过复习比例的性质，尤其是等比性质，让学生感受多边形的周长比与相似比的关系引导学生思考问题，自然地过渡到新课的学习上来建议：重点是让学生动手、动脑，探究相似形周长之比与相似比之间的关系悬念激趣某城区施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题：马路旁边原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽，绿化地被削去了一个角，变成了一个梯形，如图4730，原绿化地一边AB的长由原来的20米缩短成12米则被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？图4730说明与建议 说明：联系生活实际，提出问题，引发学生探究的积极性，设置悬念，从而激发学生的求知欲通过思考，让学生带着问题学习新课，同时教师引出新课建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验 素材二 教材母题挖掘教材母题第110页例2如图4731，将ABC沿BC方向平移得到DEF，ABC与DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是ABC的面积的一半已知BC2，求ABC平移的距离图4731【模型建立】根据相似三角形的性质相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，可以解决图形中的周长与面积问题，简化计算与证明过程对学生的要求是能准确找出相似的两个三角形，再利用性质求解【变式变形】1如图4732，ABCABC，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB15 cm，BC24 cm，求BC，AC，AB，AC的长图4732答案：BC20 cm，AC25 cm，AB18 cm，AC30 cm2如图4733，在ABC和DEF中，AB2DE，AC2DF，AD，ABC的周长是24，面积是48，求DEF的周长和面积图4733答案：DEF的周长为12，面积为123如图4734所示，在ABCD中，AEEB12，且SAEF6 cm2.(1)求AEF与CDF的周长比；(2)求CDF的面积图4734答案：(1)13(2)54 cm24如图4735，在ABC中，C90，D是AC上一点，DEAB于点E.若AB10，BC6，DE2，求四边形DEBC的面积图4735答案： 素材三 考情考向分析命题角度1 利用相似三角形的性质求周长比相似三角形的周长比等于相似比，有了边长的关系，就可以求出周长比例湘西中考 如图4736，在ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F，则EDF与BCF的周长比是(A)图4736A12B13C14D15命题角度2 利用相似三角形的性质求面积比灵活运用相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解题例南京中考 若ABCABC，相似比为12，则ABC与ABC的面积比为(C)A12 B21 C14 D41命题角度3 利用相似三角形的性质求相似比相似三角形的面积之比等于相似比的平方反过来，当已知两个相似三角形面积之间的关系时，也可以求出相似比例滨州中考 如图4737，平行于BC的直线DE把ABC分成的两部分面积相等，则的值是多少？图4737答案： 素材四 教材习题答案P110随堂练习判断正误：(1)如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍；()(2)如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它三边的长都扩大为原来的9倍()答案 (1)(2)P110习题4.121如图，在方格纸上有A1B1C1和A2B2C2，这两个三角形是否相似？如果相似，A1B1C1与A2B2C2的周长比和面积比分别是多少？解：相似，周长比为21 ；面积比为41.2如图，在ABC和DEF中，G，H分别是边BC和EF的中点，已知AB2DE，AC2DF，BACEDF.(1)中线AG与DH的比是多少？(2)ABC与DEF的面积比是多少？解：(1)21 (2)41.3如图，RtABCRtEFG，EF2AB，BD和FH分别是它们的中线，BDC与FHG是否相似？如果相似，试确定其周长比和面积比解：相似；周长比为12，面积比为14.4一块三角形土地的一边长为120 m，在地图上量得它的对应边长为0.06 m，这边上的高为0.04 m，求这块地的实际面积解：4800 m2.5小明同学把一幅矩形图放大欣赏，经测量其中一条边由10 cm变成了40 cm，那么这次放大的比例是多少？ 这幅画的面积发生了怎样的变化？解：放大的比例是14，这幅画的面积变为原来的16倍6一个小风筝与一个大风筝形状相同，它们的形状如图所示，其中对角线ACBD.已知它们的对应边之比为13，小风筝两条对角线的长分别为12 cm和14 cm.(1)小风筝的面积是多少？(2)如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需要多长的材料？(不计损耗)(3)大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸(如图中虚线所示)裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？解：(1) 设AC和BD的交点是O，风筝面积ABD的面积BCD的面积 BDAO BDCOBD(AOCO) BDAC121484(cm2)(2) 3 (ACBD)3(1214)78(cm)(3) 彩纸面积121433，容易看出裁下的面积是彩纸的一半，故废弃部分面积331214756(cm2)7如图，在ABC中，点D，E分别在边AB和AC上，且DEBC.(1)若ADDB11，则SADES四边形DBCE等于多少？(2)若SADES四边形DBCE，则DEBC，ADDB各等于多少？解：(1)13.(2)DEBC1，ADDB1(1) 素材五 图书增值练习专题一 相似三角形性质的综合运用1已知两个相似三角形对应高的比为310，且这两个三角形的周长差为560 cm，求它们的周长2如图，RtABC到RtDEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是32（1）DE与AB的长度之比是多少？（2）已知RtABC的周长是12 cm，面积是6 cm2，求RtDEF的周长与面积3如图所示，已知平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，BEAB23，SBEF4，求SCDF专题二 相似多边形的性质4如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推若各种开本的矩形都相似，那么ABAD等于 5已知两个相似多边形的周长比为12，它们的面积和为25，则较大多边形的面积是 6如图，梯形ABCD中，ADBC，E是AB上的一点，EFBC，并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若AD4，BC9，求AEEB【知识要点】1相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比，都等于相似比2相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方3相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方【温馨提示】1应用性质时，抓住关键词“对应”，找准对应边2不要误认为相似三角形面积的比等于相似比3由线段的比求面积的比，或由面积的比求线段的比时，应分两种情况：（1）两个图形是否相似，若是相似图形，则面积比等于相似比的平方；（2）两个图形不相似时，常会出现底在同一条直线上，有同一条高，那么两个三角形面积比等于对应底的比【方法技巧】1利用相似三角形性质是求线段长度，角的度数，周长，面积及线段的比等问题的依据2等底等高的两三角形面积相等，这个规律在求三角形面积中经常用到3应用相似三角形（多边形）的性质，常与三角形（多边形）相似的判定相结合4相似多边形的定义是判定多边形相似的主要依据，也是多边形相似的重要性质参考答案：1解：设一个三角形周长为C cm，则另一个三角形周长为（C560）cm，则C（C560）310，C240，C560800，即它们的周长分别为240 cm，800 cm2解：（1）由相似变换可得：DEABDFAC23；（2）ACDF32，DEF的周长ABC的周长23，SDEF：SABC49 直角三角形ABC的周长是12 cm，面积是6 cm2，DEF的周长为8 cm，SDEF cm23解：四边形ABCD是平行四边形，AEDC，BEFCDFABDC，BEAB23，BEDC23，SDCF（）2SBEF494 解析 矩形ABCD矩形BFEA，ABBFADAB，ADBFABAB又BFAD，AD2AB2，则520 解析 根据相似多边形周长的比等于相似比，而面积的比等于相似比的平方，即可求得面积的比值，依据面积和为25，就可求得两个多边形的面积设两个多边形中较小的多边形的面积是x，则较大的面积是4x根据题意得：x4x25，解得x5因而较大多边形的面积206解：梯形AEFD梯形EBCF，又AD4，BC9，EF2ADBC4936 EF0，EF6，即【知识要点】1.几种特殊四边形的性质和判定：（1）特殊平行四边形具有一般平行四边形的一切性质，需要注重各自图形的特殊性质.（2）判别菱形：说明是平行四边形+邻边相等; 说明是平行四边形+对角线垂直；四条边相等。判定矩形：说明是平行四边形+90角；说明是平行四边形+对角线相等；有三个90角。 判定正方形: 说明是菱形+90角；说明是矩形+邻边相等; 两条对角线互相平分垂直且相等的四边形.2.几种特殊四边形的面积问题：（1）设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab（2）设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形=（3）设正方形ABCD的一边长为a，则S正方形=；若正方形的对角线的长为a，则S正方形=（4）设梯形ABCD的上底为a，下底为b，高为h，则S梯形=【温馨提示】（1）矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再证明一个角为直角或对角线相等。很多同学容易忽视这个问题.（2）在求菱形的边长、角度、对角线长等问题时，通常是在某一个直角三角形中运用勾股定理及有关直角三角形的知识来解决正方形的性质很多，要根据题目的已知条件，选择最恰当的方法，使解题思路简捷【方法技巧】面积法是解决有关平行四边形、矩形、菱形、正方形的推理与计算问题常用的方法，因此，熟悉它们的面积的计算方法是十分必要的【答案】1. 15或75【解析】如下左图，当点E在正方形ABCD外时，在ADE中，AD=DE，ADE=90+60=150，所以AED=；如下右图，当点E在正方形ABCD内时，在ADE中，AD=DE，ADE=9060=30，所以AED=.2. C 【解析】DE是ABC的中位线，DEBC，且DEBCC=90，B=60，AB2BC，AEBEBC又C90，ACAB，DCBE如图(1)，把ADE绕点E旋转180，使AE与BE重合，由题意可得CDF90，则四边形BCDF是矩形，且CDBC，所以构成邻边不等的矩形，则成立如图(2)，把ADE绕点D旋转180，使AD与CD重合，由题意可得BCBEEMMC，则四边形BCME是菱形，且B60为锐角，则成立如图(3)，移动ADE，使A与D重合，D与C重合，点E在BC的延长线上，由题意可知DEBN，且DEBN，所以四边形BNDE是梯形，又DNBE，所以梯形BNDE是等腰梯形，则成立因拼成矩形只有图(1)一种情况，而图(1)中的矩形不是正方形，则不成立3. 或 【解析】第一种情况，如左图，AB=BF=a，则CF=CH=1a，DH=a（1a）=2a1，四边形EGNM和四边形MNHD都是正方形，所以2DH=CF，即2（2a1）=1a，解得a= 第二种情况，如右图，AB=BF=a，则CF=CH=1a，四边形CFGH、四边形HGMN、四边形DEMN都是正方形，因此AB=3CH，即a=3（1a），解得 4. 116 【解析】 如图，分割成四个小等腰梯形，则AE2，过E作EMAB于M,GNAB于N，由A45，EMAB得AM,同理可得HN,又AMMNNHBHAB6，BHEGMN，ANNB3，AH3,故大正方形的面积为（3）2116 素材六 数学素养提升生活中的“立体相似”生活中的“立体相似”有两种：一是立体图形相似，二是通过立体空间来寻找相似平面或线段，再利用相似的性质解决实际问题问题1：暑假，妈妈叫小颖到市场买一种“竹节鱼”，小颖发现，条条鱼都长得非常相似，但有两种不同的价格：鱼A长10cm的10元/条，鱼B长13cm的每条15元你帮小颖算算，买哪种鱼合算？分析：这里要用到“立体相似”的知识，但没有学过我们只有用数学的类比方法，有面积比等于相似比的平方，可得到体积比是相似比的立方因此，B对A的相似比是1310，则体积比就是219710002.197而B对A的价格