《概率论与数理统计》韩旭里谢永钦版习题三及答案.pdf

习题三 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出 X 和 Y 的联合分布律. 【解】【解】X 和 Y 的联合分布律如表： 0 1 2 3 1 0 1 3 1113 C 2228 =i 2 3 111 C3/8 222 =i 0 3 1 8 0 0 1111 2228 = 2.盒子里装有 3 只黑球、2 只红球、2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X 表示取到黑球的只 数，以 Y 表示取到红球的只数.求 X 和 Y 的联合分布律. 【解】【解】X 和 Y 的联合分布律如表： 0 1 2 3 0 0 0 22 32 4 7 C C3 C35 = i 31 32 4 7 C C2 C35 = i 1 0 112 322 4 7 C C C6 C35 = ii 211 322 4 7 C C C12 C35 = ii 31 32 4 7 C C2 C35 = i 2 P（0 黑,2 红,2 白） = 224 227 1 C C /C 35 =i 121 322 4 7 C C C6 C35 = ii 22 32 4 7 C C3 C35 = i 0 3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 F（x，y）= ., 0 2 0 , 2 0,sinsin 其他 yxyx 求二维随机变量（X，Y）在长方形域 + ., 0 , 0, 0, )43( 其他 yxA yx e 求： （1） 常数 A； （2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P0X = 其他 （3） 01,02PXY ., 0 , 0,5 5 其他 y y e 求： （1） X 与 Y 的联合分布密度； （2） PYX. 题 6 图 【解】【解】 （1） 因 X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以 X 的密度函数为 1 ,00.2, ( )0.2 0,. X x fx = 其他 所以 ( , ),( )( ) XY f x y X Yfxfyi独立 55 1 5e25e,00.20, 0.2 0, 0, yy xy = 且 其他. （2） 5 ()( , )d d25ed d y y xD P YXf x yx yx y = 如图 0.20.2 -55 000 -1 d25ed( 5e5)d =e0.3679. x yx xyx =+ 7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 F（x，y）= ., 0 , 0, 0),1)(1 ( 24 其他 yx yx ee 求（X，Y）的联合分布密度. 【解】【解】 (42 )2 8e,0,0,( , ) ( , ) 0, xy xyF x y f x y x y + = 其他. 8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= 4.8 (2),01, 0, 0,. yxxyx 其他 求边缘概率密度. 【解】【解】( )( , )d X fxf x yy + = x 2 0 4.8 (2)d2.4(2),01, = 0,. 0, yxyxxx = 其他 ( )( , )d Y fyf x yx + = 1 2 y 4.8 (2)d2.4 (34),01, = 0,. 0, yxxyyyy + = 其他 题 8 图 题 9 图 9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= = 其他 ( )( , )d Y fyf x yx + = 0 e de ,0, = 0,. 0, y yx xyy = 其他 题 10 图 10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ., 0 , 1, 22 其他其他 yxycx （1） 试确定常数 c； （2） 求边缘概率密度. 【解】【解】 （1） ( , )d d( , )d d D f x yx yf x yx y + 如图 2 11 2 -1 4 =dd1. 21 x xcx y yc= 得 21 4 c =. （2） ( )( , )d X fxf x yy + = 2 1 242 2121 (1),11,d 84 0,0,. x xxxx y y = 其他 ( )( , )d Y fyf x yx + = 5 2 2 217 d,01, 42 0,0, . y y x y xyy = 其他 11.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ., 0 , 0, 2 1 2/ 其他 y y e （1）求 X 和 Y 的联合概率密度； （2） 设含有 a 的二次方程为 a2+2Xa+Y=0，试求 a 有实根的概率. 【解】【解】 （1） 因 1,01, ( ) 0, X x fx = 其他. 故 /2 1 e01,0, ( , ),( )( )2 0,. y XY xy f x y X Yfxfy = i独立 其他 题 14 图 （2） 方程 2 20aXaY+=有实根的条件是 2 (2)40XY = 故 X2Y， 从而方程有实根的概率为： 2 2 ( , )d d xy P XYf x yx y = 2 1 /2 00 1 ded 2 12 (1)(0) 0.1445. x y xy = = = 15.设 X 和 Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计） ，并设 X 和 Y 相互独立，且服 从同一分布，其概率密度为 f（x）= ., 0 ,1000, 1000 2 其他 x x 求 Z=X/Y 的概率密度. 【解】【解】如图,Z 的分布函数( ) Z X FzP ZzPz Y = （1） 当 z0 时，( )0 Z Fz = （2） 当 0= =+= 0,1,2,3,i = 于是 U=min（X,Y） 0 1 2 3 P 0.28 0.30 0.25 0.17 （4）类似上述过程，有 W=X+Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05 20.雷达的圆形屏幕半径为 R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布. （1） 求 PY0YX； （2） 设 M=maxX，Y，求 PM0. 题 20 图 【解】【解】因（X，Y）的联合概率密度为 222 2 1 , ( , ) 0,. xyR f x yR + = 其他 （1） 0, 0| P YYX P YYX P YX = 0 ( , )d ( , )d y y x y x f x y f x y = 2 /40 5 4 2 /40 1 dd 1 dd R R r r R r r R = 3/83 ; 1/24 = （2） 0max(, )01max(, )0P MPX YPX Y= 0 0 13 10,01( , )d1. 44 x y P XYf x y = = = = 21.设平面区域 D 由曲线 y=1/x 及直线 y=0，x=1,x=e2所围成，二维随机变量（X，Y） 在区域 D 上服从均匀分布，求（X，Y）关于 X 的边缘概率密度在 x=2 处的值为多少？ 题 21 图 【解】【解】区域 D 的面积为 2 2e e 01 1 1 dln2.Sxx x = （X,Y）的联合密度函数为 2 11 ,1e ,0, ( , )2 0,. xy f x yx 0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概 Y X 率为 p（0 1 , 03, ( )3 0, 0,3. y f y yy = 推得 1 max, 1 9 PX Y =. 26. 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为 1 0 1 1 0 1 a 0 0.2 0.1 b 0.2 0 0.1 c 其中 a,b,c 为常数，且 X 的数学期望 E（X）= 0.2,PY0|X0=0.5，记 Z=X+Y.求： （1） a,b,c 的值； （2） Z 的概率分布； （3） PX=Z. 解解 （1） 由概率分布的性质知， a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由()0.2E X = ，可得 0.1ac += . 再由 0,00.1 000.5 00.5 P XYab P YX P Xab + = + , 得 0.3ab+=. 解以上关于 a，b，c 的三个方程得 0.2,0.1,0.1abc=. （2） Z 的可能取值为2，1，0，1，2， 21,10.2P ZP XY= = = =， 11,00,10.1P ZP XYP