重庆市第一中学2019届高三数学上学期期中试题理.docx

2018年重庆一中高2019级高三上期半期考试 数 学 试 题 卷（理科） 数学试题共4页。满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。第卷（选择题，共60分）一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1已知集合则（ ） A. B. C. D.2等比数列中，若，则（ ）A.6 B. C.12 D.183. 计算的结果是（ ）A. B. C. D.4下列函数为奇函数的是（ ）A. B. C. D.5已知非零向量的夹角为，且则（ ）A. B. C. D.6圆半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为（）A B C D7过抛物线的焦点作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点，若，则（ ）A.4 B.2 C.1 D. 8已知双曲线过点且其渐近线方程为，的顶点恰为的两焦点，顶点在上且，则（ ）A B. C. D. 9若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A B C D10 已知，的导函数的部分图象如图所示，则下列对的说法正确的是（ ）A.最大值为且关于点中心对称B.最小值为且在上单调递减C.最大值为且关于直线对称 D.最小值为且在上的值域为11已知双曲线的右顶点为, 以为圆心的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点.若,且（其中为原点），则双曲线的离心率为（ ） A B C D12已知的内角满足，且的面积等于，则外接圆面积等于（ ）A B C D第卷（非选择题 共90分）二、填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上）13直线的倾斜角为 ；14已知是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点且满足，则的值为 ；15数列满足前项和为，且，则的通项公式 ；16已知函数满足，且对任意恒有，则 三、解答题.（共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17. （本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且.（）证明：成等比数列；（）若，且，求的周长.18（本小题满分12分）已知数列满足，数列满足，且.（）求及；（）令，求数列的前项和19.（本小题满分12分）如图1，在直角中，分别为的中点，连结并延长交于点，将沿折起，使平面平面，如图2所示（）求证：；图2图1（）求平面与平面所成锐二面角的余弦值20. （本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，且为抛物线的焦点，的准线被椭圆和圆截得的弦长分别为和.（）求和的方程；（）已知动直线与抛物线相切（切点异于原点），且与椭圆相交于两点，若椭圆上存在点，使得，求实数的取值范围.21（本小题满分12分）已知函数.（）求的单调区间；（）若，证明：（其中是自然对数的底数，）注意：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分22. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为，设直线与曲线相交于两点（）写出直线和曲线的直角坐标方程；（）求的值23.（本小题满分10分） 选修4-5：不等式选讲 已知函数（）解不等式；（）记函数的最大值为，若，证明：2018年重庆一中高2019级高三上期半期考试数学参考答案（理科）1、 选择题：D A B D B C B A C D A C二、填空题：13题：； 14题：36； 15题：; 16题：三、解答题17.（1）证明：由正弦定理得：2分，4分所以成等比数列6分（1） 由8分由余弦定理得：，9分又，所以10分于是得：11分所以的周长为.12分18. 解：（1）由题可得等差，等比，设的公差为，则2分由题有5分于是，而，6分，（2） 由题有：，由错位相减法，得：7分 8分两式相减，得：10分11分于是：12分19.（1）证明：由条件可知，而为的中点，2分又面面，面面，且，平面4分又因为平面，6分（2）由（1）可知，两两相互垂直，如图建立空间直角坐标系，则：7分易知面的法向量为，8分设平面的法向量为，则：，易得10分设平面与平面所成锐二面角为，则12分20.（1）由题得，故4分（2）由题知存在斜率且不为0，设5分联立，因为与相切，故6分联立，两根为，所以7分，又，因此8分由，由韦达定理，代入计算得9分而点在椭圆上，即，代入得10分令，则12分21. 解：（1）定义域，2分令，则，所以在，故时，也即，3分因此，在上单调递减，在上也单调递减；4分（2）因故，因此只需证明（记为）5分先证明时的情况：此时，令6分令，故在，故在，7分于是在，因此，时，即8分下面证明时的情况（相对更难一点点）：证法一：（切线放缩）令，故在，于是时，10分令，故在故时，即即，证毕；12分证法二：时，令令，显然在而，故使在，而，故必存在唯一的使得在且即，故记，所以在，注意到，因此时，故，故11分故在，因此，时，12分法三：把两种情况一起证（但需要用洛必达法则）所证，令，6分令，则，7分显然在恒正，故在单增8分注意到，于是在为负，在上为正，也即在上单调递减，在单调递增9分因此时有，故在上单调递增，又注意到，于是在为负，在上为正，而与正负一致，因此在上单调递减，在单调递增10分因此时，（洛必达法则）12分22.