八上数学评价手册答案.doc

1 初二数学（八上）创新教育实验手册 参考答案（苏科版） 第一章第一章 轴对称图形轴对称图形 1. 1 轴对称与轴对称图形轴对称与轴对称图形 【实践与探索实践与探索】 例 1 请观察 26 个大写英文字母，写出其中成轴对称的字母 解：成轴对称的字母有： A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y 注意注意：字母“N、S、Z”也具有对称的特点，但它们不是轴对称图形 例 2 国旗是一个国家的象征，观察图 1.1.1 中的国旗，说说哪些是轴对称图 形，并找出它们的对称轴 （略） 【训练与提高训练与提高】 一、选择题：一、选择题： 1A 2D 3B 4A 5A 二、填空题：二、填空题： 6 （1） （2） （5） （6） 72，3，1，4 81021 三、解答题：三、解答题： 9如图： 10长方形、正方形、正五边形 【拓展与延伸拓展与延伸】 1 （3）比较独特，有无数条对称轴 2 A BC D1 D2 D3D4 B1 C B A C1 A1 图 1.2.1 2 1.2 轴对称的性质（轴对称的性质（1） 【实践与探索实践与探索】 例 1 已知ABC 和A1B1C1是轴对称图形，画出它们的对称轴 解： 连接 AA1，画出 AA1的垂直平分线 L，直线 L 就是ABC 和A1B1C1的 对称轴 回顾与反思回顾与反思 连接轴对称图形的任一组对称点，再画对称点所连接线段的 垂直平分线，就得该图形的对称轴 例 2 如图 1.2.2，用针扎重叠的纸得到关于 L 对称的两个图案，并从中找 出两对对称点、两条对称线段 解：可标注不同的对称点例如：A 与 A是对称点，B 与 B是对称点 对称线段有 AB 与 AB，CD 与 CD等 回顾与反思回顾与反思 研究对称点是研究对称图形的基础，一般先研究对称点，再研究 对称线段，这能更清楚地了解轴对称的性质 【训练与提高训练与提高】 一、选择题：一、选择题： 1B 2D 3B 4A 二、填空题：二、填空题： 5轴对称，3 条 6略 7810076 8ABCD BEDE BD 三、解答题：三、解答题： 92，4，5 10略 11不是，不是 12略 13在对称轴上 【拓展与延伸拓展与延伸】 1如图： 图 1.2.2 3 图1.2. （1）（2） 图 124 图 125 2如图： 1.2 轴对称的性质（轴对称的性质（2） 【实践与探索实践与探索】 例 1 画出图 1.2.3 中ABC 关于直线 L 的对称图形 解： 在图 1.2.3（1）和图 1.2.3（2）中，先分别画出点 A、B、C 关于直线 L 的 对称点、和，然后连接、，则就是ABC 1 A 1 B 1 C 11B A 11C B 11A C 111 CBA 关于直线 L 对称的图形 回顾与反思回顾与反思 （1）如果图形是由直线、线段或射线组成时，那么在画出它关于 某一条直线对称的图形时，只要画出图形中的特殊点（如线段的端点、角的顶 点等）的对称点，然后连接对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形； （2）对称轴上的点（如图 1.2.3（1）中的点 B） ，其对称点就是它本身 例 2 问题 1：如图 1.2.4，在一条笔直的河两岸各有一个居民点 A 和 B， 为方便往来，必须在河上架桥，在河的什么位置架桥，才能使 A 和 B 两地的居 民走的路最短？ 问题 2：如图 1.2.5，在一条河的同岸有两个居民点 A 和 B，现拟在岸上修 建一个码头，问码头修在何处，才能使码头到 A 和 B 两地的总长最短？ 4 图1.2.4 问题 1 和问题 2 之间有联系吗？能从前一个问题受到启发来解决这个问题吗？ 探索：探索：对问题 1，显然只要连接 AB，AB 与 a 的交点就是所要找的点 对问题 2，即要在直线 a 上找一点 C，使 ACBC 最小 分析： 我们用“翻折”轴对称的方法画点 C： （1）作点 A 关于直线 a 的对称点 A； （2）连结 AB 交 a 于点 C，点 C 就是所求作的点 理由：如图 1.2.4，如果 C是直线 a 上异于点 C 的任意一点，连 A C、B C、A C，则由于 A、A关于直线 a 对称，所以有 ,CAACCAAC 所以 BCCABCACBCACBCCABA 这说明，只有 C 点能使 ACBC 最小 【训练与提高训练与提高】 一、选择题：一、选择题： 1C 2C 3B 4A 二、填空题：二、填空题： 5 （1）等腰三角形 （2）矩形 （3）等边三角形 （4）正方形 （5）五角星 （6）圆 6不对称、不对称 75 个 三、解答题：三、解答题： 8略 9略 10画图略 11如图： 12画出点 A 关于直线 L 的对称点 A，连结 AB 与直线 L 的交点即为所求停靠 点 【拓展与延伸拓展与延伸】 5 图1.3.1 图1.3.2 1图略 2图略 1.3 设计轴对称图形设计轴对称图形 【实践与探索实践与探索】 例 1 剪纸，千百年来在民间时代流传，给我们的生活带来无限的美丽！动手 学一学： 观察一下，图 1.3.1 中最后的展开图是一个轴对称图形吗？它有几条对称轴？ 例 2 如图 1.3.2，以直线 L 为对称轴，画出图形的另一半 6 图1.4.1 图1.4. 【训练与提高训练与提高】 一、选择题：一、选择题： 1B 2B 二、填空题：二、填空题： 3M、P、N、Q 三、解答题：三、解答题： 4如图： 5略 6如日本、韩国 、等 7略 8图略 【拓展与延伸拓展与延伸】 1图略 2图略，答案不唯一 1.4 线段、角的轴对称性线段、角的轴对称性(1) 【实践与探索实践与探索】 例1 如图1.4.1，在ABC中，已知边AB、BC的垂直平分线相交于点P (1)你知道点P与ABC的三顶点有什么关系？ (2)当你再作出AC的垂直平分线时，你发现了什么？ 解：(1)点P与ABC的三顶点距离相等，即PAPBPC (2)如图，AC的垂直平分线也经过P点即三角形的三条中垂线交于一点 例2 如图1.4.2，在ABC中，已知AB AC，D是AB的中点，且 DEAB，交AC于E已知BCE周长为8，且ABBC2，求AB、BC的长 7 图1.4. 分析 ：由题意可知，DE垂直平分AB，则有AEBE， 因此BCE的周长就转化为AC BC，问题即可解决 解： 因为D是AB的中点，且DE上AB，所以AEBE， 则BCE的周长 BECE BC AECEBCACBC8 又因为AB BC 2， AB AC，所以ACBC2. 由上可解得AC 5， BC3 回顾与反思回顾与反思 (1)本题中利用“E是线段AB的垂直平分线上的点”得到“AEBE”， 从而实现了“线段BE“的转移，这是我们常用的方法； (2)利用“线段的中垂线的性质”可以说明两条线段相等 【训练与提高训练与提高】 一、选择题：一、选择题： 1C 2D 3D 4A 二、填空题：二、填空题： 5无数个 66，2 710，8 cm 89 cm 三、解答题：三、解答题： 9240 10连结 AB，作 AB 的中垂线交直线 L 于 P，点 P 即为所求作的点 1124 cm 12(1) 35 0 （2）55 0 【拓展与延伸拓展与延伸】 1图略 （1）只要任意找一个以 A 为顶点的格点正方形，过点的对角线 或其延长线与 B的交点就是点 （2）找与 A 为顶点的正方形中与 A 相 对的顶点 2 9 cm 1.4 线段、角的轴对称性线段、角的轴对称性(2) 【实践与探索实践与探索】 例1 如图1.4.3，在ABC中，已知ABC和 ACB的角平分线相交于O请问： (1)你知道点O与ABC的三边之间有什么关系吗？ (2)当你再作出A的平分线时，你发现了什么？ 8 图1.4.4 解： (1)点O到ABC的三边的距离相等； (2)如图1.4.3，A的平分线也经过点D，即三角形的三条角平分线交于一点 例2 已知：如图1.4.4， ADBC， DCBC， AE平分BAD，且点E是 DC的中点问：AD、BC与AB之间有何关系？试说明之 分析：此题结论不确定，从已知中收集有效信息，并大胆尝试 （包括用刻度尺测量）是探索、猜想结论的方法 (1)将“AE平分BAD“与“DEAD“结合在一起考虑，可以联想到， 若作EFAB于F，就构成角平分线性质定理的基本图形，可得AFAD (2)再结合“点E是DC的中点”，可得：ED EFEC于是连接BE，可证 BFBC 这样，AD BC AF BF AB 解：AD、BC与AB之间关系：AD BC AB证明思路简记如下： 作EFAB，连接BE，易证ADEAFE( AAS)，AD AF 再由EFED，EFEC，可得BFEBCE( HL)， BFBC，ADBC AB 回顾与反思回顾与反思 (1)根据例1的结论，我们可以在三角形内找到一点，使它到三角 形三边距离都相等； (2)利用角平分线的性质，可以说明两条线段相等，这也是我们常用的办法 【训练与提高训练与提高】 一、选择题：一、选择题： 1A 2B 3A 4C 二、填空题：二、填空题： 5线段的垂直平分线、角平分线 63 7900 三、解答题：三、解答题： 8略 9过 P 点分别作垂线 10作图略 11作 MN 的中垂线，AOB 的平分线交点即是 126 cm 9 图1.5.1 B E DC F A 【拓展与延伸拓展与延伸】 1600 2略 1.5 等腰三角形的轴对称性等腰三角形的轴对称性(1) 【实践与探索实践与探索】 例1 (1)已知等腰三角形的一个角是1000，求它的另外两个内角的度数； (2)已知等腰三角形的一个角是800，求它的另外两个角的度数 分析： (1)由于等腰三角形两底角相等，且三角形的内角和为1800，所以1000的 角一定是这个三角形的顶角； (2)等腰三角形的一个角是800，要分底角为800或顶角为800两种情况 解：(1)由于等腰三角形两底角相等，且三角形的内角和等于1800，这个三角形 的顶角等于1000，所以这个三角形的另两个内角应为 (1800 1000)400 2 1 (2)底角为800时，另外两角分别为800和200；顶角为800时，另外两角分别为 500和500 回顾与反思回顾与反思 ：(1)当不知道已知的角是等腰三角形的顶角还是底角，此时须进 行讨论；(2)若把已知角改为，则这个等腰三角形另外两个角的度数是怎样的 呢？ 例2 如图1.5.1，在ABC中，AB AC，D为BC的中点， DEAB，垂足为E， DFAC，垂足为F试说明DEDF的道理 分析：本题可以根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”来说明 DEDF也可以利用ADB和ACD面积相等来说明DEDF， 或用全等来说明 【训练与提高训练与提高】 一、选择题：一、选择题： 1A 2C 3C 4C 5A 10 图 152 图1.5.3 二、填空题：二、填空题： 65 cm 76 cm，2 cm，或 4 cm，4 cm 8 （1）12.5 （2）， 93，3，4 或 4，4，2 3a120 b 三、解答题：三、解答题： 10 （1）700、400 或 550，550 （2） 300，300 11750，750，300 1233 cm 131080 14BDCE. 理由： ABAC，BCADAE，ADEAEDADBAE CABDACEBDCE 【拓展与延伸拓展与延伸】 11000 2略 1.5 等腰三角形的轴对称性等腰三角形的轴对称性(2) 【实践与探索实践与探索】 例1 如图1.5.2，在ABC中，已知A 360，C720， BD 平分ABC，问图中共有几个等腰三角形？为什么？ 解：图中共有3个等腰三角形 A360，C720， ABC1800一（AC）1800 (360720) 720C， ABC是等腰三角形 又BD平分ABC，ABDCBDABC360， 2 1 BDCAABD 360360720， 即有AABD，BDCC ABD和BCD都是等腰三角形 图1.5.2中共有3个等腰三角形 例 2 如图 1.5.3 所示，在四边形 ABCD 中，ABCADC 11 900，M、N分别是AC. BD的中点，试说明： (1)DMBM； (2)MNBD 解： (1) 点M是RtABC斜边的中点，BM AC， 2 1 同理DMAC，BMBM； 2 1 (2) N是BD的中点，又BMDM，MNBD 回顾与反思回顾与反思 (1)“等边对等角”和“等角对等边”是证明角相等或边相等的又一手 段，要能够将这两条定理结合在一起灵活运用，要分清区别和联系； (2)看见直角三角形斜边的中点时，要联想“直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半”，这是我们常用的思维方式之一 【训练与提高训练与提高】 一、选择题：一、选择题： 1D 2B 3D 4C 二、填空题：二、填空题： 5等腰 68 7350 ， 8 （1）BDE 或ADE （2）BCE 2 1 （3）AGF 三、解答题：三、解答题： 9等腰三角形 10ABC，AEF，EBO，FCO，OBC BECF EF 2 1 11平行 1210 cm 【拓展与延伸拓展与延伸】 1延长 AE 交 BC 延长线于 F 2略 1.5 等腰三角形的轴对称性等腰三角形的轴对称性(3) 【实践与探索实践与探索】 12 图 1.5.4 例1 如图1.5.4，在ABC中，AB AC，BAC 1200，点D、E在BC上，且BD AD，CE AE判断ADE的形 状，并说明理由 解： ADE是等边三角形 理由：ABAC，BAC120，BC300 BD AD， AECE， BBAD 300，CCAE 300，ADEDAEAED600. ADE是等边三角形 例2 等腰三角形的底边长为5 cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分 为两部分之差为3 cm，则腰长为 ( ) A2 cm B8 cm C2 cm或8 cm D以上都不对 分析 可以先画出草图，题中所给条件实质是腰长与底边长之差的绝对值为3 cm因为底边长为5 cm，所以腰长可能为8 cm或2 cm，但由于2 cm 2 cm 5 cm，故腰长不能为2 cm，只能为8 cm 解： 选B 回顾与反思回顾与反思 涉及求等腰三角形边或角时，常会出现“两解”的情况这样的“解” 需要检验它是否满足三角形的三边或三角之间的关系 【训练与提高训练与提高】 一、选择题：一、选择题： 1D 2D 3C 4A 5C 二、填空题：二、填空题： 6等边、等边 7150 81200 三、解答题：三、解答题： 9 10、略 11 （1）ECBD （2）添加条件：ABAC，是轴对cm10 称图形，此时，BOC1200， 12过 D 点作 AC 平行线 【拓展与延伸拓展与延伸】 13 图1.6.1 图1.6.2 1添辅助线，通过ACDBCE 来说明 2略 1.6 等腰梯形的轴对称性等腰梯形的轴对称性(1) 【实践与探索实践与探索】 例1 如图1.6.1，在梯形ABCD中，ADBC， ABCD， 点E在BC上，DEAB且平分ADC，CDE是什么三角形？ 请说明理由 解： CDE是等边三角形 因为ADBC， ABCD，所以BC理由：“等腰梯形在同一底上的两个 角相等” 又因为ADBC，所以ADECED由DE平分ADC，可得 ADECDE， 于是CEDCDE.又因为ABDE，所以BCED，从而有 CCEDCDE， 所以CDE是等边三角形 回顾与反思回顾与反思 等腰梯形与等腰三角形有着紧密的联系在研究等腰梯形时，要 联想到等腰三角形中的知识 例2 如图1.6.2，在梯形纸片ABCD中，ADBC， B 600， AB 2，BC6将纸片折叠，使得点B与点D 恰好重合，折痕为AE，求AE和CE的长 解 点B与点D沿折痕AE折叠后重合， ABEADE ， 1 B 600， 3 4. ADBC， 1 2600. 14 图1.6.3 B CF A DE 而2 3 4 1800， 3 4 1200， 3 4600， 而B 600，5 600，因此，ABE是等边三角形 AE BE AB 2， CE BC BE 4. 回顾与反思回顾与反思 解题过程中要把等腰梯形和一般梯形的特征区分开，不可误用 【训练与提高训练与提高】 一、选择题：一、选择题： 1B 2C 3B 二、填空题：二、填空题： 41080，1080，720 527 6 71 cm 8150 三、解答题：三、解答题： 9AE 1072 0 、72 0 、108 0、108 0，11成立 【拓展与延伸拓展与延伸】 1CE（ABBC） 2 1 过点 C 作 CFDB，交 AB 的延长线于点 F，先证：DCBFBC，则 CFDB，又四边形 ABCD 是等腰梯形，则 ACDB，故 ACCF， 易证：AOBACF，所以ACF 为等腰直角三角形 又因为 CEAB，易证：CEAEEF 2 BCAB 24，6 1.6 等腰梯形的轴对称性（等腰梯形的轴对称性（2） 【实践与探索实践与探索】 例 1 如图 1.6.3，ABC 中，ACB900，D 是 AB 的中点，DEAC， 且 DE，点 F 在 AC 延长线上，且 CF，请说明四边形 AFED 是AC 2 1 AC 2 1 等腰梯形 略证：先说明四边形 CFED 是平行四边形 由 CDEF，FACD，且 CD 是 RTABC 斜边上的中线 15 (1) (2)(3) (4) 图1.6.4 得AF，证得四边形 AFED 是等腰梯形 回顾与反思回顾与反思 要证明梯形是等腰梯形时，只要证明同一底上的两个角相等 例 2 阅读下面的分析过程，并按要求回答问题 已知在四边形 ABCD 中，ABCD，ACBD，ADBC.则四边形 ABCD 是等腰 梯形你能说明理由吗？ 分析：要证明四边形 ABCD 是等腰梯形，因为 ABDC，所以只需证四边形 ABCD 是梯形即可；又因为 ADBC，故只需证 ADBC现有如图 1.6.4 所示 的几种添辅助线的方法，可以任意选择其中一种图形，对原题进行证明 友情提示：充分利用全等三角形与等腰三角形来完成 回顾与反思回顾与反思 在研究等腰梯形时，常常通过辅助线，使等腰梯形与等腰三角形、 平行四边形联系起来 【训练与提高训练与提高】 一、选择题：一、选择题： 1C 2C 3B 4B 5C 二、填空题：二、填空题： 624 750 0 、50 0 、130 0、130 0， 8是 980 0 、80 0 、100 0， 等腰 三、解答题：三、解答题： 10略 11ABCDCB 12是，理由：EACE，AEAC ADBC，DACACE EDAC ADBE，ABECDA ABCD 梯形 ABCD 是等腰 梯形 16 M NF D CB A E 13ABAC，ABCACB BDAC，CEAB，BECCDB900，BCBC BECCDBBECDAEAD AEDADEABCACB， 2 1800A 2 1800A AEDABC.EDBC. BE 与 CD 相交于点 A，BE 与 CD 不平行 四边形 BCDE 是梯形EBCDCB，梯形 BCDE 是等腰梯形 【拓展与延伸拓展与延伸】 126，32 2解：设经过 x 秒后梯形 MBND 是等腰梯形， 作 MEBC 于点 E，DFBC 于点 F BEFNAMxEFMD21x，CN2x，BN242x BN2AMMD即 242x2x21x，x1 第一章复习题第一章复习题 A 组：组： 1A 2C 3B 4D 5C 6 、18 或 21，22 735 0 、35 0 ；40 0、100 0或 700、700 83 cm 或 7 cm 97，10 或 8.5， 8.5 10 （1）300， （2）19 111000 12 （1）400， （2）350， （3）360 13450 1350 等腰 14等腰梯形 153 B 组组： 16略 17略 1827 300 19提示：先证：ADEADC，则 17 DEDC， 所以DECDCE，又 EFBC，所以DCEFEC，则FECDEC 20 21略 5 12 22提示：连结 CR、BP，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 第二章第二章 勾股定理与平方根答案勾股定理与平方根答案 2.1 平方根平方根 例 1 解： (10)2100，100 的平方根是10，即；10100 (1.3)21.69，1.69 的平方根是1.3，即；3 . 169 . 1 ，()2，的平方根是，即； 4 9 4 1 2 2 3 4 9 4 9 2 3 2 3 4 1 2 020，0 的平方根是 0，即.00 回顾与反思：回顾与反思：正数的平方根有两个，它们互为相反数，要防止出现 100 的平方根 是 10 的错误； 当被开方数是带分数时.应先将它化成假分数后再求平方根； 0 的平方根只有一个，就是 0，负数没有平方根. 例 2 解： 640，64 没有平方根； (4)2160； (4)2有两个平方根，即；416)4( 2 52250， 52没有平方根； 表示 81 的正的平方根是 9，90， 的平方根有两个是3.8181 回顾与反思：回顾与反思：象(4)2、这样的数求平方根时，应先将这些数化简，再求化简后81 的数的平方根. 例 3 解： ，x 是 196 的平方根，即；196 2 x14196x ，x 是 2 的平方根，即；0105 2 x2 2 x2x ， ，025336 2 x 36 25 3 2 x 是的平方根，即；3x 36 25 6 5 3x 18 ， 6 23 1 x 6 13 2 x 【训练与提高训练与提高】 1. B； 2D； 3B. 4.3； 5.17；4； 6.15； 7.1； ； 8.9；81； 9.0. 5 4 4 9 108；1.3；9；11.5；9；3，1；12.25； 3 5 2 1 134. 【拓展与延伸拓展与延伸】 1. 9；2.3. 2.1 平方根平方根 例 1 分析： 表示 10000 的_根； 表示的算术平方根10000 225 121 225 121 的相反数； 表示的_根. 81 49 81 49 解 ；10010010000 2 ； 15 11 ) 15 11 ( 225 121 2 . 9 7 ) 9 7 ( 81 49 2 回顾与反思：回顾与反思：表示 10000 的算术平方根，要防止出现100 的错误.1000010000 探索：发现： 当时，.0aaa 2 )( 发现：当时， 当时， ；当时， .0aaa 2 0aaa 2 0a0 2 a 即. )0( )0(0 )0( | 2 aa a aa aa 例 2 解： 3； 3； 当 x0 时， 2 )3( 2 )3( ；xx 2 )( 当时，.0a03 aaaaa3|3|)3(9 22 19 回顾与反思：回顾与反思：等式和，是算术平方根的两个)0( 2 aaa )0( )0(0 )0( | 2 aa a aa aa 重要性质.以后经常会用到它们. 【训练与提高训练与提高】 1.B； 2.A； 3.B 4.D； 5.D； 6.C. 7.15，15； ， ；0.1，0.1； 12 7 12 7 .2，2；8.； 9.，2；10.；11.1； 12.3，互为相17,17 16 9 30a9x 反数. 13. 1； ；0.17；.5；.0.3；. 6 5 13 6 9 5 4 15 2 【拓展与延伸拓展与延伸】 1. 5，1 ；12. 5. 2.2 立方根立方根 例 1 分析 因为立方与开方互为逆运算，因此我们可以用立方运算来求一个数的立方根， 也可以通过立方运算来验证一个数是否为另一个数的立方根. 例 1 解 ，； 27 8 ) 3 2 ( 3 3 2 27 8 3 ， ； 27 8 ) 3 2 ( 3 3 2 27 8 3 、略. 例 2 解 ； 3 4 ) 3 4 ( 27 64 27 10 2 3 333 . 5 2 ) 5 2 ( 125 8 125 8 3 333 略. 回顾与反思：当被开方数带“”号时，可把“”提取到根号外后再计算； 当被开方数是带分数时，应先化成假分数； 当被开方数没化简时，应先化简后再求值. 例 3 解 ；略28, 8,162 33 xxx 回顾与反思：平方根与立方根的区别如下：表示的意义不同；与中的被a 3 a 开方数 a 的取值范围不同， 中的 a 应满足 a0， 中的 a 可为任何数；一个数a 3 a 的平方根与立方根的个数也不同，一个数的平方根最多有两个，也可能是一个或者不存在， 而它的立方根总有且只有一个；负数没有平方根，但负数有立方根. 【训练与提高训练与提高】 20 1. B； 2.C； 3.D； 4.B； 5.8，4，8； 6.1，5，. 7. 100；8； 6 5 2 3 87，3； 9.10； ；3. 0.3；6. 4 5 7 2 2 3 3 4 10.8；16；4. 11.5；4；2. 5 6 3 9 【拓展与延伸拓展与延伸】 1. ； 2. 37.52. 3 9 2.3 实数实数 例1 如图将两个边长为 1 的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个等腰直角三角形， 即可拼成一个大正方形，容易知道，这个大正方形的面积是 2，所以大正方形的边长是 .2 这就是说，边长为 1 的正方形的对角线长是，利用这个事实，我们容易在数轴上2 画出表示的点，如图 2.3.2 所示.2 例 2 分析 无理数有两个特征：一是无限小数，二是不循环.因此，要判定一个数是不 是无理数，应从它的定义去判断，而不是从表面上去判断.如带根号的数不一定是无理数， 而我们熟悉的圆周率就是无理数. 解 有理数有3.1415926， ，. 113 335 31 . 0 36 25 无理数有， ， 0.1010010001. 3 9 2 2 回顾与反思：有理数与无理数的区别是：前者是有限小数或无限循环小数，而后者一 定是无限不循环小数. 例 3 解 不正确.如是无限小数，但它不是无理数； 53 . 2 不正确. 如是有理数，但它是无限小数； 53 . 2 正确.因为无理数是无限不循环小数，当然是无限小数； 不正确.如是有理数.4 O 1x 2 图 2.3.1 21 【训练与提高训练与提高】 1.B； 2. C； 3.C. 4.实数； 5. ，0，252252225 ，； 5.121121121，25 7 22 64 . 3 ， ，. 6；7. 2 18 3 2 65 【拓展与延伸拓展与延伸】 1. C； 2. 8. 2.3 实数实数 例 1 分析 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的意义完全 相同.所以我们可以用在有理数范围内的同样方法来求一个实数的相反数、绝对值. 解 ，的相反数是 4，绝对值是 4；46464 33 3 64 的相反数是，0，.3333|3| ，这个数是3|3|3|3|3 解 由图可知，.，, 0aaacb 0bcbcbc ，0, 0bababa cbabcababcababca)()( 回顾与反思：回顾与反思：根据实数在数轴上的位置可以确定各数的符号以及这些数的大小关系； 在求一个数的绝对值时，首先要确定这个数的符号，然后根据“正数和零的绝对值是 本身，负数和零的绝对值是它的相反数”来求出它的绝对值. 每个有理数都可以用数轴上的点来，但数轴上的点并不都表示有理数，数轴上的点 与实数是一一对应的，即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来数轴上的每一 个点都表示一个实数. 例 3 解： （1） ，又， .5)5( 2 4 25 ) 2 5 ( 2 4 25 5 2 5 5 （2）， 2 5 5 2 3 15 4 3 2 15 回顾与反思：回顾与反思：比较两个无理数的大小，通常可以用计算器求它们的近似值再进行比较. 估算一个无理数的大小 ，还可以用与它相近的有理数逐步逼近的方法来实现. 【训练与提高训练与提高】 1. D ； 2.B； 3.2，2； ，；3，3；， . 4 ， ， 3 1 2 3 1 225 25 ； 5.1，0，1； 6. ； 7.2.02；10.95；0.98 ；1.29； 37 8.5；4；9. 9.b2 a2c . 10； ； ； .535 22 【拓展与延伸拓展与延伸】 1. 2ab .2. 4. 2 2.3 近似数与有效数字近似数与有效数字 例 1 分析 生活中形形色色的数， 哪些是近似数？哪些是准确数?需要我们仔细去辨别.脱 离了现实背景的数，有时则无法区分. 解 略. 例 2 解 43.8 精确到十分位(即精确到 0.1)，有 3 个有效数字， 分别为 4、3、8. 0.03086 精确到十万分位，有 4 个有效数字，分别为 3、0、8、6. 2.40 万精确到百位，有 3 个有效数字，分别为 2、4、0. 回顾与反思：回顾与反思：由于 2.40 万的单位是万，所以不能看成精确到百分位，另外 2.4 万和 2.40 万作为近似数，它们是不一样的. 例 3 解 3.48023.48 ； 3.48023.480； 3.14159263.14； 268022.7104. 回顾与反思：（回顾与反思：（1）本题、小题，由于精确度要求不同，同一个数的近似结果是不 一样的，所以第题中 3.480 后面的 0 不能省略不写；反之同一个近似结果所对应的原数 也不一定相同，你能举例说明吗? （2）第小题中若把结果写成 27000，就看不出哪些是保留的有效数字，所以此时要 用科学计数法，把结果写成 2.7104. 【训练与提高训练与提高】 1. D； 2.C； 3.A； 4.略；5. 百分位，4 个； 个位，2 个； 千 分位，3 个； 个位，5 个； 万分位，3 个； 万位，3 个； 百 分位，3 个； 百万位，3 个. 【拓展与延伸】 1102；0.54；3.64103；3.5. 2.4 勾股定理（勾股定理（1） 例例 1 解：在 RtABC 中， C90，a2b2c2，a6，c10， b2c2a264，b8.(b8 舍去) 在 RtABC 中， C90，a2b2c2，a40， b9， c2a2b21681，c41. .(c41 舍去) 在 RtABC 中， C90，a2b2c2，b15，c25， a2c2b2400， ，a20. .(a20 舍去) 在 RtABC 中， C90，a2b2c2，3a4b，ab43， 设 a4k，b3k，则 c5k.c2.5，k0.5，a2， ，b1.5. 回顾与反思：回顾与反思：勾股定理反映直角三角形中三边的关系，运用勾股定理在直角三角形的 三边中已知任意两边就可以求出第三边. 例例 2 解 ABC 中， ACB90，ACBC1， AB，211 2222 BCAC ABC 中， ACB90， BC1，AB2， AC312 2222 BCAB 回顾与反思：运用勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形若已知条件中没有直 角三角形时，应构造直角三角形后方可运用勾股定理 【训练与提高训练与提高】 1.D； 2.A； 3. 13，60； 4. 225，39， 225； 5. 5， 6.5； 7. 49； 8.13； 9. 7 23 a3 【拓展与延伸拓展与延伸】4. 2.4 勾股定理（勾股定理（2） 例例 1 略略 例例 2 解：由题意得AOB90，AO30，BO40. (海里)504030 2222 BOAOAB 答：1 小时后两舰相距 50 海里 例例 3 分析 此题首先要解决ABC 的面积，为此，可考虑作 ADBC 于 D. 解解 过 A 作 ADBC 于 D，则 AD2AB2BD2AC2CD2. 设 BDx，则 CD14x，132x2152(14x)2， x5 即 BD5，AD2144. AD12，SABCBCAD84m2. 2 1 费用 84504200 元. 回顾与反思：（回顾与反思：（1）勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的关系，已知直角三角形中 任意两边就可以依据勾股定理求出第三边.在实际问题中若存在现成的直角三角形，就可以 直接运用勾股定理解决问题. （2）涉及面积计算往往需要添加辅助线(高)来构造直角三角形，从而运用勾股定理求 得相应的线段，进而求出所需面积. 【训练与提高训练与提高】 1. D 2D. 34，6 ，2. 4. 7 ，1.8 ； 5. 3； 6. 略. 【拓展与延伸拓展与延伸】 1.图略； 2. 图略. 2.5 神秘的数组（神秘的数组（ 例例 1 解 .根据直角三角形的判定条件知， 222222 25625247cba 由 a、b、c 为三边组成的三角形是直角三角形，且C90. .根据直角三角形的判定条件知，由 222222 5 . 225 . 6 5 . 12acb a、b、c 为三边组成的三角形是直角三角形，且A90. c a， c b， ，而， 16 41 1 4 5 2 2 22 ba 9 25 3 5 2 2 c ，根据直角三角形的判定条件知，由 a、b、c 为三边组成的三角形不是 222 cba 直角三角形. 回顾与反思：回顾与反思：要判定一个三角形是否为直角三角形，只要计算两条较短边的平方和， 以及最长边的平方，然后看它们是否相等即可. 例例 2 解 在ABD 中，AB2AD291625BD2， ABD 是直角三角形，A 是直角. 在BCD 中，BD2BC225144169CD2， BCD 是直角三角形，DBC 是直角. 24 这个零件符合要求. 回顾与反思：像回顾与反思：像(3，4，5)、(6，8，10)、(5，12，13)等满足等满足 a2b2c2的一组正整数，的一组正整数， 通常称为勾股数利用勾股数可以构造直角三角形通常称为勾股数利用勾股数可以构造直角三角形. 例例 3解 .12412)2() 1( 2422422222 nnnnnnnba 根据直角三角形的判定条件，得C90. 222 ) 1(cn 【训练与提高训练与提高】 1. B； 2.B； 3.C； 4. C； 5.C ； 6. 直角三角，B； 7. 12，13，5；直角三角形； 8. 直角三角形，略 9. ABBC ，B90，AC2AB2BC25，又 AC2CD2549AD2.ACD90，ACCD. 10.是，略； 11.连接 AC，ADC90， AD4，CD3，AC2AD2CD225，AC5，AB13，BC12，AC2BC2 25144169AB2，ACB90，S30624. 【拓展与延伸拓展与延伸】 1. 连结 EC，D 是 BC 的中点，DEBC 于 D，交 AB 于 E，BECEBE2EA2AC2，CE2EA2AC2，CE2EA2AC2A90.2.略 2.6 勾股定理的应用（勾股定理的应用（1） 例 1 分析 根据勾股定理，直角三角形中若两直角边长分别为 1 个单位和 3 个单位， 则斜边长为个单位，因此，以原点为圆心，个单位长为半径画圆与数轴的交点1010 表示的数即分别为.10 解：如图图 2.6.1； 如图图 2.6.1 例 2 分析：几何应用问题重在将实际问题转化为数学问题，此题若设 AEx km，由 DAE、EBC 均为直角三角形，且它们的斜边相等，运用勾股定理可建立方程. 解：设 AEx km，则 BE(25x)km. CEDE，CE2DE2. 由勾股定理得 152x2(25x) 2102 解得 x10 . 答：E 站应建在距 A 站 10km 处. 回顾与反思：（1）运用勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形若已知条件中没 有直角三角形时，应构造直角三角形后方可运用勾股定理 （2）勾股定理是直角三角形中三边数量之间的一个关系式，也常被用作列方程的等量 关系； 【训练与提高训练与提高】 01-110 01-15 图 2.6.1 A D E C B 图 2.6.1 25 1. B . 2.C； 3.34； 4. 5，13； 5. 24，4.8. 6. . 7. 能，略 8. 能，略； 9. 略； 2 10.10； 11. 4； 12. 25 . 【拓展与延伸拓展与延伸】 1. 19.5m； 2. 作 ADBC 于 D，设 BDx，由题意 10x2172(x9)2，解得 x6.由 勾股定理得 AD8. 2.6 勾股定理的应用勾股定理的应用 例例 1 分析：设 ECx，则 DE8x，由于折叠长方形的边 AD，且 D 落在点 F 处，故 AFE 和ADE 全等，则 EF8x，AFAD10，在 RtEFC 中，运用勾股定理得到关 于 x 的方程，可以求出 x 的值. 解：设 ECx cm，则 DE(8x)cm， D、F 关于 AE 对称AFEADE， AFADBC10，EF DE8x. 在 RtABF 中，6 222 ABAFBF FCBCBF4. 在 RtEFC 中，由勾股定理得： ， 222 )8(4xx 解得 x3. 答：EC 长为 3cm 回顾与反思：（回顾与反思：（1）折叠问题和轴对称密切相关，要注意翻折图形的特征； （2）从应用勾股定理解决实际问题中，我们进一步认识到把直角三角形中三边关系 “a2b2c2”，看成一个方程，只要依据问题的条件把它转化为我们会解的方程，就把实际 问题的条件转化为解方程. 例例2 分析 求证的结论中出现平方的形式，我们常可联想勾股定理.要运用勾股定理，首 先要找到与结论中的线段有关的直角三角形，若题中没有现成的直角三角形，则需要构造 直角三角形. 解 作 AEBC 于 E，则在ADE 中，AD2DE2AE2； 又BAC90，ABAC，AEBECE. BD2CD2(BEDE)2(CEDE)2 BE2CE22DE2 2AE22DE22AD2， BD2CD22AD2. 回顾与反思：（回顾与反思：（1）在三角形中若要说明某个角是直角，常常想到勾股定理的逆定理. （2）说明含某些线段的平方形式的问题，常通过作垂线构造直角三角形，运用勾股定 理来解决. 【训练与提高训练与提高】 1. 1.5. 2直角三角形； 2.5. 3不一定，也可能只是 ab ； 4.略；