数学教学中“越俎代庖”现象剖析及教学对策.doc

通讯地址：泰州学院（江苏省泰州市春晖路100号）邮编：225300联系电话子信箱：身份证号码者简介：杨俊林（1967-）男，江苏泰兴人，教授.主要从事中学数学课堂教学及数学解题思维研究。发表论文五十余篇，其中有三篇文章被人大复印资料全文转载。数学教学中“越俎代庖”现象剖析及教学对策杨俊林（泰州学院 江苏泰州，225300） 摘要：数学教学中常常出现教师“越俎代庖”的现象，在追逐短期教学效益的驱动下，为了加大课堂教学容量，数学教师常常或直接指明学生的解题错误，或直接将自己的奇思妙想和盘托出，或帮助学生解读题意并通过列表画图等方法帮助学生表征问题.这种代替学生思考的行为是学生数学素质难以提高的根本原因.防止代替学生思考行为发生的措施有：引导学生在比较中发现错误；提高学生的元认知水平引导他们自我提问引发顿悟发现新解法；在难点处引发学生思考让学生自主理解题意，自主表征问题，启发学生多角度表征问题. 关键词：数学教学；解题错误；问题表征；教学对策数学教学最忌讳代替学生思考。其主要表现是直接指出学生作业中的错误，代替学生总结解题经验，将归纳好的解题规律直接告诉学生，代替学生解读题意。如果教师将自己的“个人数学知识”直接“告诉”学生，自然就剥夺了他们个人数学知识自主生成的机会，无法形成学生自身应有的数学认识力，所获得的数学知识由于尚不属于其“个人知识”，因而其迁移力也相当有限.1面对钱学森之问“为什么我们的学校总是培养不出杰出人才？”笔者认为问题出在现行教育体制之下衍生出的教学方法.为了使学生在考试中获得高分，老师们几乎尽其所有将知道的甚至于苦思冥想得到的结论都和盘托出.“贪教”的老师尽管满足了“贪知”的学生一时之需，但无形之中却剥夺学生独立思考的权利.数学教师这种越俎代庖的做法对人才培养其实有百害而无一利. 现象之一：直接指明学生的解题错误美国数学教育家乔治波利亚在他的数学的发现一书中将教师的思和行总结为“教师十诫”，其中第十条为“要建议，不要强迫别人接受”.认为对学生的作业教师不要直接说出“这是错的”.他指出，假如教师经常说“这是错的”，学生将会恨教师及恨数学，对学生而言，教师的一切努力都将付诸东流2.例1 已知函数图像的一条对称轴方程为，则a的值为 .分析：在实践中发现某班大多数学生是这样思考的：，其中，因而函数的对称轴为.由已知条件“函数的对称轴为”得，所以，求得.由于正确结果为，因此上述解答过程是有问题的，但解题思路完全正确.该生是将函数转化为正弦函数，求出对称轴的一般表达式，再由已知条件建立等式求出结果的.事实上，学生的错误在于忽略了a的取值范围.由于，即为一、三象限角，而一、三象限角的正、余弦值为同号，考虑到，故而，可见应舍去负值.在实际教学中不少教师常常直接指明学生的错误，这样做不仅影响学生对数学学习兴趣的产生，同时也使学生失去了一个极好的教育机会，不利于学生数学解题能力的提高.一般说来，如不加提示学生往往不会对a的取值进行检验，如果提醒学生对a的取值进行检验，这其实也是一种剥夺学生思考权利的做法.教学对策：比较好的做法是引导学生寻找不同的解法，在对两种不同解法的比较中发现自己的错误，进而探究错误的原因，在此基础上总结出解决此类问题的一般规律.另一解题方法是从正、余弦函数图像的对称轴的特点（过曲线的“峰”与“谷”的直线）入手，即对应的函数值为函数的最大（小）值.即：，解得.这样学生就会对第一种解法产生怀疑，甚至于将代入函数关系式，发现方法一中的根本不是，而是,从而找出思路一中出现的问题.进而对形如的函数在化为后，总结出“应根据a,b的符号确定所在的象限，或反过来根据所在的象限确定a,b的符号”等规律.现象之二：直接将更巧妙的解法告之学生乔治波利亚对教师的思与行提出的十条规则，其中一些规则的主要目标就是要求教师尽可能给学生发挥自主和主动精神的机会.比如第九条：不要一下子吐露出你的全部秘密让学生在你说出来之前先去猜尽量让他们自己找出来.要求教师不要犯“救星从天而降”的毛病2.其实这种现象在数学例题教学及习题指导课上是屡见不鲜的.例2 已知椭圆的两条半径OA、OB互相垂直，求面积的最大值与最小值.分析：大多数学生通常采用如下思路：根据椭圆的对称性，不妨设，.则由得：因而有：，变为可得因此， 可见，面积的最小值为，当且仅当k=1时取得，显然当分别取得最大值时的面积取得最大.最大值为.显然，上述方法运算量大，运算技巧性强.实践中发现很少有学生能准确算出结论，在步骤（*）中，也很少有学生能将分母展开并配方将变量k相对集中.事实上，关于二次曲线问题中涉及过中心直线段长度问题最理想的解题策略是用极坐标，即将上述思路中的斜率k换成角.在实际教学中很普遍的现象是教师直接告诉学生这一解题思路，更有甚者，有些教师会将具体解题过程板演给学生看.教学对策：首先在本题中可以启发学生思考：为什么不能根据表达式（*）求三角形面积的最大值？由于A与B的相互依存关系，如何刻画动点A就可以避开k为零的情形？实践中发现不少学生在上述问题的启发下成功地运用极坐标的方法刻画了动点.这样，很容易得到： 所以， 可见，.直接将简洁解法告之学生这一现象之所以常见，其根源在于教学观理解的偏差上.如果坚持学生为本，那么就有“素质发展为本”与“分数提高为本”的区别；如果教师考虑得更多的是完成课堂教学任务，那他更没有多余的时间让学生自己思考，也没有更大的耐心启发学生.在确立正确的数学教学观的基础上，要提高学生灵活解决数学问题的能力教师首先要做到“不要一下子吐露出你的全部秘密”，其次还应提高学生的元认知水平，即对数学问题的思考实现由教师的提示、导向、补充思维材料到学生对问题的自我监视、控制和调节过渡.如本例中由教师提出的启发性问题过渡到学生自我提问.现象之三：代替学生表征数学问题问题表征对于问题解决来说具有极其重要的作用，如果问题得不到适宜的表征，那么问题就难以解决或无法解决3.问题表征是指在对问题深刻理解的基础上发现问题的结构，构建自己问题空间的过程.问题表征能力与问题表征质量是影响数学问题解决的重要因素.研究表明：专家可以在问题解决中形成基于问题结构相似性的复杂问题的表征，而新手只能形成基于问题表面相似性的简单的问题表征4.在数学解题教学中，面对稍有难度的数学问题，教师常常句句解读，通过列表画图等手段帮助学生表征数学问题，甚至于将解题策略一股脑地抛出.例3 已知数列的各项均为正整数，对于n=1,2,3,有，若存在，当且为奇数时，恒为常数p，则p的值为 .分析：在教学实践中发现某班级有近一半的学生读不懂题意，因而无法准确表征问题.作为数列问题，通常情况下初始项是已知的，而本题却未知.可见本题中的数列可以看作一个“抽象数列”.读懂题意是准确表征问题的基础，本题表明若为奇数，则,此时显然有为偶数.而当为偶数时，可以将其中的因数全部提出来，即存在最大的正整数k，使得,此时b为奇数，而.这样题目给出的数列可以表征为奇偶相间的数列.再将条件“若存在，当且为奇数时，恒为常数p”表征为：设为奇数，则为偶数，为奇数且等于，这样就容易求出的值，亦即p的值.以上对题意的解读与表征对一般学生而言确实难度较大，因而大多数教师在课堂上将上述内容作为例题教学的重要部分，认为没有必要再让学生去苦思冥想.但长此以往，学生面对新问题其自主解读并表征问题的能力就难以提高.例已知函数.若在R上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值之和为2680，试求a和b的值.分析：通常情况下学生会将“在R上存在最大值与最小值”转换成下图（图）：即将内部表征转化为外部表征（图形），在此基础上形成的解题策略是求出使的点，建立关于a,b的方程，求出a,b的值.事实上，据此建立关于a,b的方程是不可能的.上述表征方式中函数的最值点是强信息，其实还隐含了函数的有界性这一弱信息，换一个角度表征问题应该将着眼点放在已知的函数关系式上.函数由两个函数组成，一是函数，二是函数.函数当时是一个无界函数，而函数是一个有界函数，这样第一种表征形式中的弱信息就转换成了强信息，很快得出b为零的结论.在实际教学中，面对学生运用常规方法思考问题而无法求解时，很多教师往往忽视引导学生多角度表征问题这一环节，在学生陷入疆局时，不由自主地将自己的想法和盘托出.教学对策：教师的正确行为不是代替学生解读题意，而是在难点处提出一些启发性的问题：如例3中可提出如下问题：(1)设是一个特定的偶数，看看k取什么值时是奇数？(2)想一想数列各项有什么特点？面对数学问题，学生最重要的是先理解题目所呈现的外部材料，“理解过程实际上就是个体用自己独特的方式重新组织这些材料的过程”5.问题表征在数学问题解决中起十分重要的作用，有专家研究表明，有时我们按照常规方式表征的问题难以求解，但若换一个角度来表征同一问题，问题就迎刃而解了6.因而在数学解题教学中应引导学生多角度表征数学问题.有时对问题有了一种表征，应要求学生不要急于解答，引导他们重新回到问题，再一次理解题意，或对自己的表征不完整处进行修补，或对问题进行新的表征.参考文献1杨俊林.数学教师应关注自身教学行为的得当性J.中国数学教育，2010(4):2-4.2美乔治波利亚.数学的发现M.北京：科学出版社，2006.