卧式倾斜油罐储油量的数学模型.doc

卧式倾斜油罐储油量的数学模型摘要本文中建立了计算卧式倾斜油罐储油量的计算模型，为了在已经倾斜的油罐上标定新的符合标准的罐容表，在已给出数据的基础上，用微元法计算出油量的计算公式，进行误差的分析，算出误差函数，用误差函数对计算出的函数进行拟合，并对油罐有一定倾斜角度的情况下进行演算，得出新的符合标准的罐容表，最后再讨论分析后，对模型作出评价。模型一，用积分法求出理论值，然后与实验数值算出误差，算出误差函数，并将误差函数与积分法求出的函数进行拟合，求出一个符合油量高度数值的目标函数。模型二，采用割补法，将倾斜油罐转化为水平油罐，然后进行积分计算，并用附件2中的数据进行检验，得出罐内储油量与变位参数（横向偏转角和纵向偏转角）之间的一般影响。关键字：卧式倾斜油罐 误差分析 微元法 误差函数 拟合一、问题的重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。我们采用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。二、问题分析由于问题中涉及到罐容表的变化，我们必须首先对体重所出现的几种情况进行分析，得出油罐位置变化前后的不同状况，综合考虑给出的数据比较具体，油罐的形状比较规则，我们将其转换为规则几何体来进行建模，通过排除干扰因素对模型进行优化，决定采用微元法对问题进行求解，根据理论计算得到的理论值，与题目中给出的实验值进行比较，得出两者的误差，并进行误差分析。从而可以对问题得出比较合理的解决办法。模型一，由于倾角的存在，使得油罐中的油不再是规则几何体，因此无法使用一般方法对其进行求解，而必须采用高等数学中的微元法进行建模。由于第一题中，油罐中的油量有三种情况，根据油罐的倾角比较小和进出油实验的数据，我们只考虑第二种情况。模型二，由于需要同时考虑横向和纵向的变位，变化的条件增加，直接进行求解难度非常大，于是我们采用近似割补法将不规则的几何体转化为较为规则的几何体，然后对其进行积分演算，求出油量高度与油量的线性关系，从而得出答案。三、问题假设1假设油的密度是不变的。2假设形状无畸变形。3假设测定过程中油料都是在同一温度下测定。4假设油料的黏着性对测定无影响。四、符号说明：表示椭圆长半轴长：表示椭圆短半轴长：表示储油罐的底长：表示油浮子显示的油位高度：表示纵向倾斜角度：表示横向倾斜角度五、模型建立、求解与误差分析5.1模型I5.1.1 无变位情形我们首先建立小椭圆型储油桶在无变位时的体积模型，并通过附件1所给的无变位时的进油和出油量的数据，检验我们的模型的正确性。设储油桶的底面的椭圆的长半轴长为，短半轴长为，油高为，如图1，此时油桶内的有的体积为： (1)根据（1）式用Matlab可得出储油罐内容积在附件一中进油时随油的高度变化曲线，并和附件中的实验数据进行了比较（程序见附录1），见图2图2 从图像上分析，实验数据和我们建立的模型的误差曲线近似一次函数，我们考虑使用最小二乘拟合求出误差曲线的函数方程，利用误差函数来修正我们建立的模型的数据得到目标函数图像为图3（程序见附录2）图3利用修正过的目标函数可以给出储油罐纵向变位角度为时每隔1cm的罐容表1：刻度表2.12.22.32.42.52.62.72.8油量329.28353.91379.44405.84433.06461.07489.83519.31刻度表2.93.03.13.23.33.43.53.6油量549.49580.33611.81643.91676.59709.84743.4777.97刻度表3.73.83.94.04.14.24.34.4油量812.8848.12883.91920.15956.83993.921031.41069.3刻度表4.54.64.74.84.95.05.15.2油量1107.51146.11185.11224.31263.91303.81343.91384.3刻度表5.35.45.55.65.75.85.96.0油量14251465.91507.11548.415901631.81673.71715.8刻度表6.16.26.36.46.56.66.76.8油量17581800.41842.91885.61928.31971.120142057刻度表6.97.07.17.27.37.47.57.6油量21002143.12186.12229.32272.42315.52358.62401.6刻度表7.77.87.98.08.18.28.38.4油量2444.62487.62530.42573.22615.92658.527012743.3刻度表8.58.68.78.88.99.09.19.2油量2785.42827.42869.22910.92952.32993.43034.43075刻度表9.39.49.59.69.79.89.910.0油量3115.43155.53195.33234.83273.93312.633513388.9利用无变位的出油的数据代入目标函数进行验证，发现误差小于1%，所以目标函数是合理的由此我们我么可以近似的代替5.1.2倾斜角为a=4.10的纵向变位情形 储油桶纵向变位a时，根据油面的高度可以分为三种情形：（i）当，如图a，（ii）当，如图b，（iii）当，如图c令和附件1的实验数据可知第（i）和第（iii）种情况可排除，所以我们重点研究第二种情况。下面建立当储油罐纵向倾斜，油面的高度为的第（ii）情况的油罐体积模型。无论怎样放置，罐内的油面都是水平面，下图为罐内油的正视面：令截面的曲线方程为，则设油高为，则由的三角函数关系可得到，故 （2）根据(2)式用Matlab做出在附件1中的进油时油面高度时的曲线，并和附件1中的进油的实验数据进行了比较，见图4（程序见附录3）图4比较两条曲线可以看出，两条曲线吻合性较好，但还是存在一定误差。为了修正这个误差，我们对误差函数进行了最小二乘拟合，发现使用二次函数（见图5）进行拟合效果比较好。图5使用误差函数修正我们建立的模型的函数得到目标函数图像为图6（程序见附录4）图6利用修正过的目标函数可以给出储油罐纵向变位角度为时每隔1cm的罐容表2：油浮高：（单位：分米）油符高2.12.22.32.42.52.62.72.8油量466.8498.9531.59564.85598.66632.99667.81703.12油符高2.93.03.13.23.33.43.53.6油量738.89775.09811.72848.74886.15923.93962.051000.5油符高3.73.83.94.04.14.24.34.4油量1039.31078.41117.71157.41197.31237.41277.81318.3油符高4.54.64.74.84.95.05.15.2油量1359.11400.11441.21482.515241565.61607.31649.1油符高5.35.45.55.65.75.85.96.0油量169117331775.11817.21859.41901.61943.91986.1油符高6.16.26.36.46.56.66.76.8油量2028.42070.62112.92155.12197.22239.32281.32323.2油符高6.97.07.17.27.37.47.57.6油量23652406.72448.32489.82531.12572.22613.22653.9油符高7.77.87.98.08.18.28.38.4油量2694.52734.927752814.92854.52893.929332971.8油符高8.58.68.78.88.99.09.19.2油量3010.23048.43086.13123.53160.63197.23233.43269.2油符高9.39.49.59.69.79.89.910.0油量3304.53339.33373.63407.43440.73473.43505.535375.1.3 误差分析（1）将无变位出油时油位高度的实验数据，代入无变位进油时拟合最终得到目标函数，通过运算模型得到的数据与实验记录的数据吻合度比较高，这证明我们用一次函数来修正误差是合理的。5.2模型25.2.1建立模型设当油罐纵向偏移了角，横向偏移角，我们首先考虑纵向偏移的情况，再考虑横向偏移，这样就可以把问题转化为与5.1的模型相类似的模型，设储油罐纵向倾斜了，油浮读数为，如图7 。图7如图，以球的球心O为原点建立一个空间直角坐标系，其中轴平行于柱体的母线，其中PQ为水平线，过PQ的中点作BE平行于轴，这时可以近似的认为罐内液体的体积等同于水平放置时罐内液体的体积。设球的半径为，已知，则我们有如下关系式：则截面扇形的半径：截面扇形的面积：截面内直角三角形面积：弓形的面积：两端球罐内油的体积：其中 柱体的截面积：=柱体体积:当液面高度是时，+ （3）下面考虑储油罐横向变位角为时，如图8所示：图8由图我们可以得到,我们就得到纵向为，横向为的油罐内油量的计算公式，即（3）式可以表示出罐内存油量与油位高度以及变位参数的一般关系。5.2.2模型的求解当，都等于0时，将实验数据带入公式（3），使用matlab进行计算，与实验数据进行比较，得出结果，见图九（程序见附录5）图九从两条曲线的吻合程度可以知道，我们所建立的模型是比较合理的。通过对，范围内进行搜索，使用最小二乘法得出, 。用matlab算出罐容表如下：刻度表（）油量（）刻度表（）油量（）0.56826.11.6350700.68927.31.7378490.7111781.8405990.8135551.9433140.9160412.0459711.0186142.1485561.1212622.2510541.2239672.3534451.3267142.4557161.4294882.5578401.532281六、模型评价（）建立的模型有成熟的理论基础，又有相应的专业软件支持，可信度较高。（）模型对涉及到的误差做了分析，确保了目标函数的准确性。（）在建立模型的过程中，成功使用近似割补法，将运算简单化。（）模型1中，我们拟合的目标函数曲线与实际测得的实验值吻合得相当好，可以看出模型建立的比较成功，可以达到预期的目标。（）但是这种近似规划也带来一定不可预计的误差。如模型2中，理论上可以得出，但由于实际中种种因素的影响，容易造成误差。七、参考文献1 吴建国，数学建模案例精编：中国水利水电出版社，20052 李小红，庞军峰，段赛捕集器内液体体积的计算3 闵发龙，实用油罐体积的计算研究4 高恩强，丰培云，卧式倾斜安装圆柱体油罐不同液面高度时注油量的计算5 王庚，王敏生，现代数学建模方法：科学社会出版社，20086 石博强，MATLAB数学计算范例教程：中国铁道出版社，20047 韩中庚，数学建模方法及其应用M，北京：高等教育出版社，20058 韩中庚，数学建模竞赛-获奖论文精选与点评，北京：科学出版社，20079 盛骤，谢式千，概率论与数理统计，北京：高等教育出版社，200310 姜启源，数学模型（第二版），北京：高等教育出版社，1992八、附录附录1x=0.01*159.02176.14192.59208.5223.93238.97253.66268.04282.16296.03309.69323.15336.44349.57362.56375.42388.16400.79413.32425.76438.12450.4462.62474.78486.89498.95510.97522.95534.9546.82558.72570.61582.48594.35606.22618.09629.96641.85653.75665.67677.63678.54690.53690.82702.85714.91727.03739.19751.42763.7764.16776.53788.99801.54814.19826.95839.83852.84866879.32892.82892.84906.53920.45934.61949.05963.8978.91994.431010.410271044.31062.41081.61102.31125.31152.4 1193.5;A=50 10015020025030035040045050055060065070075080085090095010001050110011501200125013001350140014501500155016001650170017501800185019001950200020502053.82103.82105.12155.12205.12255.12305.12355.124052406.82456.82506.82556.82606.82656.82706.82756.82806.82856.82906.82906.92956.93006.93056.93106.93156.93206.93256.93306.93356.93406.93456.93506.93556.93606.93656.93706.9;B=A+262;C=0.01*159.02176.14192.59208.5223.93238.97253.66268.04282.16296.03309.69323.15336.44349.57362.56375.42388.16400.79413.32425.76438.12450.4462.62474.78486.89498.95510.97522.95534.9546.82558.72570.61582.48594.35606.22618.09629.96641.85653.75665.67677.63678.54690.53690.82702.85714.91727.03739.19751.42763.7764.16776.53788.99801.54814.19826.95839.83852.84866879.32892.82892.84906.53920.45934.61949.05963.8978.91994.431010.410271044.31062.41081.61102.31125.31152.4 1193.5;y=13.4962*x-12.0437;y1=B;y2=tiji(C);x=C;u=y2-y1plot(x,y1,r,x,y2,b,x,u,k)附录2x=0.01*159.02176.14192.59208.5223.93238.97253.66268.04282.16296.03309.69323.15336.44349.57362.56375.42388.16400.79413.32425.76438.12450.4462.62474.78486.89498.95510.97522.95534.9546.82558.72570.61582.48594.35606.22618.09629.96641.85653.75665.67677.63678.54690.53690.82702.85714.91727.03739.19751.42763.7764.16776.53788.99801.54814.19826.95839.83852.84866879.32892.82892.84906.53920.45934.61949.05963.8978.91994.431010.410271044.31062.41081.61102.31125.31152.4 1193.5;A=50 10015020025030035040045050055060065070075080085090095010001050110011501200125013001350140014501500155016001650170017501800185019001950200020502053.82103.82105.12155.12205.12255.12305.12355.124052406.82456.82506.82556.82606.82656.82706.82756.82806.82856.82906.82906.92956.93006.93056.93106.93156.93206.93256.93306.93356.93406.93456.93506.93556.93606.93656.93706.9;B=A+262;C=159.02176.14192.59208.5223.93238.97253.66268.04282.16296.03309.69323.15336.44349.57362.56375.42388.16400.79413.32425.76438.12450.4462.62474.78486.89498.95510.97522.95534.9546.82558.72570.61582.48594.35606.22618.09629.96641.85653.75665.67677.63678.54690.53690.82702.85714.91727.03739.19751.42763.7764.16776.53788.99801.54814.19826.95839.83852.84866879.32892.82892.84906.53920.45934.61949.05963.8978.91994.431010.410271044.31062.41081.61102.31125.31152.4 1193.5;C=C/100;y=13.4962*x-12.0437;y1=B;y2=tiji(C);x=C;u=y+y1plot(x,u,r,x,y2,b)附录3n=100;a=0.89;aa=0.4;b=0.6;e=2.45;t=zeros(1,2);x=zeros(1,2);y=zeros(1,2);al=pi*4.1/180;ttt=zeros(1,2)dd=1/1000*411.29423.45438.33450.54463.90477.74489.37502.56514.69526.84538.88551.96564.40576.56588.74599.56611.62623.44635.58646.28658.59670.22680.63693.03704.67716.45727.66739.39750.90761.55773.43785.39796.04808.27820.80832.80844.47856.29867.60880.06892.92904.34917.34929.90941.42954.60968.09980.14992.411006.341019.071034.241035.36;d=dd;for i=1:53for n=1:100 x(n+1)=x(n)+e/100; y(n+1)=d(i)+aa*tan(al)-x(n+1)*tan(al); xx=-b:y(n+1)/400:(y(n+1)-b); z=2*a*sqrt(1-xx.2/b2); t(n+1)=trapz(z)*y(n+1)/400; ttt(n+1)=t(n+1)*e/100;ends(i)=sum(ttt);endB31=747.86797.86847.86897.86947.86997.861047.91097.81147.81197.71247.71297.71347.71397.71447.71497.71547.71597.71647.71697.71747.71797.71847.71897.71947.71997.72047.72097.72147.72197.72247.72297.72347.72397.72447.72497.72547.72597.72647.72697.72747.72797.72847.72897.72947.72997.73047.73097.73147.73197.73247.73297.73299.7;B3=B31+215;y1=B3;y2=s.*1000;x=d./100;y=y2-y1plot(x,y1,b,x,y2,r,x,y,*)附录4n=100;a=0.89;aa=0.4;b=0.6;e=2.45;t=zeros(1,2);x=zeros(1,2);y=zeros(1,2);al=pi*4.1/180;ttt=zeros(1,2)dd=1/1000*411.29423.45438.33450.54463.90477.74489.37502.56514.69526.84538.88551.96564.40576.56588.74599.56611.62623.44635.58646.28658.59670.22680.63693.03704.67716.45727.66739.39750.90761.55773.43785.39796.04808.27820.80832.80844.47856.29867.60880.06892.92904.34917.34929.90941.42954.60968.09980.14992.411006.341019.071034.241035.36;d=dd;for i=1:53for n=1:100 x(n+1)=x(n)+e/100; y(n+1)=d(i)+aa*tan(al)-x(n+1)*tan(al); xx=-b:y(n+1)/400:(y(n+1)-b); z=2*a*sqrt(1-xx.2/b2); t(n+1)=trapz(z)*y(n+1)/400; ttt(n+1)=t(n+1)*e/100;ends(i)=sum(ttt);endB31=747.86797.86847.86897.86947.86997.861047.91097.81147.81197.71247.71297.71347.71397.71447.71497.71547.71597.71647.71697.71747.71797.71847.71897.71947.71997.72047.72097.72147.72197.72247.72297.72347.72397.72447.72497.72547.72597.72647.72697.72747.72797.72847.72897.72947.72997.73047.73097.73147.73197.73247.73297.73299.7;B3=B31+215;y1=B3-6.0865*x.2-86.9919*x+81.0238;y2=s.*1000;x=d./100;plot(x,y1,b,x,y2,r)附录5A1=2632.22624.32620.72610.32606.62599.62587.62582.12579.62575.42569.52564.12559.82548.52539.625282521.62510.22508.22500.12490.12485.72474.42464.82454.52446.82436.82431.62427.32422.22414.32404.12399.22393.12382.52374.32362.42358.42348.12339.42334.92328.12322.12314.12304.12301.12290.92280.52274.92268.62260.92251.92242.52232.922272220.72209.12201.42190.92186.12177.921702158.42155.52148.52141.32138.42127.42116.52110.12100.32096.82088.620842077.62067.12063.22058.12051.32045.92035.92024.12020.52016.12007.12001.31989.61977.91969.41958.81952.81944.51932.61925.11913.71904.51897.71889.31878.41874.41868.51856.51850.51841.91830.918191810.41807.318051796.81789.11777.51768.11759.41752.21747.617361728.61726.31717.31710.11707.51696.61691.316871683.91678.81674.516661663.31658.61653.71642.91636.51626.91618.91609.11605.91594.11583.71581.11574.51569.21560.91556.61548.81540.81532.81526.315241516.81510.71507.71501.11494.61487147714681457.31454.71450.51443.91432.31422.51415.91410.614081398.61391.51387.51381.31377.61368.11362.413511348.81338.51330.21322.81314.31305.11302.11291.31289.21284.31280.51269.21266.51258.71250.31241.81231.21228.61218.41211.21202.21198.11190.71181.61170.11163.61160.81158.21149.91139.911311125.61114.11106.91095.41092.61088.61078.81067.71057.81052.91049.41038.910291024.31020.11014.81004.5994.32986.62978.9974.04965.05955.08948.67942.21935.55930.76922910.97899.88890.41885.81876.91873.59870.36866.45862.99855.14852.41842.18832.95821.69814.77806.22795.32787.93783.11771.35768.99763.72751.99746.34741.25738.04726.89723.53718.21707.24700.24692.09684.25675.27672.98665.7663.38653.11647.71637.24632.78624.97613.59611.11608.57606.36597.55589.56586.42576.46568.28565.58562.89559.53549.64546.71542.34537.9534.85524.27515.29505.95497.44490.28485.02476.4473.22469.74;A1=A1/100;d=size(A1);e=0.2*pi/180;h=1.5*pi/180;for i=1:d y1(i)=callm(A1(i),e,h); y2(i)=yztj(A1(i),e,h); y3(i)=y1(i)+y2(i);endA=604496031160248600656000059874596575955659510594345932359223591435892858759585345841058185581455798357783576955746557267570555689356685565735648356374562065598455878557475551455335550715498154750545535445154298541615397853747536775343953196530665291852735525215229652067519255177351492513045104