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第十一章 坐标平面上的直线 （概念复习）,学习目标： 1.理解直线的方向向量和法向量的概念，掌握直线的点方向式方程、点法向式方程以及一般方程，能进行直线方程的不同形式间的互相转化； 2.理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握由直线上两点的坐标求直线的倾斜角和斜率的方法； 3.熟练掌握直线的点方向式、点法向式、点斜式、截距式以及直线的一般方程，并能灵活选用这些形式的直线方程解决与直线有关的数学问题； 4.掌握两直线夹角的概念，会求两条直线的夹角；掌握由两直线的方程的系数，判断它们的位置关系；掌握求两直线的交点的方法； 5.掌握点到直线的距离公式，并能用于求两平行直线间的距离；能判断两点是在已知直线的同侧，还是在已知直线的两侧。,重点与难点： 本章的重点与难点是：如何以向量为工具，通过直角坐标系，建立直线的点方向式、点法向式方程，并进一步研究直线的一般式方程，将几何问题转化为代数问题加以解决；如何深刻理解直线的有关概念，如倾斜角、斜率、截距、夹角、距离等；如何熟练掌握直线的方向向量、法向量、倾斜角、斜率之间的转化关系，以及直线之间的位置关系、平面上的点与直线之间的关系。,一、知识网络：,一、基础知识： 1.两点间的距离公式：,2.直线l的方向向量： 直线l的法向量：,与直线L平行的向量,与直线L垂直的向量,二、直线方程,1.直线的倾斜角和斜率 2.直线方程的几种特殊形式,1.直线的倾斜角和斜率：,（1）什么是直线的倾斜角？倾斜角的范围是什么？,X轴的正半轴绕直线与X轴的交点逆时针旋转与直线重合时所成的最小正角，叫做这条直线 的倾斜角。特别地：当直线LX轴时，规定L的倾斜角为0， 直线L的倾斜角的范围是0 180.,（2）什么是直线的斜率？斜率怎样计算？,（3）直线在X轴、Y轴上的截距的定义及计算,直线与X轴的交点的横坐标叫做直线在X轴上的截距. 直线与Y轴的交点的纵坐标叫做直线在Y轴上的截距. 在Ax+By+C0中令x0时，得 是直线在Y轴上的截距b， 令y0时，得 是直线在X轴上的截距a.,倾斜角不等于90时倾斜角的正切值叫做直线的斜率，倾斜角为90时，直线的斜率不存在.斜率的计算方法： 方法1：定义法.ktan（ 90 ） 方法2：两点法. 是直线L上两点 方法3：系数法.Ax+By+C0斜率为,2.直线方程的几种特殊形式：,k存在,k存在,(ab0),AxByC0(A、B不同时为0),两直线位置关系的讨论 2. 平行和垂直的条件 3.两直线所成的角 4.两直线的夹角公式 5. 距离公式： 点线距 线线距 6. 对称问题： 点点对称 点线对称 线线对称 （中点） （中垂线） （角相等）,三、两条直线的位置关系：,1、两直线位置关系的讨论：相交、平行、重合 一般式方程 相交 平行 （ ） 重合 斜截式方程 （ ）,2、平行和垂直的条件：,3.两直线所成的角：,4.两直线的夹角公式：,两条直线：,两条直线,若两条直线的夹角为 ，则,5.距离公式：,点到直线的距离公式： 两条平行直线的距离公式：,A、B在直线的同侧时，,A、B在直线的异侧时，,典型例题精讲：,2.直线 l 经过点M(2，1)，其倾斜角是直线x-3y+40的倾斜角的2倍，直线 l 的方程是_,3x-4y-20.,3.已知直线l 的倾斜角为，sin+cos ，则l 的斜率k_.,4.直线l 在x,y轴上截距的倒数和为常数 ，则直线过定点_.,(m,m),5A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程为( ) (A)2x-y-1=0 (B)x+y-5=0 (C)2x+y-7=0 (D)2y-x-4=0,B,6.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程： (1)过定点A(-3，4)；(2)斜率为1/6.,【解题回顾】根据条件的不同情况选择方程的适当形式，用待定系数法求解直线方程.,7直线l 被两条直线l1：4x+y+3=0和l2：3x-5y-5=0截得的线段中点为P(-1，2)，求直线l 的方程.,【解题回顾】除以上解法外，设点斜式为y-2=k(x+1)，再由中点概念求k也是可行的.,8.已知直线l:y=ax+2和A(1，4)，B(3，1)两点，当直线l与线段AB相交时，求实数a的取值范围.,【解题回顾】研究直线l的斜 率a与直线AC、BC的斜率的 大小关系时，要注意观察图 形.,请同学们研究，如果将本题条件改为A(-1，4)，B(3，1)， 结论又将如何?,9直线l过点P(2，1)，且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B，O为坐标原点. (1)当AOB的面积最小时， 求直线l 的方程. (2)当|PA|PB|取最小值时， 求直线l 的方程.,【解题回顾】求直线方程的基 本方法包括利用条件直接求直线 的基本量和利用待定系数法求直 线的基本量. 在研究最值问题时，可以从几何图形开始，找到取最值时的情形，也可以从代数角度考虑，构建目标函数，进而转化为研究函数的最值问题，这