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第七章第七章 分离变量法分离变量法 7.1 直角坐标系中的分离变量法 1.求解下列本证值问题的本证值和本证函数 （1）0,(0)0,( )0XXXX l ； （2）0,(0)0,( )0XXXX l ； （3）0,( )0,( )0XXX aX b ； （4）0,(0)0,00 x l XXXXhX . 2. 单簧管直径均匀的细管，一端封闭而另一端开放，试求管内空气 柱的本征振动，即求解 2 uu0 0,t0,0. a ttxx uul x t 解：(1)分离变量 .令u( , )( ) ( )x tX x T t X ( )( )0xX x 2 ( )( )0Tta T t 由 得 u(0,t)=0X(0)=0 由u (l,t)=0 x 得 X ( )=0l （2）求解本征值 由 X ( )( )0xX x X(0)=0，X (l)=0 1 (n+ ) 2 X ( )=sin n x x l 得 (2n+1) ( )= n 2 x l （3）求 ( )T t 将 n 代入方程：( )T t 21 2 2 ( )()( )0 2 n Tta Tt nn l 2121 ( )cos()sin() 22 nn TtAatBat nnn ll （4）管内本征振动为： ( , )( )( )ux tux Tt nn n 212121 cos()sin()sin() 222 0,1,2 nnn AatBatx nn lll n 3. 一根均匀固定于和0x xl两端，假设初始时刻速度为零，而初 始时刻弦的形状是一抛物线，抛物线的顶点为( , ) 2 l h，求弦振动的位 移。 解： （1）定解为 2 2 0 (0, )0,( , )0 4 ( ,0)() ,( ,0)0 ttxx t ua u utu l t h u xlx xu x l 抛物线的标准形式为： 2 2 x u p 顶点在( ,h) 2 l ，故 14h 2 (h)=-()() 2 2p2 l uxhl l x x （）分离变量后得（）本征值问题的解为： 本 征 值 n 2 =() , l 本 征 函 数 n (x)=sin() x X n l ， 1,2,n （）（）方程的解将（）方程，得解 cossin nnn n atn at TtAB ll （）作特解的线性叠加，得 ( , )cos()sin()sin() 1 n atn atn x u x tAB nn ll n l （）根据本征函数的正交性，由初始条件定系数 ,nn AB 由 4 ()( ,0)sin 2 1 hn l x x u xAn l ln x 2416 1 ( 1) () sin 23 n hn xh l Al x xdx n c ll lh 3 由0( ,0)()sin( 1 n an x uxBn t ll n ) 得 0Bn 161 ( 1) ( , )cos()sin() 33 1 n hn atn x u s t ll nn 4. 演奏琵琶是把弦的某一点向旁拨开一个小距离，然后放手让其自 由振动。设弦长为l，被拨开的点在弦长 0 1 n （为正整数）处，拨开 距离为，试求解弦的振动。 0 n 解：按题意，实际上是求下列定解问题： 其泛定方程为： 2 0 ttxx ua u 边界条件： (0, )0 ( , )0 ut u l t 初始条件： 0 0 0 0 00 0 0 ( ,0)( ) (1) (1) ( )0 tt n hl xx ln u xx n hl xxl l nn ux 这是第一类齐次边界条件，用分离变数法可得： 1 ( , )(cossin)sin nn n nn u x tAatBatx ll n l 其中系数 0 0 0 0 0 0 / 00 0/ 0 / 00 2 0/ 0 0 2 / 0 2 ( )sin 2 sin(1)sin (1) 22 sinsin (1) 2 sin (1) l l nl l n l nl l n l l n n And ll n hn hnn dd llll nl n hn hnn dd lll nl n hn d lnl 其中 0 22 / 22 0 00 sinsincos l n nlnl d lnnnn 0 n n 0 / 0 11 sincos( 1) l n l n nn d lnnn 0 222 22 / 000 sincossin( 1) l n l n nlnlnl d lnnnnnn 0 22 00 0 22 00 0 22 00 2 0 22 00 222 cossincos 2 sin (1) 21 (1)sin (1) 2 sin (1) n n hhnnhn A nnnnn n hn nnn n hn nnn n hn nnn 0 n 显然 0( )0 n Bx) 故通解为： 2 0 22 1 00 21 ( , )sincossin (1) n n hnn atn u x tx nnnll 5. 长为l两端固定的弦，用宽为2的细棒敲击弦上 0 xx点，亦即在 0 xx处施加冲力，设其冲量为I,弦的单位长密度为，求解弦的振 动参考 6-1 习题 2 解：其泛定方程为： 2 0 ttxx ua u 其定解方程为： (0, )0 ( , )0 ut u l t 初始条件为： 0 0 ( ,0)0 2 ( ,0) 0 t u x I xx u x xx 第一类齐次边界条件， 故其本证值为： 2 n n l ， 本征函数为： sin n x l 其通解为： 1 ( , )(cossin)sin nn n nn u x tAatBatx ll n l 由可知 ( ,0)0u x0 n A 1 ( , )sinsin n n nn u x tBatx ll 11 0 0 ( ,0)sinsin 2 0 tnn nn nnn u xBaxCx lll I xx xx 00 00 0 0 0 0 0 0 00 0 2 ( )sin 2 sin 2 2 sin 2 cos cos()cos() 2 sin l n xxl xx x x x x n n Cf xxdx ll In odxxdxodx ll In xdx ll Iln x lnl Inn xx nll Innl xB nlln a 0,sin nn ll 0 0 2 sin 2 sin n lInn Bx n a nll In x n al 故， 00 1 2 ( , )sinsinsin n Inn an u x txtx n alll 6. 长为l的杆，一端固定，另一端受力而被拉长，求解杆在去掉力 后的振动，设杆的横截面积为 S，杨氏模量为Y 0 F 0 F 解：定解为： 2 0 0 (0, )0,( , )0 ( ,0),( ,0)0 ttxx x t ua u utu l t F x u xu x YS 初始条件 0 u( ,0) F x x YS ，根据胡克定律 (0, )x 段的相对伸长为 u( ,0) u(0,0)x x ，故 u( ,0) u(0,0)u( ,0) 0 Fxx PYY Sx x ) (0X 端固定 0 u( ,0) F x x YS （1） 由泛定方程及边界条件可得： 1 (n+ ) 2 X ( )=sin n x x l ， (2n+1) 2 ( )=() n 2 x l （2） 通解为： 212121 ( , )cos()sin()sin() 22 0 nn u x tAatBatx nn ll n 2 n l （3）由u ( 得 B0,0)0x t n 21 0 u( ,0)sin() 2 0 F xn xAx n YSl n 得： ( 1) 82(21) 00 sin 22 2 (21) n lFnxF x l Adx c n llYS YSn 1 0 8( 1)(21)(21) 0 ( , )cossin 22 22 (21) n n F lnatn u x t ll YSn x 7. 长为l的杆 ，两端受压从而长度缩小为 (1 2 )l,放手后任其自 由振动，求解杆的振动。 解：(1)定解 问题为 ： 2 uu0 (0, )0,( , )0 ( ,0)2 (),( ,0)0 2 a ttxx utul t x l u xx ux t 初始条件u( ,0)x的证明.杆两端受压,杆中点位移为零，由左方两个 相似三角形对应成比例,可得 u( ,0) 22 u( ,0)2 2 xl ll x l xx ，（ - ）， 由右方两个相似三角形两个对应边成比例,可得 -u( ,0) 22 xl ll x ，与u ( , 0)2 2 l xx（- ） 形 式 相 同 (2)由表 11-2 得本征值与本征函数分别为 n 2 ( )= n x l （） ， n ( )=cos n x Xx l (3)特解的线性叠加 ( , )cossincos() 0 n atn atn x u x tAB nn ll n l (4)根据本征函数正交性,由初始条件定系数. 由 得 B0u ( ,0)0x t n 0 2u( ,0)cos 2 n n ln xxA l x 由（ - ）=，得 12 2 ()0 000 0 2 l lll Ax dxdxxdx ll 24 2 ()cos1( 1) 0 2 2 22 ln xl n l Axdx n l n 8(21)(1 ( , )coscos 22 0 (21) lmat u x t ll mm 21)mx 8. 长为l的杆,上端固定在电梯的天花板上，杆身竖直向下，下端自 由。当电梯以速度下降时突然停止，求解杆的振动。 0 v 解：其定解问题为： 2 0 0 (0, )0( , )0 ( ,0)0( ,0) ttxx x t ua u utu l t u xu xV 其本证值 2 21 2 n n l ，本征函数为： 21 sin 2 n x l 其通解为： 1 212121 ( , )(cossin)sin 22 nn n nn u x tAatBatx ll2 n l 由可知 ( ,0)0u x0 n A 1 2121 ( , )sinsin 22 n n nn u x tBatx ll 由得 0 ( ,0) t u xV 0 1 2121 sin 22 n n nn Bax ll V 0 0 22 0 0 22 2221 sin (21)2 821 cos (21)2 8 (21) l n l ln Bxdx na ll lVn dx nal lV na 0 22 0 812121 ( , )sinsin (21)22 n lVnn u x tatx anll 9.一个长宽各为的方形膜，边界固定，膜的振动方程为 2( )0,(0,0vxa ttxxyy uuu)ya 0 ，求方形膜振动的本征频率 解： （1）定解问题 2 () (0, )0,( , )0 ( ,0, )0,( , )0 ttxxyy uvuu uy tu a y t u xtu x a t 2 ( , , )( , ) ( ) 0 0 xxyy xxyy u x y tu x y T t uu T vTu TvT uuu （2）令 代入方程：得 3 .( ,)( )( ) () 0 ()0 Ux yXx Yt Y Y XX YY （ ） 令代 入 后 式 X X 2 4 . 0 (0)0,( )0 () ,( )sin,1,2 n XX XX a nnx Xxn aa n （ ） 求解本征值问题， 得 0 (0)0,( )0 ,( )sin,1,2, m YvY YY a my yym a 2 m 得v=() a 22 ()() mnnm nm v aa 22 22 2 2222 5 .( ) ( )()( )0 ( )cossin nmnmnm T t mn TtvT t a vmn tvmn t TtAB aa （ ）求 方形膜的本征振动频率为： 22 22 nm nm wvmn f a 10. 有长为l，杆身与外界绝热的均匀细杆，杆的两端温度保持摄氏 零度， 已知其初始温度分布( )()xx lx， 求在时杆上的温度分布。 0t 解： （1） 定解 为 ： 2 uu0 (0, )0, ( , )0 ( ,0)() a txx utu l t u xx lx （2）由表 11-2 得本征值与本征函数分别为 n 2 ( )=() n x l ， n X ( )=sin n x x l （3）特解的线性叠加 2 2 2 2 ( , )sin 1 na t nx u x tC el n l n （4）根据本征函数正交性，由初始条件定系数. 由()( ,0)sin 1 l nx x lxu xCn l n 2 24 ()sin1( 1) 0 3 3 nxl n l Cx l xdx n ll n ( , )u x t 2 2 2 (21) 2 8(1 2 sin 33 (21)0 na ln el l nn 21)x 11. 长为l的细杆两端绝热，初始时( ,0)u xx，求其温度变化的规律。 解： (1)定解问题为 ： 2 uu0 (0, )0,( , )0 ( ,0) xx a txx utu l t u xx (2)本征值与本征函数分别为： 2 2 2 21 , 4 n n l n X ( )=cos n x x l , 0,1,2n (3)特解的线性叠加 2 2 2 ( , )cos 0 nx na t u x tC e n l n (4)根据本征函数正交性，由初始条件定系数 由( ,0)cos 0 nx xu xCn l n 得， 1 0 : 0 2 l nCdx l 22 cossin 00 nxlnx ll Cxdxxd n lll nl 0 2 sinsin 0 |l nxnx l xdx nll 0 22 cos( 1)1 2 22 2 |l lnxl n l nn 22 2 (21) 4(1 2 ( , )cos 22 2 0 (21) ka t llkx u x tel l kk 21) 12. 长为l的均匀细杆，杆身绝热，初始温度为（常温） ，让其一端 温度保持为不变，另一端绝热，求杆上的温度分布。 0 u 0 0 C 解： (1)定解问题 为 ： 0 2 uu0 (0, )0,( , )0 ( ,0) x a txx utu l t u xu (2)本征值与本征函数分别为 2 2 2 21 , 4 n n l (2n+1) X ( )=sin,0,1,2 n 2 x xn l (3)特解的线性叠加 22 2 (21) (21) 2 ( , )sin4 2 0 na t nx u x tC el n l n (4)根据本征函数正交性,由初始条件定系数 由 (21) ( ,0)sin 0 2 0 nx uu xCn l n 42(21) 0 sin 0 0 2(2 unx l Cudx n ll1)n 222 2 (21) 4 4(21)1 0 ( , )sin 2(21) 0 na l unx u x t ln n e t 7.2 柱坐标系中的分离变量法 1.将亥姆霍兹方程0uu 在柱坐标系中分离变量，其中为常数。 解：在柱坐标系中，亥姆霍兹方程为 2 11 0 zz uuuuu （1） 分离变量，令( , , )( )( )uzFZ z （2） 代入式（1） ，乘以 1 FZ ，移项后得 2 ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) FFZ FFZ z z 上式含有, ,z 三个独立变量， 上式的左边与在 z 无关， 右边与, 无 关。因此，两边只能等于同一个常数，设此常数为，则有 2 ( )( )0(3) ()()( ) 0(4 ()()( ) ZzZ z FF FF ) 用 2 乘式（4）移项后得 22 ( )( )( ) () ( )( )( ) FF FF 上式含有, 两个独立变量，其左边与无关，右边与无关。因此， 两边只能等于同一常数。设此常数为v，则可以分离为两个常微分方 程 2 2 222 0(5 ()0(6) v FFv F ) 其中可能大于或小于零。 若0，设 2 ，式（6）变为 222 ()0FFvF(7) 若0，设 2 ，式（6）变为 222 ()0FFvF(8) 令xm，( )()( ) x FFy m x 9) ，则式（7）变为贝塞尔方程 222 ()0(x yxyxvy 式（8）变为虚宗量贝塞尔方程 222 ()0(10)x yxyxvy 总之，亥姆霍兹方程可分离为三个常微分方程 2222 0 0 () ZZ v FFmvF 0 2.在矩形区域0,0xayb内求拉普拉斯方程的解，使满足边界条 件： 0 0 0,; 0,0 xx a yy b uuA uu yy y 3.求一个长而薄的圆柱面内的电势，该圆柱面被微小间隙分成两半， 上半片(0)上电势为，下半片( 0 V2 )上电势为零；该圆柱 的半径为R. 4.一圆环形平板，内半径为 ，外半径为，侧面绝热，如内圆温度 保持为 0，外圆温度保持为 1，求稳恒状态下的温度分布。 1 r 2 r 5. 一 半 经 为a的 半 圆 形 平 板 ， 其 圆 周 边 界 上 的 温 度 保 持 ( , )(u aT) ，而直径边界上的温度保持为 0，板的侧面绝热， 求稳恒状态下的温度分布。 （T 为给定的常数） 6.设有无穷长圆柱体，半径为R，在热传导过程中内部无热源，而边 界上保持温度( )f，当柱体内温度分布达到稳定时，求温度分布。 7.利用恒等式 2 2 2 1 111 cos () 221 2 cos() n n 其中1，证明