2020版高考数学一轮复习第5章数列第4讲数列求和讲义理（含解析）.docx

第4讲数列求和考纲解读1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式(重点)2.熟练掌握另外几种非等差、等比数列求和的常见方法(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点，主要考查“错位相减”“裂项相消”“等差、等比数列的公式求和”等预测2020年高考会考查数列求和或数列求和与不等式的综合此类问题一般以解答题为主，以中档题型为主.1基本数列求和公式法(1)等差数列求和公式：Snna1d.(2)等比数列求和公式：Sn2非基本数列求和常用方法(1)倒序相加法；(2)分组求和法；(3)并项求和法；(4)错位相减法；(5)裂项相消法常见的裂项公式：；()3常用求和公式(1)1234n；(2)1357(2n1)n2；(3)122232n2；(4)132333n32.1概念辨析(1)已知等差数列an的公差为d，则有.()(2)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21sin22sin23sin288sin28944.5.()(3)求Sna2a23a3nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得()(4)若数列a1，a2a1，anan1是(n1，nN*)首项为1，公比为3的等比数列，则数列an的通项公式是an.()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于()A1 B. C. D.答案B解析an，S5a1a2a51.(2)数列1，3，5，7，(2n1)，的前n项和Sn的值等于()An21 B2n2n1Cn21 Dn2n1答案A解析该数列的通项公式为an(2n1)，则Sn135(2n1)n21.(3)数列an的通项公式为an(1)n1(4n3)，则它的前100项之和S100等于()A200 B200 C400 D400答案B解析设bn4n3，则bn是公差为4的等差数列，an(1)n1bn.S100(a1a2)(a3a4)(a99a100)(b1b2)(b3b4)(b99b100)4444450200.(4)数列an的通项公式为anncos，其前n项和为Sn，则S2018等于()A1010 B2018 C505 D1010答案A解析易知a1cos0，a22cos2，a30，a44，.所以数列an的所有奇数项为0，前2016项中所有偶数项(共1008项)依次为2,4，6,8，2014,2016.故S20160(24)(68)(20142016)1008.a20170，a20182018cos2018，S2018S2016a2018100820181010.故选A.题型 分组转化法求和 1(2018信阳模拟)已知数列an中，a1a21，an2则数列an的前20项和为()A1121 B1122 C1123 D1124答案C解析由题意知，数列a2n是首项为1，公比为2的等比数列，数列a2n1是首项为1，公差为2的等差数列，故数列an的前20项和为10121123.2(2018合肥质检)已知数列an的前n项和Sn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an(1)nan，求数列bn的前2n项和解(1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1n.a1也满足ann，故数列an的通项公式为ann.(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n(212222n)(12342n)记A212222n，B12342n，则A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.结论探究在举例说明2条件下，求数列bn的前n项和Tn.解由举例说明2知bn2n(1)nn.当n为偶数时，Tn(21222n)1234(n1)n2n12；当n为奇数时，Tn(21222n)1234(n2)(n1)n2n12n2n1.Tn分组转化法求和的常见类型(1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和如举例说明1. 已知数列an是等差数列，满足a12，a48，数列bn是等比数列，满足b24，b532.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Sn.解(1)设等差数列an的公差为d，由题意得d2，所以ana1(n1)d2(n1)22n.设等比数列bn的公比为q，由题意得q38，解得q2.因为b12，所以bnb1qn122n12n.(2)Snn2n2n12.题型 裂项相消法求和1已知数列an的通项公式为an，若前n项和为10，则项数n为_答案120解析因为an，所以Sn(1)()()1，又因为Sn10，所以110，解得n120.2(2018芜湖模拟)已知数列an的前n项和为Sn，Snn2n2.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)Snn2n2，当n2时，Sn1(n1)2(n1)2，得an2n，当n1时，a14，an(nN*)(2)由题意，bn当n1时，T1.当n2时，Tn.Tn条件探究举例说明2中，若an2n，bn，求数列bn的前n项和Tn.解bn，Tn.几种常见的裂项相消及解题策略(1)常见的裂项方法(其中n为正整数)(2)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使前后相等 1设Sn为等差数列an的前n项和，a44，S515，若数列的前m项和为，则m()A8 B9 C10 D11答案C解析Sn为等差数列an的前n项和，设公差为d，a44，S515，则解得d1，则an4(n4)n.由于，则Sm11，解得m10.2已知数列an是递增的等比数列，且a1a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)因为数列an是递增的等比数列，且a1a49，a2a38.所以q38q2ana1qn12n1.(2)由(1)可知Sn2n1，所以bn，所以Tn11.题型 错位相减法求和(2018安徽皖江最后一卷)设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b313.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列的前n项和Sn.解(1)设an的公差为d，bn的公比为q，则依题意有q0且解得d2，q2.所以an1(n1)d2n1，bnqn12n1.(2).Sn1，2Sn23，得Sn2222226.利用错位相减法的一般类型及思路(1)适用的数列类型：anbn，其中数列an是公差为d的等差数列，bn是公比为q1的等比数列(2)思路：设Sna1b1a2b2anbn，(*)则qSna1b2a2b3an1bnanbn1，(*)(*)(*)得：(1q)Sna1b1d(b2b3bn)anbn1，就转化为根据公式可求的和如举例说明提醒：用错位相减法求和时容易出现以下两点错误：(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n1项和当作n项和 (2018兰州模拟)已知数列an是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(an1)2an，求数列bn的前n