2016_2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.6.2求曲线的方程学案苏教版选修.docx

2.6.2求曲线的方程1了解求曲线方程的步骤，会求一些简单曲线的方程(重点)2掌握求动点轨迹方程的常用方法(难点)3对动点轨迹方程的限制与检验(易错点)基础初探教材整理求曲线的方程阅读教材P63例1以上的部分，完成下列问题1求曲线方程的一般步骤求曲线方程的一般步骤为五步用流程图表示如下：求曲线方程的流程图可以简记为：2求曲线方程的常用方法求曲线方程的常用方法有直接法、代入法、参数法、几何法、定义法1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得到的曲线方程也不一样()(2)化简方程“|x|y|”为“yx”是恒等变形()(3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验()(4)在求曲线方程时，如果点有了坐标或曲线有了方程，则说明已经建立了平面直角坐标系()【答案】(1)(2)(3)(4)2在平面直角坐标系内，到原点距离为2的点M的轨迹方程是_【解析】由圆的定义知，点M的轨迹是以(0,0)为圆心，以2为半径的圆，则其方程为x2y24.【答案】x2y243设P为曲线y21上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则动点M的轨迹方程是_【解析】设M(x，y)，P(x0，y0)，则x02x，y02y，y1，x24y21.【答案】x24y214到A(3,0)，B(5，1)的距离相等的点的轨迹方程是_. 【导学号：09390058】【解析】设P(x，y)，PAPB，即，即(x3)2y2(x5)2(y1)2，化简得16x2y170.【答案】16x2y170质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型直接法求轨迹方程在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acb，且a，c，b成等差数列，AB2，求顶点C的轨迹方程【精彩点拨】由a，c，b成等差数列可得ab2c；由acb可知所求轨迹方程是整个轨迹方程的一部分；由AB2可建立适当的坐标系于是可按求曲线方程的一般步骤求解【自主解答】以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(1,0)，设C点坐标为(x，y)，由已知得ACBC2AB.即4，整理化简得3x24y2120，即1.又acb，x0且x2.所以顶点C的轨迹方程为1(xcb且a，c，b成等差数列”改为“ABC的周长为6且AB2”，求顶点C的轨迹方程【解】以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系则A(1,0)，B(1,0)，设C(x，y)，由已知得ACBCAB6.即4.化简整理得3x24y2120，即1.A，B，C三点不能共线，x2.综上，点C的轨迹方程为1(x2).定义法求曲线方程已知圆A：(x2)2y21与定直线l：x1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程【精彩点拨】利用平面几何的知识，分析点P满足的条件为抛物线，可用定义法求解【自主解答】如图，作PK垂直于直线x1，垂足为K，PQ垂直于直线x2，垂足为Q，则KQ1，所以PQr1，又APr1，所以APPQ，故点P到圆心A(2,0)的距离和到定直线x2的距离相等，所以点P的轨迹为抛物线，A(2,0)为焦点，直线x2为准线2，p4，点P的轨迹方程为y28x.若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹的方法称为定义法，利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义的特征.再练一题2点P与定点F(2,0)的距离和它到定直线x8的距离的比是12，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形【解】设d是点P到直线x8的距离，根据题意，得.由圆锥曲线的统一定义可知，点P的轨迹是以F(2,0)为焦点，x8为准线的椭圆，则解得b2a2c216412.故点P的轨迹方程为1.代入法求动点的轨迹方程已知P在抛物线yx2上运动，另有一点Q(4,2)，求线段PQ的中点M的轨迹方程【精彩点拨】设M(x，y)，由M为线段PQ的中点，可表示出在已知抛物线上运动的点P的坐标，代入到已知抛物线，进而得到所求动点的轨迹方程【自主解答】设M(x，y)，P(x0，y0)由M为线段PQ的中点，得x，y，则x02x4，y02y2.因为P(x0，y0)在抛物线yx2上，即y0x，得2y2(2x4)2，化简得y2x28x9.即线段PQ的中点M的轨迹方程为y2x28x9.1动点满足的条件不方便用等式求出，但动点随着另一个动点(相关点)而运动时，可以用动点坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，即可得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关动点法，也称代入法2代入法求动点轨迹，要设从动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x0，y0)，用x，y表示x0，y0，不要弄反代入而导致错误再练一题3在例3中，若点M满足3，则点M的轨迹方程是什么？【解】设P(x0，y0)，则y0x，设M(x，y)，则(4x0,2y0)，(4x,2y)，由3，得即又y0x，3y4(3x8)2，化简得y3x216x，即点M的轨迹方程为y3x216x.探究共研型曲线方程的特征探究1在解决曲线的方程问题时，怎样建立“适当的”坐标系？【提示】建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征，例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等同一曲线，坐标系建立的不同，方程也不相同所以要遵循垂直性和对称性的原则建系一方面让尽可能多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简捷探究2“轨迹方程”与“轨迹”有什么异同？【提示】(1)动点的轨迹方程实质上是建立轨迹上的点的坐标间的关系，即动点坐标(x，y)所适合的方程f(x，y)0.有时要在方程后根据需要指明变量的取值范围；(2)轨迹是点的集合，是曲线，是几何图形，故求点的轨迹时，除了写出方程外，还必须指出这个方程所代表的曲线的形状、位置、范围、大小等探究3在求动点的轨迹方程时 ，如何确定变量的取值范围？【提示】在求动点的轨迹方程时，注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出变量的适当范围探究4如何利用参数法求轨迹方程，利用参数法求轨迹方程时要注意什么？【提示】(1)当动点坐标x，y满足的等式关系不易直接找出时，可以设出与动点运动有关的变量作为参数，间接地表示出关于x，y的方程，然后再消去参数，为了消去参数，应根据题意找出参数满足的等式在具体问题中，往往以直线的斜率k，倾斜角，截矩b，时间t等作为参数(2)利用参数法求轨迹方程时，应注意参数的取值范围同时，参数法求动点轨迹方程的一个难点就是消参数，应选用适当的方法消去参数例如代入法、加减法、恒等式法等设椭圆方程为x21，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，点P满足()，当直线l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程【精彩点拨】设出直线的方程，其斜率为k，运用所给条件，用k表示点P的纵、横坐标，消去k，得x，y的关系式，即动点P的轨迹方程【自主解答】直线l过定点M(0,1)，当其斜率存在时设为k，则l的方程为ykx1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，A，B满足方程组消去y，得(4k2)x22kx30，则4k212(4k2)0，x1x2，x1x2.P(x，y)是AB的中点，则由消去k，得4x2y2y0；当斜率k不存在时，AB的中点是坐标原点，也满足这个方程，故P点的轨迹方程为4x2y2y0.再练一题4过原点作直线l和抛物线yx24x9交于A，B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程【解】由已知，直线l的斜率一定存在，设l的方程为ykx，把它代入抛物线方程中，得x2(4k)x90.由(4k)2360，得k2或k2或k3或x3或xb0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹方程是_【解析】设MN的中点P(x，y)，则点M(x,2y)在椭圆上， 1，即1.【答案】15已知ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(3,0)，(3,0)，边AC，BC所在直线的斜率之积为，求顶点C的轨迹方程【解】设顶点C的坐标为(x，y)，则kCA(x3)，kBC(x3)kCAkBC，.化简得1(x3)当x3时，A，B，C三点共线，则不能构成三角形，故x3.所求顶点C的轨迹方程为1(x3)我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足x26，则点P的轨迹方程是_【解析】(3x，y)，(2x，y)，(3x)(2x)y2x2x6y2x26，y2x.【答案】y2x2“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是“方程f(x，y)0是曲线C的方程”的_条件【解析】“方程f(x，y)0是曲线C的方程 ”“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”，反之不成立【答案】必要不充分3平面内有两定点A，B，且AB4，动点P满足|4，则点P的轨迹方程是_【解析】以AB的中点为原点，以AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设A(2,0)，B(2,0)|2|4，|2.设P(x，y)，2，即x2y24，点P的轨迹方程是x2y24.【答案】x2y244已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且0，延长MP到点N，使得|，则点N的轨迹方程是_【解析】由于|，则P为MN的中点设N(x，y)，则M(x,0)，P，由0，得0，所以(x)10，则y24x，即点N的轨迹方程是y24x.【答案】y24x5已知A(1,0)，B(2,4)，ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是_【解析】由两点式，得直线AB的方程是，即4x3y40，AB5.设C点的坐标为(x，y)，则510，即4x3y160或4x3y240.【答案】4x3y160或4x3y2406(2016沈阳高二检测)已知AB3，A，B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，则动点P的轨迹方程是_. 【导学号：09390060】【解析】设P(x，y)，A(x0,0)，B(0，y0)AB3，xy9，(x，y)(x0,0)(0，y0).所以即又xy9，所以x29y29，即y21.【答案】y217ABC的顶点A(5,0)，B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是_【解析】如图，ADAE8，BFBE2，CDCF，所以CACB826.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为1(x3)【答案】1(x3)8已知点A(1,0)，直线l：y2x4，点R是直线l上的一点，若，则点P的轨迹方程是_【解析】，R，A，P三点共线，且A为RP的中点，设P(x，y)，R(x1，y1)，则由，得(1x1，y1)(x1，y)，则即x12x，y1y，将其代入直线y2x4中，得y2x，点P的轨迹方程为y2x.【答案】y2x二、解答题9已知点Q在椭圆C：1上，点P满足()(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，求点P的轨迹方程【解】因为点P满足()，所以P是线段 QF1的中点，设P(x，y)，由于F1为椭圆C：1的左焦点，则F1(，0)，故Q，由点Q在椭圆C：1上，则点P的轨迹方程为1，故点P的轨迹方程为1.10如图264，过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程图264【解】法一：设点M的坐标为(x，y)M为线段AB的中点，A的坐标为(2x,0)，B的坐标为(0,2y)l1l2，且l1，l2过点P(2,4)，PAPB，kPAkPB1.而kPA(x1)，kPB，1(x1)整理，得x2y50(x1)当x1时，A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x2y50.综上所述，点M的轨迹方程是x2y50.法二：设M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连结PM.l1l2，2PMAB.而PM，AB，2，化简，得x2y50，即为所求轨迹方程法三：l1l2，OAOB，O，A，P，B四点共圆，且该圆的圆心为M，MPMO，点M的轨迹为线段OP的垂直平分线kOP2，OP的中点坐标为(1,2)，点M的轨迹方程是y2(x1)，即x2y50.能力提升1已知M(2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是_【解析】设P(x，y)，MPN为直角三角形，MP2NP2MN2，(x2)2y2(x2)2y216，整理得x2y24.M，N，P不共线，x2，轨迹方程为x2y24(x2)【答案】x2y24(x2)2P是椭圆1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，12，则动点Q的轨迹方程是_【解析】由12，又1222，设Q(x，y)，则(x，y)，即P点坐标为，又P在椭圆上，则有1，即1.【答案】13设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x22y24交于A，B两点，P是l上满足1的点，则点P的轨迹方