2018_2019学年高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程3参数方程和普通方程的互化讲义（含解析）新人教A版.docx

3参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型，曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致 把曲线的普通方程化为参数方程例1根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程(1)1，xcos 1，(为参数)；(2)x2yx10，xt1，(t为参数)解(1)将xcos 1代入1，得y2sin .(为参数)这就是所求的参数方程(2)将xt1代入x2yx10，得yx2x1(t1)2t11t23t1，(t为参数)这就是所求的参数方程普通方程化为参数方程时的注意点(1)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价(2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的如本例(2)，若令xtan (为参数)，则参数方程为(为参数)1.如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆x2y2x0的参数方程为_解析：由题意得圆的方程为2y2，圆心在x轴上，半径为，则该圆的参数方程为(为参数)，注意为圆心角，为圆弧所对的圆周角，则有2，故即(为参数)答案：(为参数)将参数方程化为普通方程例2将下列参数方程化为普通方程：(1)(t为参数)；(2)(为参数)思路点拨(1)可采用代入法，由x1解出，代入y的表达式；(2)采用三角恒等变换求解解(1)由x1得 1x，将其代入y12得y32x.因为0，所以x11，所以参数方程化为普通方程为y32x(x1)方程表示的是以(1,1)为端点的一条射线(包括端点)(2)由得，22得1(5x5，5y3)将参数方程化为普通方程的三种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；(2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围2参数方程(t为参数)化为普通方程为()Ax2y21Bx2y21去掉(0,1)点Cx2y21去掉(1,0)点Dx2y21去掉(1,0)点解析：选D结合题意，x2y2221，x11，故选D.3已知曲线的参数方程为(为参数)，则曲线的普通方程为()Ay21xBy21xCy21x(y) D以上都不对解析：选C因为ycos sin cos，所以y， ，由y212sin cos 1sin 2，得y21x，y， ，故选C.一、选择题1将参数方程(为参数)化为普通方程为()Ayx2Byx2Cyx2(2x3) Dyx2(0y1)解析：选C方程可化为yx2，x2,3，y0,1，故选C.2参数方程(为参数)表示的曲线是()A直线 B圆C线段 D射线解析：选Cxcos20,1，ysin20,1，xy1(x0,1)为线段3曲线(为参数)的对称中心()A在直线y2x上B在直线y2x上C在直线yx1上D在直线yx1上解析：选B将(为参数)化为普通方程为(x1)2(y2)21，其表示以(1,2)为圆心，1为半径的圆，其对称中心即圆心，显然(1,2)在直线y2x上，故选B.4已知曲线C：(t为参数)，A(1,0)，B(1,0)，若曲线C上存在点P满足APBP0，则实数a的取值范围为()A. B1,1C， D2,2解析：选C设P(x，y)，A(1,0)，B(1,0)，点P满足APBP0，P的轨迹方程是x2y21，表示圆心为(0,0)，半径为1的圆曲线C：(t为参数)化成普通方程为xya0，由题意知，圆心(0,0)到直线xya0的距离d1，a.二、填空题5x2y22x4y10化为参数方程为_解析：x2y22x4y10化成标准方程是(x1)2(y2)24，表示圆心为(1,2)，半径为2的圆，故参数方程为(为参数)答案：(为参数)6直线(t为参数)与曲线(为参数)的交点个数为_解析：(t为参数)化为普通方程为xy1，(为参数)化为普通方程为x2y29，表示以(0,0)为圆心，3为半径的圆圆心(0,0)到直线的距离为，小于半径3，所以直线与圆相交因此，交点的个数为2.答案：27已知曲线C的极坐标方程为2cos .以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为_解析：曲线C的直角坐标方程是(x1)2y21，其参数方程为(为参数)答案：(为参数)三、解答题8把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线(1)(t为参数，t0)；(2)(t2)解：(1)由得ty1，又t0，所以y1.所以x4(y1)2(y1)，即(y1)2x(y1)方程表示的是顶点为(0,1)，对称轴平行于x轴，开口向左的抛物线的一部分(2)由得1.t2，2x2，3y0.所求方程为1(3y0)，它表示半个椭圆.9如图所示，经过圆x2y24上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程解：圆x2y24的参数方程为(为参数)在此圆上任取一点P(2cos ，2sin )，则PQ的中点为M(2cos ，sin )，所以PQ中点轨迹的参数方程为(为参数)，化成普通方程y21.10已知曲线C1的参数方程为(为参数)，曲线C2的极坐标方程为2cos 6sin .(1)将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)曲线C1，C2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由解：(1)由(为参数)得(x2)2y210，曲线C1的普通方程为(x2)2y210.2cos 6sin ，22cos 6sin ，x2y22x6y，即