江苏2018版高考数学复习高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题教师用书文苏教版.docx

高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题1(2015课标全国改编)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为_答案解析如图，设双曲线E的方程为1(a0，b0)，则AB2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MNx轴于点N(x1,0)，ABM为等腰三角形，且ABM120，BMAB2a，MBN60，y1MNBMsinMBN2asin 60a，x1OBBNa2acos 602a.将点M(x1，y1)的坐标代入1，可得a2b2，e .2.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足OPOF，且PF4，则椭圆C的方程为_答案1解析设椭圆的标准方程为1(ab0)，焦距为2c，右焦点为F，连结PF，如图所示，因为F(2，0)为C的左焦点，所以c2.由OPOFOF知，FPF90，即FPPF.在RtPFF中，由勾股定理，得PF8.由椭圆定义，得PFPF2a4812，所以a6，a236，于是b2a2c236(2)216，所以椭圆的方程为1.3设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_答案解析由已知得焦点坐标为F(，0)，因此直线AB的方程为y(x)，即4x4y30.方法一联立直线方程与抛物线方程化简得4y212y90，故|yAyB|6.因此SOABOF|yAyB|6.方法二联立方程得x2x0，故xAxB.根据抛物线的定义有ABxAxBp12，同时原点到直线AB的距离为h，因此SOABABh.4(2016北京)双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a_.答案2解析设B为双曲线的右焦点，如图所示四边形OABC为正方形且边长为2，cOB2，又AOB，tan1，即ab.又a2b2c28，a2.5已知双曲线1(a0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_答案1解析由题意得，双曲线1(a0，b0)的焦点坐标为(，0)，(，0)，c且双曲线的离心率为2a2，b2c2a23，所以双曲线的方程为1. 题型一求圆锥曲线的标准方程例1已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为_答案1或1解析设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，PF1，PF2.由椭圆的定义，知2aPF1PF22，即a.由PF1PF2知，PF2垂直于长轴故在RtPF2F1中，4c2PFPF，c2，于是b2a2c2.又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为1或1.思维升华求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程(2015天津改编)已知双曲线1(a0，b0 )的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为_答案x21解析双曲线1的一个焦点为F(2,0)，则a2b24，双曲线的渐近线方程为yx，由题意得，联立解得b，a1，所求双曲线的方程为x21.题型二圆锥曲线的几何性质例2(1)(2015湖南改编)若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为_(2)(2016天津改编)设抛物线y22px (p0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若CF2AF，且ACE的面积为3，则p的值为_答案(1)(2)解析(1)由条件知yx过点(3，4)，4，即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，25a29c2，e.(2)抛物线方程为y22px(p0)，F，ABAFp，可得A(p，p)易知AEBFEC，故SACESACF3ppp23，p26，p0，p.思维升华圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力已知椭圆1(ab0)与抛物线y22px(p0)有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆1(ab0)的离心率为_答案1解析因为抛物线y22px(p0)的焦点F为，设椭圆另一焦点为E.当x时，代入抛物线方程得yp，又因为PQ经过焦点F，所以P且PFOF.所以PE p，PFp，EFp.故2a pp,2cp，e1.题型三最值、范围问题例3设椭圆M：1(ab0)的离心率与双曲线x2y21的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线yxm交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求PAB面积的最大值解(1)双曲线的离心率为，则椭圆的离心率e，由故椭圆M的方程为1.(2)由得4x22mxm240，由(2m)216(m24)0，得2m2.x1x2m，x1x2，AB|x1x2|.又P到直线AB的距离d，则SPABABd ，当且仅当m2(2，2)时取等号，(SPAB)max.思维升华圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值与范围直线l：xy0与椭圆y21相交于A，B两点，点C是椭圆上的动点，则ABC面积的最大值为_答案解析由得3x22，x，设点A在第一象限，A(，)，B(，)，AB.设与l平行的直线l：yxm与椭圆相切于P点则ABP面积最大由得3x24mx2m220，(4m)243(2m22)0，m.P到AB的距离即为l与l的距离，d.SABC.题型四定值、定点问题例4(2016全国乙卷)设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围解(1)因为ADAC，EBAC，故EBDACDADC，所以EBED，故EAEBEAEDAD.又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而AD4，所以EAEB4.由题设得A(1,0)，B(1,0)，AB2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为1(y0)(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120，则x1x2，x1x2，所以MN|x1x2|.过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y(x1)，点A到m的距离为，所以PQ24.故四边形MPNQ的面积SMNPQ12.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)当l与x轴垂直时，其方程为x1，MN3，PQ8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12,8)思维升华求定点及定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值(2016北京)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：ANBM为定值(1)解由已知，ab1.又a2b2c2，解得a2，b1，c.椭圆方程为y21.(2)证明由(1)知，A(2,0)，B(0,1)设椭圆上一点P(x0，y0)，则y1.当x00时，直线PA方程为y(x2)，令x0，得yM.从而BM|1yM|.直线PB方程为yx1.令y0，得xN.AN|2xN|.ANBM4.当x00时，y01，BM2，AN2，ANBM4.故ANBM为定值题型五探索性问题例5(2015广东)已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：yk(x4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由解(1)圆C1：x2y26x50可化为(x3)2y24，圆C1的圆心坐标为(3,0)(2)设M(x，y)，A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，由圆的性质知MC1MO，0.又(3x，y)，(x，y)，由向量的数量积公式得x23xy20.易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ymx，当直线l与圆C1相切时，d2，解得m.把相切时直线l的方程代入圆C1的方程，化简得9x230x250，解得x.当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)又直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，x3.点M的轨迹C的方程为x23xy20，其中x3.(3)由题意知直线L表示过定点(4,0)，斜率为k的直线，把直线L的方程代入轨迹C的方程x23xy20，其中x3，化简得(k21)x2(38k2)x16k20，其中x3，记f(x)(k21)x2(38k2)x16k2，其中0时，若x3是方程的解，则f(3)0k0另一根为x0，故在区间上有且仅有一个根，满足题意；若x是方程的解，则f0k另外一根为x，3，故在区间上有且仅有一个根，满足题意；若x3和x均不是方程的解，则方程在区间上有且仅有一个根，只需ff(3)0kb0)的离心率为，且过点(1，)，过椭圆的左顶点A作直线lx轴，点M为直线l上的动点(点M与点A不重合)，点B为椭圆的右顶点，直线BM交椭圆C于点P.(1)求椭圆C的方程；(2)求证：APOM；(3)试问：是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由(1)解因为椭圆C：1(ab0)的离心率为，所以a22c2，所以a22b2.又因为椭圆C过点(1，)，所以1，所以a24，b22，所以椭圆C的方程1.(2)证明设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为yk(x2)，设P(x1，y1)，将yk(x2)代入椭圆C的方程1中，化简得(2k21)x28k2x8k240，解得x1，x22，所以y1k(x12)，从而P(，)令x2，得y4k，所以M(2，4k)，(2，4k)又因为(2，)(，)，所以0，所以APOM.(3)解因为(，)(2，4k)4，所以为定值4.1(2015陕西)如图，椭圆E：1(ab0)，经过点A(0，1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.(1)解由题设知，b1，结合a2b2c2，解得a，所以椭圆的方程为y21.(2)证明由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2，从而直线AP，AQ的斜率之和 kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.2已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为3，其中一条渐近线的方程为xy0.以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A，B两点(1)求椭圆E的方程；(2)若点P为椭圆E的左顶点，2，求|2|2的取值范围解(1)由双曲线1的焦距为3，得c，a2b2.由题意知，由解得a23，b2，椭圆E的方程为y21.(2)由(1)知P(，0)设G(x0，y0)，由2，得(x0，y0)2(x0，y0)，即解得G(，0)设A(x1，y1)，则B(x1，y1)，|2|2(x1)2y(x1)2y2x2y2x3xx.又x1，x0,3，x，|2|2的取值范围是，3已知椭圆1的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点(1)求该椭圆的离心率；(2)设直线AB和AC分别与直线x4交于点M，N，问：x轴上是否存在定点P使得MPNP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由解(1)由椭圆方程可得a2，b，从而椭圆的半焦距c1.所以椭圆的离心率为e.(2)依题意，直线BC的斜率不为0，设其方程为xty1，B(x1，y1)，C(x2，y2)，将其代入1，整理得(43t2)y26ty90.所以y1y2，y1y2.易知直线AB的方程是y(x2)，从而可得M(4，)，同理可得N(4，)假设x轴上存在定点P(p,0)使得MPNP，则有0.所以(p4)20.将x1ty11，x2ty21代入上式，整理得(p4)20，所以(p4)20，即(p4)290，解得p1或p7.所以x轴上存在定点P(1,0)或P(7,0)，使得MPNP.4(2016苏北四市联考)如图所示，已知点F1(0，)，F2(0，)，动点M到F2的距离是4，线段MF1的中垂线交MF2于点P.(1)当点M变化时，求动点P的轨迹G的方程；(2)若斜率为的动直线l与轨迹G相交于A，B两点，Q(1，)为定点，求QAB面积的最大值解(1)如图，连结PF1.MF24，PMPF24.又PMPF1，PF1PF24F1F22，由椭圆的定义可知，动点P的轨迹G是以F1，F2为焦点的椭圆，其方程为1.(2)设直线l的方程为yxm，代入椭圆方程得(xm)22x24，即4x22mxm240.由8m216(m24)8(8m2)0，得m28.又点Q不在直线l上，所以m0，所以