2019版高考数学第12章复数、算法、推理与证明5第5讲数学归纳法教案理.docx

第5讲数学归纳法数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明()(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项()(4)用数学归纳法证明问题时，必须要用归纳假设()答案：(1)(2)(3)(4) 用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Snna1d时，假设当nk时，公式成立，则Sk()Aa1(k1)d B.Cka1d D(k1)a1d解析：选C.假设当nk时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Skka1d. (2018台州书生中学月考)用数学归纳法证明“1aa2an1(a1，nN*)”，在验证n1时，等式左边是()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3解析：选C.由题意，根据数学归纳法的步骤可知，当n1时，等式的左边应为1aa2，故选C. 用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，从nk到nk1，左边需增添的代数式是_解析：当nk时，待证等式左边123(2k1)，当nk1时，待证等式左边123(2k1)(2k2)(2k3)，所以从nk到nk1，左边需增添的代数式是(2k2)(2k3)答案：(2k2)(2k3) 用数学归纳法证明2n2n1，n的第一个取值应是_解析：因为n1时，212，2113，2n2n1不成立；n2时，224，2215，2n2n1不成立；n3时，238，2317，2n2n1成立所以n的第一个取值应是3.答案：3用数学归纳法证明等式 典例引领 用数学归纳法证明：(nN*)【证明】(1)当n1时，左边，右边.左边右边，所以等式成立(2)假设nk(kN*且k1)时等式成立，即有，则当nk1时，.所以当nk1时，等式也成立，由(1)、(2)可知，对于一切nN*等式都成立用数学归纳法证明等式的注意点(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少(2)由nk时等式成立，推出nk1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程(3)不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法 设f(n)1(nN*)求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)证明：(1)当n2时，左边f(1)1，右边21，左边右边，等式成立(2)假设nk(k2，kN*)时，结论成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，当nk1时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，所以当nk1时结论仍然成立由(1)(2)可知：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)用数学归纳法证明不等式 典例引领 已知f(n)1，g(n)，nN*.(1)当n1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明【解】(1)当n1时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；当n2时，f(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；当n3时，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3)(2)由(1)猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明当n1，2，3时，不等式显然成立，假设当nk(k3，kN*)时不等式成立，即1.那么，当nk1时，f(k1)f(k).因为0，所以f(k1)g(k1)由可知，对一切nN*，都有f(n)g(n)成立用数学归纳法证明不等式的注意点(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法 已知数列an，an0，a10，aan11a，求证：当nN*时，anan1.证明：(1)当n1时，因为a2是方程aa210的正根，所以a2，即a1a2成立(2)假设当nk(kN*，k1)时，0ak0，又ak1ak0，所以ak2ak110，所以ak1ak2，即当nk1时，anan1也成立综上，可知an0，nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性【解】(1)当n1时，由已知得a11，即a2a120，解得a11(a10)当n2时，由已知得a1a21，将a11代入并整理得a2a220，解得a2(a20)同理可得a3.猜想an.(2)证明：由(1)知，当n1，2，3时，通项公式成立假设当nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即ak.由于ak1Sk1Sk，将ak代入上式，整理得a2 ak120，解得ak1，即nk1时通项公式仍成立由可知对所有nN*，an都成立“归纳猜想证明”的一般步骤(1)计算(根据条件，计算若干项)(2)归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想、猜想出一般结论)(3)证明(用数学归纳法证明) 已知数列an满足Snan2n1.(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论解：(1)将n1，2，3分别代入可得a1，a2，a3，猜想an2.(2)证明：由(1)得n1时，结论成立假设nk(k1，kN*)时，结论成立，即ak2，那么当nk1时，a1a2akak1ak12(k1)1，且a1a2ak2k1ak，所以2k1ak2ak12(k1)12k3，所以2ak122，ak12，即当nk1时，命题也成立根据、得，对一切nN*，an2都成立 归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证nk1时，必须用上归纳假设 利用归纳假设的技巧在推证nk1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设此时既要看准目标，又要掌握nk与nk1之间的关系在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用 易错防范(1)数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.(2)推证nk1时一定要用上nk时的假设，否则不是数学归纳法1用数学归纳法证明不等式1(nN*)成立，其初始值至少应取()A7 B8C9 D10解析：选B.1，整理得2n128，解得n7，所以初始值至少应取8.2已知f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的关系是()Af(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2Bf(k1)f(k)(k1)2Cf(k1)f(k)(2k2)2Df(k1)f(k)(2k1)2解析：选A.f(k1)122232(2k)2(2k1)22(k1)2f(k)(2k1)2(2k2)2.3当n为正奇数时，求证xnyn被xy整除，当第二步假设n2k1时命题为真，进而需验证n_，命题为真解析：当n为正奇数时，求证xnyn被xy整除，用数学归纳法证明时，第二步假设n2k1时命题为真，进而需要验证n2k1时命题为真答案：2k14设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)_；当n4时，f(n)_(用n表示)解析：f(3)2，f(4)f(3)323，f(5)f(4)4234，f(6)f(5)52345，猜想f(n)234(n1)(n4)答案：5(n1)(n2)5求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*)证明：(1)当n1时，等式左边2，右边2，故等式成立；(2)假设当nk(kN*，k1)时等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)，那么当nk1时，左边(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)(2k1)这就是说当nk1时等式也成立由(1)(2)可知，对所有nN*等式成立6设实数c0, 整数p1，证明：当x1且x0时，(1x)p1px.证明：用数学归纳法证明当p2时，(1x)212xx212x，原不等式成立假设当pk(k2，kN*)时，不等式(1x)k1kx成立则当pk1时，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以当pk1时，原不等式也成立综合可得，当x1，x0时，对一切整数p1，不等式(1x)p1px均成立7已知点Pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1(nN*)且点P1的坐标为(1，1)(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nN*，点Pn都在(1)中的直线l上解：(1)由P1的坐标为(1，1)知a11，b11.所以b2，a2a1b2.所以点P2的坐标为.所以直线l的方程为2xy1.(2)证明：当n1时，2a1b121(1)1成立假设nk(kN*，k1)时，2akbk1成立，则2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1，所以当nk1时，命题也成立由知，对nN*，都有2anbn1，即点Pn都在直线l上1已知数列xn满足x1，且xn1(nN*)(1)用数学归纳法证明：0xn0，即xk10.又因为xk110，所以0xk11.综合可知0xn1.(2)由xn1可得1，即an12an1，所以an112(an1)令bnan1，则bn12bn，又b1a1111，所以bn是以1为首项，2为公比的等比数列，即bn2n1，所以an2n11.2将正整数作如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)，分别计算各组包含的正整数的和如下：S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，试猜测S1S3S5S2n1的结果，并用数学归纳法证明解：由题意知，当n1时，S1114；当n2时，S1S31624；当n3时，S1S3S58134；当n4时，S1S3S5S725644.猜想：S1S3S5S2n1n4.下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，S1114，等式成立(2)假设当nk(kN*，k1)时等式成立，即S1S3S5S2k1k4，那么，当nk1时，S1S3S5S2k1S2k1k4(2k2k1)(2k2k2)(2k2k2k1)k4(2k1)(2k22k1)k44k36k24k1(k1)4，这就是说，当nk1时，等式也成立根据(1)和(2)，可知对于任意的nN*，S1S3S5S2n1n4都成立3设数列an各项均为正数，且满足an1ana.(1)求证：对一切n2，都有an；(2)已知数列an的前n项和为Sn，证明对一切n2，都有S2nSn10，