2016_2017学年高中数学第2章平面向量2.4.1数量积的定义学案苏教版必修.docx

第1课时数量积的定义1了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念(易错点)2理解平面向量数量积的含义及其几何意义(重点)3能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题(难点)基础初探教材整理1向量的数量积阅读教材P83的有关内容，完成下列问题已知两个非零向量a和b，它们的夹角是，我们把数量|a|b|cos 叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos .规定：零向量与任一向量的数量积为0.已知|a|3，|b|6，则(1)若a与b夹角为0，则ab_；(2)若a与b的夹角为60，则ab_；(3)若a与b的夹角为90，则ab_.【解析】(1)若ab，则a与b的夹角为0，ab|a|b|cos 0|a|b|18.(2)ab|a|b|cos 60369.(3)ab|a|b|cos 903600.【答案】(1)18(2)9(3)0教材整理2两个向量的夹角阅读教材P83的有关内容，完成下列问题1定义：已知两个非零向量a，b，如图241所示作a，b，则AOB称为向量a与b的夹角图2412范围：0180.3当0时，a与b同向；当180时，a与b反向4当90时，则称向量a与b垂直，记作ab.试指出图242中向量的夹角，图中向量与的夹角_；图中向量与的夹角_；图中向量与的夹角_；图中向量与的夹角_图242【答案】0180教材整理3向量的数量积的运算律及性质阅读教材P84及P85链接完成下列问题1向量数量积的运算律：已知向量a，b，c和实数.(1)abba；(2)(a)ba(b)(ab)ab；(3)(ab)cacbc.2数量积的性质：(1)aa|a|2或|a|；(2)|ab|a|b|；(3)abab0.3数量积的几何意义：ab的几何意义是数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积已知|a|3，|b|5，a与b的夹角为45，则a在b上的投影为_；b与a上的投影为_【解析】a在b上的投影为|a|cos 453；b在a上的投影为|b|cos 455.【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型向量数量积的运算及几何意义已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为120，求：(1)ab；(2)a2b2；(3)(2ab)(a3b)【精彩点拨】借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3)【自主解答】(1)ab|a|b|cos 120233.(2)a2b2|a|2|b|2495.(3)(2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|25|a|b|cos 1203|b|28152734.1求平面向量数量积的步骤：求a与b的夹角，0，；分别求|a|和|b|；求数量积，即ab|a|b|cos .要特别注意书写时，a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，也不能省去2较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简再练一题1已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)；(2)；(3).【解】(1)与的夹角为60，|cos 6011.(2)与的夹角为120，|cos 12011.(3)与的夹角为60，|cos 6011.求向量的模已知向量a，b，AOB60，且|a|b|4.求|ab|，|ab|，|3ab|.【精彩点拨】根据已知条件将向量的模利用|a|转化为数量积的运算求解【自主解答】ab|a|b|cosAOB448，|ab|4，|ab|4，|3ab|4.1求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2|a|2，勿忘记开方2一些常见的等式应熟记，如(ab)2a22abb2，(ab)(ab)a2b2等再练一题2已知向量a与b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.【解析】因为|2ab|，所以(2ab)210，所以4a24abb210，又因为向量a与b的夹角为45，且|a|1，所以4|a|24|a|b|cos 45|b|210，故41241|b|b|210，整理得|b|22|b|60，解得|b|或|b|3(舍去)，故|b|.【答案】求向量的夹角已知a，b都是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角【精彩点拨】解答本题可由已知中两个条件的垂直得到两个等式，从而得到a，b之间的关系，再由cos 求得夹角【自主解答】由已知，得(a3b)(7a5b)0，即7a216ab15b20，(a4b)(7a2b)0，即7a230ab8b20，两式相减，得2abb2，abb2，代入中任一式，得a2b2，设a，b的夹角为，则cos ，0180，60.1求向量a，b夹角的流程图：2若两非零向量a，b的夹角为锐角ab0且ab|a|b|；两非零向量a，b的夹角为钝角ab0且ab|a|b|.再练一题3已知单位向量e1，e2的夹角为60，求向量ae1e2，be22e1的夹角.【解】e1，e2为单位向量且夹角为60，e1e211cos 60.ab(e1e2)(e22e1)2e1e2121，|a|，|b|，cos .又0，180，120.探究共研型数量积的几何意义探究1设非零向量a，b，试用数量积“ab”及|a|，|b|表示a在b上的投影【提示】a在b上的投影为|a|cos ，又cos ，|a|cos .探究2数量积ab|a|b|cos 的几何意义是什么？【提示】数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos 的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影|a|cos 的乘积已知ab9，a在b方向上的投影为3，b在a方向上的投影为，求a与b的夹角.【导学号：06460060】【精彩点拨】分别列出a在b方向上的投影和b在a方向上的投影，解方程组便可【自主解答】由题意可知|a|6，|b|3，cos ，又0，.1投影是个数量，可正、可负、可为零2计算投影时要分清“谁是投影线”，即a在b上的投影为|a|cos ；b在a上的投影为|b|cos .再练一题4在ABC中，已知|5，|4，|3，求：(1)；(2)在方向上的投影；(3)在方向上的投影【解】|5，|4，|3，ABC为直角三角形，且C90，cos A，cos B.(1)5416；(2)|cos，；(3)|cos，4.构建体系1若|m|4，|n|6，m与n的夹角为135，则mn_.【解析】mn|m|n|cos 1354612.【答案】122已知|a|3，|b|5，且ab12，则向量a在b方向上的投影为_【解析】|a|cos .【答案】3设|a|3，|b|5，且ab与ab垂直，则_.【解析】(ab)(ab)a22b292520，.【答案】4下面给出的关系式中正确的有_0a0；abba；a2|a|2；ab|a|b|；(ab)2a2b2.【解析】正确；|a|b|ab，(ab)2a2b2cos2.【答案】5已知|a|1，ab，(ab)(ab).(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|. 【导学号：06460061】【解】(1)(ab)(ab)a2b2，|a|1，b2a21，|b|，cos ，又0，故a与b的夹角为.(2)|ab|.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(二十一)数量积的定义(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1e1，e2是两个平行的单位向量，则e1e2_.【解析】e1e2，e1，e2的夹角为0或180，e1e2|e1|e2|cos 1.【答案】12已知|a|8，|b|4，a与b的夹角为120，则向量b在a方向上的投影为_【解析】|a|8，|b|4，b在a方向上的投影为|b|cos 1204cos 12042.【答案】23若向量a，b满足|a|b|1，a与b的夹角为120，则aaab_.【解析】|a|b|1，a与b的夹角为120，ab|a|b|cos 120.又aa|a|21，aaab1.【答案】4在ABC中，|13，|5，|12，则的值是_【解析】|13，|5，|12，|2|2|2，ABC为直角三角形又cosABC，|cos(ABC)13525.【答案】255若向量|a|1，|b|2，|ab|2，则|ab|_.【解析】|a|1，|b|2，|ab|2，a22abb24，即|a|22ab|b|24，得12ab44，2ab1.于是|ab|.【答案】6设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab_.【解析】|ab|，|ab|，得ab1.【答案】17已知|a|2，|b|1，a与b之间的夹角为60，那么向量a4b的模为_ 【导学号：06460062】【解析】|a|2，|b|1，a与b之间的夹角为60，ab21cos 601，|a4b|2.【答案】28已知a，b，c为单位向量，且满足3ab7c0，a与b的夹角为，则实数_.【解析】由3ab7c0，可得7c(3ab)，即49c29a22b26ab，而a，b，c为单位向量，则a2b2c21，则49926cos ，即23400，解得8或5.【答案】8或5二、解答题9(2016南通高一检测)已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求|ab|；(2)求向量a在向量ab方向上的投影【解】(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.|a|4，|b|3，ab6，|ab|.(2)a(ab)|a|2ab42610，向量a在向量ab方向上的投影为.10已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1ke2与ke1e2的夹角为锐角？【解】e1ke2与ke1e2的夹角为锐角，(e1ke2)(ke1e2)keke(k21)e1e22k0，k0.但当k1时，e1ke2ke1e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去综上，k的取值范围为k0且k1.能力提升1(2016镇江高一检测)定义：|ab|a|b|sin ，其中为向量a与b的夹角，若|a|2，|b|5，ab6，则|ab|等于_【解析】由|a|2，|b|5，ab6，得cos ，sin ，|ab|a|b|sin 258.【答案】82若非零向量a，b满足|a|b|，(2ab)b0，则a与b的夹角为_【解析】(2ab)b2abb20，ab|b|2，设a与b的夹角为，cos ，0，120.【答案】1203(2016苏州高一检测)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB的长为_【解析】设|x(x0)，则x，所以()1x2x1，解得x，即AB的长为.【答案】4已知平面上三